周周练09 10.1～10.2二元一次方程组的概念及消元法解方程组（数学新教材人教版七年级下册）

2025-2026学年七年级下学期数学周周练09 10.1-10.2二元一次方程组的概念及消元法解方程组 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 2．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 4．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 6．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 7．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值是（　　） A． B． C．1 D．2 8．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 9．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．已知用含的式子表示，则＝_____________． 12．已知x，y满足方程组，则的值为_____ ． 13．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 14．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 15．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解方程组： (1) (2) 17．下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 18．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 19．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 20．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 21．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学周周练09 10.1-10.2二元一次方程组的概念及消元法解方程组 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 2．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 3．用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】通过消元法解方程组求出点的坐标，再根据象限的符号特征判断即可；本题主要考查了二元一次方程组的解法及平面直角坐标系的相关知识，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 【详解】解：∵方程组 ∴得， 解得， 代入 得， ∵且， ∴点在第一象限． 故选：A． 5．是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程，转化为关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得． 故选：B． 6．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 7．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相减可得，则，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 8．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 9．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．已知用含的式子表示，则＝_____________． 【答案】 【分析】通过消去参数 ，将方程组转化为用 表示 的形式． 【详解】解： ， 得：， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，解决问题的关键是熟练掌握计算方法． 12．已知x，y满足方程组，则的值为_____ ． 【答案】6 【分析】本题可运用加减消元的思路，将方程组中的两个方程直接相加，即可直接得出的值，无需单独求解． 【详解】解：， ①②得：， 合并同类项得：， 故答案为：6． 13．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 14．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 15．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解是，进行类比可得，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于的二元一次方程组中， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17．下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义解答即可得； （2）利用方程②减去方程③的时候出现错误，由此即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减． （2）解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是， 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二． （3）解：， 由①，得③， ②③，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为． 18．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 19．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 20．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 21．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年七年级下学期数学周周练09 10.1-10.2二元一次方程组的概念及消元法解方程组 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B 8 D A B A D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. x+ 2 12.6 13.2023 14.1 3 a22 15 b=- 2 三、解答题：本题共6小题，第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21 题12分，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. x=y-5 【详解】(1)解： 2 4x+3y=65② 把①代入②得：4xy-5 +3y=65, 解得：y=15, 把y=15代入①得：x=15-5 5, 2 x=5 原方程组的解为： y=1553分 x y =1 (2)解： 34 x-y=2 4x-3y=12① 原方程组可变为 x-y=2②’ ①-②×3得：x=6, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把x=6代入②得：6-y=2, 解得：y=4, x=6 ·原方程组的解为： y=4 6分 17. 【详解】(1)解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减.2分 (2)解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是-y=2, 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二.4分 [2x-3y=4① (3)解： 4x-7y=10②’ 由①x2,得4x-6y=8③， ②-③，得-7y-（-6y)=10-8,解得y=-2, 将y=-2代入①，得2x+6=4,解得x=-1, x=-1 所以原方程组的解为 y=-2·8分 18. r+ay=-8与方程组 x-2y=-6 r-y=6有相同的解， x+2y=10 【详解】(1)解：：二元一次方程组 联立方程组得， x-2y=-6① x+2y=10② ①+②得，2x=4,解得x=2, 把x=2代入①得，2-2y=6,解得y=4, x=2 :这两个方程组相同的解为： y=4:4分 (2)根据题意，把 =4代入方程组 x= bx+ay=-8 ax-by=6' 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2b+4a=-8① 得 2a-4b=6② ①×2+②得，10a=-10,解得a=-1, 把a=-1代入②得，2x-1-4b=6,解得b=-2, :方程组的解为 a=-1 b=-21 (a-b)2026=[-1-(-2]2026=1.…8分 19. a+2b=0① 【详解】(1)解：由题意可得方程组 a-2b=4②' ①+②得2a=4, 解得a=2, 把a=2代入①，得2+2b=0, 解得b=-1, a=2 6=-14分 (2)解：由题意可得方程组 ar-hy=5m① ax+by=4-m② ①+②可得2a.x=4+4m, .ax=2+2m, 3x*y+2x※y=3, ∴.3ax+by+2ax-by=3, .5ax=3, .5(2+2m=3, 10+10m=3, 10 心m的值为 10·6分 20. 3/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：方程3x+2y=4的“变更方程为4x+2y=3, 故答案为：4x+2y=3;3分 2x+3y=4① (2)解： 4x+3y=2②' ①-②得：-2x=2, 解得x=-1, 把x=-1代入①得：-2+3y=4, 解得：y=2, x=-1 方程组的解为： x=-1 故答案为： y=27分 (3)解：：a+b+c=0, ∴.a+c=-b, ax+by=c 方程ax+by=c与它的“变更方程”组成的方程组为 cx+by=a x=-1 解得 y=-1' 少=一代入mx+=p可得-m-n=p, x=-1 把 即m+n=-p, .2m-n-m-p+3n+2026 =2m-2n-m+p+3n+2026 =m+n+p+2026 =-p+p+2026 =2026.11分 21. ax+by=11 【详解】(1)解：设m+n=x,m-n=y,则原方程组可化为 bx+ay 25' 4/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ax+by=11 x=5 的解为 bx+ay =25 y=-1' m+n=5 (m-n=-1' m=2 解得 n=3, m=2 故答案为： n=3;…4分 m_n=2.5 (2)解：设x+y=m,x-y=n,则原方程组可化为 22 2m+n=6.5 23 m= 解得 6 n=- 6 23 x+y= 即有 6 7 x-y=- 6 4 x= 3 解得 y-2 「4 X= 故方程组的解为 3 58分 2 3)解：设2 =m, =n,则 ax+3by=5C可化简得 am+bn=c 5 2a2x+3b2y=5c2 a,m+ban=c2 a,x+by=G的解为 x=6 :关于x,y的二元一次方程组 ax+b2y=c2 y=-3' (am+bn=G的 2x6 m=6 a,m+bn=c, n=-3'即有 5 3y=3 x=15 解得： y=-5 5/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=15 故方程组的解为： y=-5·12分 6/6