第三章 图形的平移与旋转（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级下册

第三章 图形的平移与旋转 知识点01 平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点02 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 知识点03 点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）：向右平移a个单位：(x,y) (x+a, y);向左平移a个单位：(x,y) (x-a, y); 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）：向上平移b个单位：(x,y) (x, y+b);向下平移b个单位：(x,y) (x, y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 知识点04 旋转的概念和性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点05 旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 知识点06 中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 知识点07 中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 易错点1 利用平移的性质求解多结论问题 **易错总结** 1. **对应关系错乱**：平移后对应点、对应线段找错，导致相等关系误判。 2. **方向距离遗漏**：平移方向与距离未同时考虑，只记方向忘距离或反之。 3. **图形重合误判**：平移后图形与原图部分重合时，误以为重叠部分全等。 4. **性质应用不全**：只记对应线段平行且相等，忽略对应点连线平行且相等。 **注意事项**： - **标对应点**：用相同字母标记对应点(如A→A')。 - **向量意识**：平移由方向和距离决定，用有向线段表示。 - **找全等关系**：平移前后图形全等，对应边、对应角相等。 - **双重平行**：对应线段平行且相等，对应点连线也平行且相等。 【例1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，， ，， ∴，， ∴，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，在三角形中，，把三角形向下平移至三角形后，，，则下列结论：①；②；③；④三角形与三角形的周长和为24；⑤阴影部分的面积为24；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得①②说法正确，由，，，可得③说法错误，依据平移的性质，平行四边形的判定与性质，可判断④⑤说法正确． 【详解】解：三角形向下平移至三角形， ，， 故①②说法正确； ，， ， 故③说法错误； 与的周长和为， 又三角形向下平移至三角形， 四边形是平行四边形，， ， ， 与的周长和为， 故④说法正确； 三角形向下平移至三角形，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ，即， ， 故⑤说法不正确； 综上，正确结论的个数为个， 故选：B． 易错点2 求绕某点旋转90°的点坐标 **易错总结** 1. **旋转中心非原点**：当旋转中心不是原点时，直接套用绕原点旋转公式出错。 2. **方向符号混淆**：逆时针90°与顺时针90°坐标变换公式记反。 3. **坐标变换公式错**：绕原点旋转90°公式记错，如逆时针(x,y)→(-y,x)误作(y,-x)。 4. **正负号遗漏**：计算过程中符号处理错误，导致最终坐标符号不对。 **注意事项**： - **先移后转再移回**：旋转中心非原点时，先平移使中心至原点，旋转后再平移回去。 - **熟记公式**：逆90°：(x,y)→(-y,x)；顺90°：(x,y)→(y,-x)。 - **画图验证**：画出旋转前后的点，直观检验坐标是否合理。 - **分步计算**：每步变换写清楚，避免跳步导致符号错误。 【例2】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为___． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形即可求出答案． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标为，如图所示： ， ， ， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·河南·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点B在x轴上，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段． （1）当点B坐标为时，点C坐标为______； （2）当点B在x轴上运动时，点C的运动轨迹的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，证明，得到，则，据此可得答案； （2）分两种情况：点B在x轴负半轴和点B在x轴正半轴或原点，过点C作轴于D，证明，进而求出点C的坐标，从而可确定点C的运动轨迹的函数关系式． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作轴于D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设点B的坐标为， 如图所示，当点B在x轴负半轴时，过点C作轴于D， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴点C在直线上； 如图所示，当点B在x轴正半轴或原点时，过点C作轴于D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C在直线上； 综上所述，点C在直线上； ∴点C的运动轨迹的函数关系式为， 故答案为：． 易错点3 坐标与旋转规律问题 **易错总结** 1. **周期规律误判**：多次旋转后，点的坐标周期长度找错(如绕原点每次90°周期是4，但起始点不同周期起点不同)。 2. **旋转中心变化**：连续旋转时旋转中心改变，误以为中心不变直接套周期公式。 3. **方向记反**：多次旋转中某次方向记反，导致后续坐标全错。 4. **坐标符号错乱**：旋转过程中点的坐标符号变化规律掌握不清。 **注意事项**： - **列表找规律**：列出前几次旋转后的坐标，观察周期。 - **分段处理**：旋转中心改变时，每次旋转单独计算。 - **画图辅助**：在坐标系中画出每次旋转后的点，直观验证。 - **用复数理解**：绕原点旋转可用复数乘法验证坐标变化。 【例3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转以及解含有特殊角的直角三角形，正确作图分析是解题的关键．先通过已知条件求出点B的坐标，再由旋转的定义，作图找到第2次旋转后点B的位置，求出该点坐标即可． 【详解】解：如图1，过B作轴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转， 设旋转两次后，B点的对应点为， 如图2，点在x轴负半轴，， ∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则的坐标为_____；点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的探索与规律，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标． 【详解】解：∵， ∴中，， ∴， ∴的横坐标为：6，且，即， ∴的横坐标为：， ∴点的横坐标为：，点的纵坐标为：2， 即的坐标是， 故答案为，． 易错点4 几何图形中的平移综合问题 **易错总结** 1. **对应关系错乱**：平移后图形中，对应点、对应线段、对应角找错，导致全等关系误用。 2. **重叠面积误算**：平移后两图形重叠部分形状判断错误，面积公式用错。 3. **函数关系列错**：建立平移距离与面积、周长的函数时，自变量范围未考虑。 4. **动态过程漏解**：平移过程中，图形在不同位置有多种情况，常漏掉某种位置。 **注意事项**： - **标对应点**：用相同字母标记平移前后的对应点(如A→A′)。 - **画关键位置**：画出平移起始、中间、终止位置图形。 - **分类讨论**：重叠部分形状变化时，分阶段计算面积。 - **向量意识**：平移由方向和距离决定，用有向线段表示平移过程。 【例4】（2026·江苏南通·一模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平移的性质、线段垂直平分线的判定与性质．关键是结合等边三角形的边角特征，利用平移的平行关系推导角的等量关系，再通过线段垂直平分线的性质求出的内角，最终依据等边三角形的判定定理完成证明． （1）利用等边三角形“三线合一”的性质，由是中点，得出平分，从而计算出．再根据，得到，最后通过角的和差关系，用减去，即可求出的度数． （2）先根据平移性质，得到，再结合，推出，．接着，由，得出垂直平分，进而得到．最后，结合（1）中已得的，推出的三个内角均为，从而证明其为等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：由平移可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式】（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②图见详解，点平移的距离为：2或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，等知识，其中第（2）步分类讨论是解题的关键． （1）设直线解析式为，点坐标为，∴点A坐标为， 结合在直线上可得，即可求出直线解析式为； （2）①先求出，再求出，根据平移性质得到C的纵坐标为3，，设，列方程，求出或，从而得到或， 即可求出或； ②设点P平移的距离为，则，根据两点间距离公式即可得到，，，再分，，三种情况讨论，列方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 则点坐标为， ∵， ∴点A坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵直线解析式为， ∴点A坐标为，坐标为， ∴， ∴， ①∵， ∴将线段沿x轴正方向平移到，， ∴C的纵坐标为3，， 设， 则， 解得或， ∴或， ∵，， ∴或； ②设点P平移的距离为， ∴， ∵点A坐标为，坐标为， ∴， ， ， 如图，当时， ， 解得； 如图，当时， ， 解得或（舍去）； 当时， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点P平移的距离为2或或． 易错点5 几何图形中的旋转综合问题 **易错总结** 1. **旋转三要素遗漏**：旋转中心、方向、角度缺一不可，常忽略方向或角度大小。 2. **对应关系错乱**：旋转后对应点、对应边找错，导致全等关系误用。 3. **多解情况遗漏**：旋转方向不同(顺逆)或旋转角度不同导致多种情况，常漏解。 4. **重叠部分误判**：旋转过程中图形重叠区域形状变化，未分阶段讨论。 **注意事项**： - **标对应点**：用相同字母标记旋转前后的对应点(如A→A′)。 - **明确三要素**：先确定旋转中心、方向、角度再解题。 - **分类讨论**：旋转角度变化时，图形位置分阶段处理。 - **全等转化**：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等。 - **画关键位置**：画出旋转起始、中间、终止位置图形辅助分析。 【例5】（25-26九年级上·湖南湘西·月考）在中，，，D为内一点，，将绕点A顺时针旋转得到，连接并延长交于F点，过B作交的延长线于G． (1)请直接写出的形状为 ； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出对应边和对应角的关系，进而判断三角形的形状； （2）先根据等腰直角三角形的性质求出相关角度，再利用全等三角形的判定证明三角形全等，得到线段相等关系，最后结合勾股定理得出线段之间的数量关系． 【详解】（1）解：的形状为等腰直角三角形； 理由：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． （2）解：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 【变式】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图1，在中，，，点D是边上一动点（且不与点B，C重合）．作射线，过点B作于点H，将绕点H旋转得到，连接．线段与交于点G，连接． (1)线段和的数量关系为______，位置关系为______； (2)如图2，当时，试探究线段和线段的位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，请直接写出的长度为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，含的直角三角形三边的关系等，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由绕点H旋转得到，可得，，故； （2）证明，可得是等腰直角三角形，故，又，即可得，从而； （3）延长交于M，连接，证明是等边三角形，可得，求出，可得，故． 