2026年中考数学一轮复习 阶段综合测试卷 方程与不等式（全国通用）

阶段综合测试卷 方程与不等式 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 2．（本题3分）（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题3分）（25-26九年级上·山西太原·期中）今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（2025·甘肃武威·一模）古老的巴比伦泥板书中记载这样一个问题：两块田地中，第一块每沙尔出产西拉谷物，第二块每沙尔出产西拉谷物（沙尔和西拉分别为面积和容积的度量单位）．第一块地的产量比第二块的多500西拉；两块地的面积总共为1800沙尔，问每块地各是多大？设第一块地为x沙尔，另一块地为y沙尔，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（2025·贵州遵义·模拟预测）若，则满足条件的x的可能值是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（2025·福建福州·模拟预测）随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）（2025·湖北·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 9．（本题3分）（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 10．（本题3分）（2019九年级下·全国·专题练习）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共30分） 11．（本题5分）（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 12．（本题5分）（2025·陕西·模拟预测）第9届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．若“妮妮”毛绒玩具的进价为90元，某店按标价的9折出售，仍可获利，则“妮妮”毛绒玩具的标价是_________元． 13．（本题5分）（2025·全国·一模）某书店销售图书，成本为每本a元，将成本提高后标价，再打折售出，最终获利20元，则打______折（用含a的式子表示）． 14．（本题5分）（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是________________． 15．（本题5分）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为_______． 16．（本题5分）（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，为函数上的两点，过点作轴，过点作轴，交直线于点，连接，若，，则该函数的解析式是______． 评卷人 得分 三、解答题（共40分） 17．（本题5分）（2026·上海虹口·一模）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； (2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 18．（本题5分）（2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 19．（本题5分）（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 20．（本题5分）（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 21．（本题5分）（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 22．（本题5分）（2025·全国·一模）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： (1)设垂直于墙的边长为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； (2)结合二次函数性质，求S的最大值； (3)（变式）若分隔篱笆长度为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化． 23．（本题5分）（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上， (1)当，时， ①求的值； ②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． (2) 当时，若对于，都有，求的取值范围． 24．（本题5分）（2025·四川广元·模拟预测）某花卉店从种植园购进A，B两种绿植盆景进行销售．若购进1盆A种盆景和2盆B种盆景，则需要230元；若购进2盆A种盆景和3盆B种盆景，则需要390元．已知销售1盆A种盆景可获利20元，销售1盆 B种盆景可获利15 元． (1)A，B两种绿植盆景每盆的进价分别为多少元？ (2)由于绿植盆景畅销，该花卉店决定再次购进A，B两种盆景共100盆，种植园根据市场变化对两种类型的盆景进行了价格调整，A种盆景的进价比原购进时提高了，B种盆景的进价为原购进时进价的八折．花卉店通过调整售价保持销售 A种、B种盆景单盆的利润不变，若再次用于购进A，B两种盆景的总费用不超过7320元，则如何进货可使再次购进的盆景获得最大的利润？最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段综合测试卷 方程与不等式 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 则每块小平行四边形地砖的短边长为， 故选：B． 2．（本题3分）（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 3．（本题3分）（25-26九年级上·山西太原·期中）今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据平均增长率的定义，每年增长比率相同，故两年后数量为初始值乘以的平方，由此列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则2024年游客人次为万人次，2025年游客人次为万人次， ∵2025年预计为165万人次， ∴， 故选：A． 4．（本题3分）（2025·甘肃武威·一模）古老的巴比伦泥板书中记载这样一个问题：两块田地中，第一块每沙尔出产西拉谷物，第二块每沙尔出产西拉谷物（沙尔和西拉分别为面积和容积的度量单位）．第一块地的产量比第二块的多500西拉；两块地的面积总共为1800沙尔，问每块地各是多大？设第一块地为x沙尔，另一块地为y沙尔，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选：A． 5．（本题3分）（2025·贵州遵义·模拟预测）若，则满足条件的x的可能值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式． 求解，进而判断即可． 【详解】解：， 解得， 只有B在范围内， 故选：B． 6．