【详解】（1）解：∵将绕点H旋转得到， ∴，D，H，E共线，F，H，B共线， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于M，连接，如图： ∵将绕点H旋转得到， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过作轴，过作轴交于点，过作于，由旋转可得，，即可证明，得到，，据此求得． 【详解】解：如图，过作轴，过作轴交于点，过作于，则， ∵， ∴，， ∵将点绕点顺时针旋转至点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出，故的周长可转换为，将长度代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵由平移得到， ∴， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴其周长为， 故选C． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图1，将三角形纸片沿中线翻折后，点A与点重合，测得．沿将纸片剪开，得到和，将三角形纸片沿直线向右平移，如图2，当时，的长为（    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、平移的性质等知识，推导出是解题的关键． 由翻折得，由平移得，则，而，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将沿中线翻折后，点A与点B重合， ∴， 由平移得， ∴， 在图2中， ∵，且 ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿方向平移一定距离得到，点D落在线段上，与交于点G，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质逐项分析即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：，，，，，故①②③④正确， ∴， ∴，即，故⑥正确； 由已知条件不能说明，故⑤错误； 综上所述，正确的有个， 故选：C． 5．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解． 【详解】解：点 ∴ 的横坐标为6，且， 的横坐标为， …… ∴的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．作轴于M．在中，求出即可解决问题． 【详解】解：过点D作轴于M， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 由面积知， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为 ∴； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了________个单位，的面积为________． 【答案】 4 8 【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键． 由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到． 【详解】解：∵，， ∴线段平移了4个单位长度． 连接， ∵平移4个单位长度得到， ∴，． 过点作轴于点N，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4；8． 9．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为_______． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．根据的平移过程，分点在上和点在的延长线上两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知的面积为36，将沿方向平移到的位置，使点和点重合，连接，交于点． (1)求证：； (2)的面积为_____． 【答案】(1)见解析； (2)18． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移的性质，等底等高的三角形的面积相等的性质，利用等底等高的三角形的面积进行求解是解题的关键． （1）根据平移的性质可以得到，，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得的面积，再根据等底同高的三角形的面积相等即可求解． 【详解】（1）证明：沿方向平移得到， ，， ． 又， ， ． （2）解：． ∵沿平移到， ∴， ∴与的面积相等，即， 由（1）可知， ． 12．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图1，在等边中，是边上的一点，以为边作等边，将绕点顺时针方向旋转至如图2所示的位置，连接． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）由旋转可得，则利用三角形内角和可得，因为是等边三角形，可得，从而可得，再由，，可得，再由三角形内角和即可求得的度数； （2）连接，可证明，可得，可得为直角三角形，，利用勾股定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴在中，设，则， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·上海·期末）如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质和旋转的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；（3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可得，，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 14．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）在中，过点作，点在直线上，连接，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，请判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由； (3)在（1）（2）的条件下，，则_____ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，旋转的性质，结合已知，证明即可证明结论． （2）根据平行线的性质，旋转的性质，结合已知，证明即可证明结论． （3）根据前面的结论，分类计算即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得． ， ． 又， ， ，， ， ， 故． （2）解：线段，，的数量关系为， 证明：如图2得，由旋转的性质得． ， ． ， ， ， ，， ， ． （3）解：当是图1的情况时，由（1）知， 又由全等知， ， ． 当是图2的情况时，由（2）知， ． 综上，． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②或 (2)点E的坐标为 【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，可列方程求解；②根据且，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可得，，再结合三角形和四边形的周长，即可求得，即得答案． 【详解】（1）解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限， ， ， ； ②，， ， 且，， 或； （2）解：沿x轴方向向右平移得到， ，， 的周长为m， ， 四边形的周长为， ， ， ， 点M为， 点E的坐标为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章图形的平移与旋转 思维导图 1平移的概念：在平面内，将一个图形阳某个方向移动一定的距离 平移的概念 )图形（形状大小）不变，仅改变图形的位置 和性质 2.平移的性质 (2)对应点回连线，这些线段长度相特，且对应直线平行 (3)对应点的连线即为平移的路径（高线），包括方向和距离 ④找出能代表图形的关键点 ②将原图中某一关健点校要求平移后，与原来点连接起来 平移作图 ③过具他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等 ④连接关键点。还原图形 1左右平移（横坐标变，纵坐标不变）：向右平移a个单位：（仪y一(x+a,y:向左平移a个单位：（仪y)一(x-a,y: 点在平面直角坐 标系中平移 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）：向上平移0个单位：（化y)一（化，y+b):向下平移个单位：（仪y一（化yb) (0)旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一定角度的变换 图形的平移与旋转 (2)旋转三要索：①旋转方向：②旋转中心：③旋转角度 旋转的概念和性质 (3)旋转的性质：一个图新形和它经过旋转所得到的图形冲，对应点到陈转中心的距离相等；两组对应点分别与 旋转中心连线所成的角相等 旋转作图：在画旋转图形耐，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度 然后连接对应的部分，形成相应的图形 旋转作图 ”號动8禁整角 (①)中心对称的定义：把一个图形绕若某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 标或中心对杯，区个做对标中心心 中心对称 (0)中心对称图形：把一个图研形绕有菜一个点旋转80°，如果旋转后的图新形能够与原来的图新形重合，那么这个图新形如叫做 中心对称图形，这个点就是它的对称中心 中心对称图形 (2)中心对称与中心对称图形的区别与联系：如果将中心对称的两个图形看戒一个整体（一个图形），那么这个图形 就是中心对称图形：如果把中心对称图形对称的邵分若成是两个图形，那么它们又关于中心对称. 知识清单 知识点01平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 2.平移的性质：(1)图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 (2)对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 (3)对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点02平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点；②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来； ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置；④连接关键点， 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 还原图形 知识点03点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）：向右平移a个单位：(c,y)→(x+a,y向左平移a个单位：c,y)→ca, y方 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变)：向上平移b个单位：化，y)→化，y+b);向下平移b个单位：(x,y)→ (x,y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 知识点04旋转的概念和性质 (1)旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角： 图形上点P旋转后得到点P,这两个点叫作对应点 (2)旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上 (3)旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分 别与旋转中心连线所成的角相等 知识点05旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向 旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形 作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心： (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 知识点06中心对称 (1)中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 (2)中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A'B'C'关于点O对称. 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)中心对称与轴对称的区别与联系： 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 区别 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 (4)中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中， 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. (5)确定对称中心的方法： 1连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心 2连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心 (6)中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中 心的距离相等； 3将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 知识点07中心对称图形 (1)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. (2)中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 区别 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图 联系 形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称. 易错总结 3/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易错点1利用平移的性质求解多结论问题 *易错总结* 1*对应关系错乱**：平移后对应点、对应线段找错，导致相等关系误判。 2.*方向距离遗漏*：平移方向与距离未同时考虑，只记方向忘距离或反之。 3.*图形重合误判**：平移后图形与原图部分重合时，误以为重叠部分全等。 4.*性质应用不全**：只记对应线段平行且相等，忽略对应点连线平行且相等。 *注意事项**： *标对应点*：用相同字母标记对应点（如A→A)。 -*向量意识*：平移由方向和距离决定，用有向线段表示。 *找全等关系*：平移前后图形全等，对应边、对应角相等。 *双重平行**：对应线段平行且相等，对应点连线也平行且相等。 【例1】(25-26七年级上·河南新乡·期末)如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,将三角 形ABC沿直线BC向右平移2个单位得到三角形DEF,连接AD.则下列结论：①AC∥DF,AC=DF; ②ED⊥AC;③四边形ABFD的周长是16；④AD:EC=2:3;其中正确结论的个数有() B A.1 B.2 C.3 D.4 【变式】(2425七年级下·四川绵阳期末)如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6,AC=10,BC=8, ，则下列结论：①AC∥DF:②EF∥BC, 16 把三角形ABC向下平移至三角形DEF后，AD=4,CG= ③AE=9;④三角形BDG与三角形CFG的周长和为24；⑤阴影部分的面积为24；其中正确结论的个数为() D B G E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点2求绕某点旋转90°的点坐标 *易错总结* 1*旋转中心非原点*：当旋转中心不是原点时，直接套用绕原点旋转公式出错。 2.**方向符号混淆**：逆时针90°与顺时针90°坐标变换公式记反。 3.**坐标变换公式错*：绕原点旋转90°公式记错，如逆时针(xy)一→(y,x)误作y,-x)。 4.*正负号遗漏*：计算过程中符号处理错误，导致最终坐标符号不对。 *注意事项**： *先移后转再移回*：旋转中心非原点时，先平移使中心至原点，旋转后再平移回去。 -**熟记公式*：逆90°：(Xy)一(-y,X):顺90°：（区y)→V,-x) -*画图验证*：画出旋转前后的点，直观检验坐标是否合理。 ,**分步计算**：每步变换写清楚，避免跳步导致符号错误。 【例2】(24-25九年级上·吉林期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0,2，-1,0)，将 线段AB绕点(2,2)逆时针旋转a角(0°<u<180).若点A的对应点A的坐标为(2,0)，则点B的对应.点B 的坐标为 A B O 【变式】(25-26八年级上·河南月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A(0,3)在y轴上，点B在x轴 上，连接AB,将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC. (1)当点B坐标为-1,0)时，点C坐标为 (2)当点B在x轴上运动时，点C的运动轨迹的函数关系式为 5/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点3坐标与旋转规律问题 *易错总结* 1.*周期规律误判*：多次旋转后，点的坐标周期长度找错（如绕原点每次90°周期是4，但起始点不同周 期起点不同) 2.*旋转中心变化*：连续旋转时旋转中心改变，误以为中心不变直接套周期公式。 3.*方向记反**：多次旋转中某次方向记反，导致后续坐标全错。 4.*坐标符号错乱*：旋转过程中点的坐标符号变化规律掌握不清。 *注意事项*： -*列表找规律*：列出前几次旋转后的坐标，观察周期。 -*分段处理*：旋转中心改变时，每次旋转单独计算。 *画图辅助*：在坐标系中画出每次旋转后的点，直观验证。 -*用复数理解*：绕原点旋转可用复数乘法验证坐标变化。 【例3】(25-26九年级上广东广州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,V3),点B在第一象限 内，∠0AB=120°，A0=AB,将AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2次旋转后点B的坐标为 【变式】(25-26九年级上·广东江门期中)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0绕点A顺时针旋转到 △AB,C,的位置，点B、O分别落在点B、C处，点B在x轴上，再将△AB,C,绕点B顺时针旋转到A,B,C 的位置，点C,在x轴上，将A,BC,绕点C,顺时针旋转到△4，B,C,的位置，点A在x轴上，依次进行下去· 若点4C,0,B0,2),则尽的坐标为一；点Bs的坐标为 B 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点4几何图形中的平移综合问题 *易错总结* 1*对应关系错乱**：平移后图形中，对应点、对应线段、对应角找错，导致全等关系误用。 