（本题3分）（2025·福建福州·模拟预测）随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去年的销量今年的销量，列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 故选：A． 7．（本题3分）（2025·湖北·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及解不等式．首先把已知式子变形可得，因为的绝对值等于它的相反数，因此，再解不等式即可． 【详解】解： ， ． 解得， 故选：B． 8．（本题3分）（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 9．（本题3分）（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案． 【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：， ， 又，y均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选：． 10．（本题3分）（2019九年级下·全国·专题练习）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可． 【详解】解：在数轴上表示不等式组的解集，如下： 故选：A 评卷人 得分 二、填空题（共30分） 11．（本题5分）（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平均数的定义，根据总人数为40和平均分为2.5，列出关于x和y的方程组，并求解． 【详解】解：根据题意，得 解得， 故答案为：， ． 12．（本题5分）（2025·陕西·模拟预测）第9届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．若“妮妮”毛绒玩具的进价为90元，某店按标价的9折出售，仍可获利，则“妮妮”毛绒玩具的标价是_________元． 【答案】120 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 设“妮妮”毛绒玩具每件的标价为x元，根据按标价的9折出售，仍可获利，列一元一次方程解题． 【详解】设“妮妮”毛绒玩具每件的标价为x元，根据题意得， ， 解得， 即“妮妮”毛绒玩具的标价是120元． 故答案为：120． 13．（本题5分）（2025·全国·一模）某书店销售图书，成本为每本a元，将成本提高后标价，再打折售出，最终获利20元，则打______折（用含a的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 求出标价为元，，设打x折，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：成本为每本a元，将成本提高后标价， 则标价为元， 设打x折， ∵打折售出，最终获利20元， ∴， 解得：. 故答案为：． 14．（本题5分）（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是________________． 【答案】 【分析】先根据点和点关于直线对称，得到方程组，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴， 解得 ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解二元一次方程组，轴对称的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，正确求出是解题的关键． 15．（本题5分）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为_______． 【答案】 【分析】先确定数对的所有可能情况，再分和两种情况，根据方程类型及根的判别式判断方程有实数解的情况数，最后计算概率．本题主要考查了一元二次方程根的判别式及简单事件概率的计算，熟练掌握根的判别式的应用和概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：数对共有种可能， 当时，方程为，是一元一次方程， ∴当时，方程有实数解，即共种情况方程有解； 当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数解， ∴， ∴， 当时，得，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解． 当时，，解得或， ∴无满足条件的． 综上，方程有实数解的情况数为种． ∴方程有实数解的概率为． 故答案为：． 16．（本题5分）（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，为函数上的两点，过点作轴，过点作轴，交直线于点，连接，若，，则该函数的解析式是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过作轴于点，由点，为函数上的两点，则，，又，故有，通过，得，设，则，，，得到，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， ∵轴，过点作轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点，为函数上的两点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点，为函数上的两点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴整理得：， 解得：（舍去），， ∴该函数的解析式是， 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题（共40分） 17．（本题5分）（2026·上海虹口·一模）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； (2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标； （1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，经过， ∴是的一个根， 由根与系数关系，得，即， 解得， ∴添加的条件为； （2）解：将抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 关于原点的对称点为， 将代入， 得即， 解得． 18．（本题5分）（2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 【答案】(1)应多培育个品种的月季 (2)应多培育个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值，最大值为株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的顶点式与最值问题，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为未知数，根据总苗量的等量关系列一元二次方程，结合限制条件求解． （2）设多培育的品种数为未知数，构建总苗量的二次函数，通过化为顶点式，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设应多培育个品种的月季． ， 解得，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育个品种的月季时，幼苗总量为． ， 因为，， 所以抛物线开口向下，当时，取最大值． 