2.*重叠面积误算*：平移后两图形重叠部分形状判断错误，面积公式用错。 3.*函数关系列错*：建立平移距离与面积、周长的函数时，自变量范围未考虑。 4.*动态过程漏解*：平移过程中，图形在不同位置有多种情况，常漏掉某种位置。 *注意事项**： *标对应点*：用相同字母标记平移前后的对应点（如A→A')。 -*画关键位置**：画出平移起始、中间、终止位置图形。 -*分类讨论*：重叠部分形状变化时，分阶段计算面积。 *向量意识**：平移由方向和距离决定，用有向线段表示平移过程。 【例4】(2026江苏南通一模)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是 由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G. E B (I)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形 【变式】(24-25九年级下·四川成都期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴正半轴于点A,交 y轴正半轴于点B,且OA=OB,直线AB过点P(1,3), VA VA D 图1 图2 备用图 (1)求直线AB解析式： (2)连接OP,将线段OP沿x轴正方向平移到线段DC 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 ①若SAcD4=SA4OB,求满足条件的点C的坐标； 4 ②在平移过程中，是否存在点C使得ABC为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离， 若不存在，请说明理由， 易错点5几何图形中的旋转综合问题 *易错总结* 1.**旋转三要素遗漏*：旋转中心、方向、角度缺一不可，常忽略方向或角度大小。 2.*对应关系错乱*：旋转后对应点、对应边找错，导致全等关系误用。 3.*多解情况遗漏**：旋转方向不同（顺逆）或旋转角度不同导致多种情况，常漏解。 4.*重叠部分误判*：旋转过程中图形重叠区域形状变化，未分阶段讨论。 *注意事项*： -*标对应点*：用相同字母标记旋转前后的对应点（如A一A')。 -*明确三要素*：先确定旋转中心、方向、角度再解题。 -*分类讨论*：旋转角度变化时，图形位置分阶段处理。 ·*全等转化*：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等。 -**画关键位置*：画出旋转起始、中间、终止位置图形辅助分析。 【例5】(25-26九年级上·湖南湘西·月考)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为ABC内一点， ∠ADC=90°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB,连接ED并延长交BC于F点，过B作 BG⊥BE交EF的延长线于G. (I)请直接写出ADE的形状为_： (②)探究线段DE,DF,DC之间的数量关系，并说明理由. 【变式】(25-26八年级上山东济南期末)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是BC边上 一动点（且不与点B,C重合）.作射线AD,过点B作BH⊥AD于点H,将△DHB绕点H旋转180°得到 △EHF,连接CE,线段CE与HF交于点G,连接CF. 8/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 (I)线段EF和DB的数量关系为 ，位置关系为 (2)如图2，当CE⊥CF时，试探究线段CE和线段AB的位置关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若AB=25,请直接写出CG的长度为 易错训练 一、单选题 1.(25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生)已知A-2,1),B(2,2),将点B绕点A顺时针旋转90°至点B,则 点B的坐标为() A.(-2,-2) B.(0,-2) C.(1,-3 D.（-1,-3 2.(25-26八年级上·山东济南·期末)如图，在RtAABC中，∠A=90°，AB=6cm,BC=10cm,现将 △ABC沿AC方向平移3cm得到aA'B'C',边A'B与边BC相交于点D,若此时点A恰好在∠ABC的角平分 线上，则aA'DC的周长为() A.10cm B.13cm C.15cm D.16cm 3.(24-25七年级下·河南南阳·期末)如图1，将三角形纸片ABC沿中线CD翻折后，点A与点B重合，测 得AD=4.沿CD将纸片剪开，得到△AC'D'和△BCD,将三角形纸片AC'D'沿直线DB向右平移，如图2， 当DD'=1.5时，AB的长为() 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 A.5.5 B.6 C.6.5 D.7 4.(24-25七年级下·河南南阳·期末)如图，将ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF,点D落在线段 AC上，BC与DE交于点G,则下列结论：①AD=CF;②AB∥DE;③BC∥EF;④∠B=∠E;⑤ AD=DC=CF;⑥S图边形4BGD=S四边形GEFc·其中正确的结论个数是() G B A.3 B.4 c.5 D.6 5.(25-26九年级上·安徽马鞍山期末)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0绕点A顺时针旋转到△AB,C 的位置，点B,O分别落在点B,C,处，点B在x轴上，再将△AB,C,绕点B顺时针旋转到AB,C,的位置， 点C,在x轴上，将A,B,C2绕点C,顺时针旋转到△A,B,C,的位置，点A在x轴上，依次进行下去·若点 号B021.则a品的华标() B B A C A 6 A.(6072,2) B.(6073.5,2) C.(6078,2) D.(6079.5,2) 二、填空题 6.(25-26九年级上湖北荆门月考)如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将A0B绕 点B顺时针方向旋转90°得到△BCD,则点D的坐标为 10/14