答：应多培育25个品种的月季，幼苗总量最大值为5625株． 19．（本题5分）（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)售价为元时，每天最大利润为3310元 【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可； （2）设应降y元，依素材2可列方程求解； （3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用． 【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x， 依素材1，可得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为． （2）解：设应降y元，依素材2，可列方程， 解得． 答：应降5元． （3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得： ， 当时，W取得最大值为3310． 答：售价为元时，每天最大利润为3310元． 20．（本题5分）（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)元或元 (2)当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． (1)根据总利润=单利润数量列出一元二次方程求解； (2)将利润函数配方成顶点式求最大值； (3)降价后的利润函数为，结合销售量条件和确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大的要求，得到关于a的不等式，解不等式得到 a 的范围． 【详解】（1）解：由题意可得方程：， 整理，得， 解得，． 答：销售单价为元或元． （2）解：由题意可得． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元． （3）解：， ∴对称轴为直线． ∵每天的销售量不低于块， ， ， 随的增大而增大，且开口向下， ， ， ， ． 21．（本题5分）（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【答案】(1) (2)长和宽分别为55，5或者20，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意直接用x表示出y即可； （2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． 22．（本题5分）（2025·全国·一模）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： (1)设垂直于墙的边长为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； (2)结合二次函数性质，求S的最大值； (3)（变式）若分隔篱笆长度为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化． 【答案】(1) (2)36平方米 (3)，最大面积没有发生变化 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的面积问题、配方法的应用等知识点，掌握数形结合思路并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则菜地的平行于墙的边的长为，即；再根据长方形的面积公式即可解答； （2）直接运用配方法求最值即可； （3）若分隔篱笆长度为x米，则垂直于墙的边长为，即米，，然后根据题意列出函数关系式并求最值，然后再比较即可． 【详解】（1）解：由垂直于围墙的边长为x米， 则平行于围墙的边长为，即米， 所以菜地面积S与x的函数关系式为：，即． （2）解：∵，， ∴当时，菜地的最大面积为36平方米． （3）解：若分隔篱笆长度为x米， 则垂直于围墙的边长为，即米，， 所以菜地面积S与x的函数关系式为，即． 所以当时，菜地的最大面积为36平方米，最大面积没有发生变化． 23．（本题5分）（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上， (1)当，时， ①求的值； ②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②的长为定值 (2) 【分析】（1）①由题意得，点，在抛物线：上，则，即可求出的值；②设，，，由①得，抛物线：，联立整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∵点，在抛物线：上， ∴， 解得； ②设，，， 由①得，抛物线：， 联立， 整理得：， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； （2）解：∵点，在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 24．（本题5分）（2025·四川广元·模拟预测）某花卉店从种植园购进A，B两种绿植盆景进行销售．若购进1盆A种盆景和2盆B种盆景，则需要230元；若购进2盆A种盆景和3盆B种盆景，则需要390元．已知销售1盆A种盆景可获利20元，销售1盆 B种盆景可获利15 元． (1)A，B两种绿植盆景每盆的进价分别为多少元？ (2)由于绿植盆景畅销，该花卉店决定再次购进A，B两种盆景共100盆，种植园根据市场变化对两种类型的盆景进行了价格调整，A种盆景的进价比原购进时提高了，B种盆景的进价为原购进时进价的八折．花卉店通过调整售价保持销售 A种、B种盆景单盆的利润不变，若再次用于购进A，B两种盆景的总费用不超过7320元，则如何进货可使再次购进的盆景获得最大的利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每盆A 种盆景的进价为90元，每盆B种盆景的进价为70元 (2)购进 A 种盆景40盆、B种盆景60盆，可获得最大的利润，最大利润是1700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设A种盆景的进价为a元，B种盆景的进价为b元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可． （2）设再次购进A种盆景x盆，则购进B种盆景盆，此次用于购进、两种盆景的总费用不超过7320元，列出不等式，可求，设总利润为W元，则．根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每盆A 种盆景的进价为 a 元，每盆B种盆景的进价为b元． 根据题意，得 ， 解得 ． ∴每盆A 种盆景的进价为90元，每盆B种盆景的进价为70元． （2）再次购进A，B两种盆景时，每盆A种盆景的进价为（元），每盆B种盆景的进价为（元）． 设购进 A种盆景x盆， 则购进B种盆景盆． 根据题意，得． 解得． 设获得的利润为W 元， 则． ∵， ∴W 随x 的增大而增大． ∴当时，W的值最大， （元）， 此时购进B种盆景（盆）， 即购进 A 种盆景40盆、B种盆景60盆，可获得最大的利润，最大利润是1700元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $