13 第三章 第四节 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学全练本Word练习（五四制）

第四节　反比例函数的综合应用 1.(2025·安徽)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+4(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点。已知点A和点B的横坐标分别为6和2。 (1)求a与k的值; (2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C,D,求△COD的面积。 2.(2025·苏州)如图,一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点D,连接CD。 (1)求A,B两点的坐标; (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形,求k的值。 3.(2025·南充)如图,一次函数与反比例函数图象交于点A(-3,1),B(1,n)。 (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)点C在反比例函数第二象限的图象上,横坐标为a,过点C作x轴的垂线,交AB于点D,CD=,求a的值。 4.(2025·内江)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+b的图象相交于A(a,6),B(-6,1)两点。 (1)求反比例函数和一次函数的表达式。 (2)当x<0时,请根据函数图象,直接写出关于x的不等式k2x+b-≥0的解集。 (3)过直线AB上的点C作CD∥x轴,交反比例函数的图象于点D。若点C横坐标为-4,求△BOD的面积。 5.(2025·宜宾)如图,过原点O的直线与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点。一次函数y=mx+b(m≠0)的图象过点A与反比例函数交于另一点C,与x轴交于点M,其中A(-2,1),C(-1,n)。 (1)求一次函数y=mx+b的表达式,并求△AOM的面积。 (2)连接BC,在直线AC上是否存在点D,使以O,A,D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。 第四节　反比例函数的综合应用 1.解:(1)由题意得解得 (2)由(1)知直线AB对应的一次函数表达式为y=-x+4, 令y=0,得x=8,∴OC=8; 令x=0,得y=4,∴OD=4。 ∴△COD的面积为OC·OD=×8×4=16。 2.解:(1)在y=2x+4中,令y=0得2x+4=0, 解得x=-2, ∴点A的坐标为(-2,0)。 在y=2x+4中,令x=0得y=4, ∴点B的坐标为(0,4)。 (2)如图,过点C作CE⊥BD,垂足为E。 ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形,∴CB=CD。 ∵CE⊥BD,∴BE=DE。 在反比例函数y=中,令y=4得x=, ∴D(,4), ∴BE=DE=。 在反比例函数y=中,令x=得y=8, ∴C(,8)。 ∵点C在一次函数y=2x+4的图象上, ∴8=2×+4,解得k=16, ∴k的值为16。 3.解:(1)设反比例函数的表达式为y=(k1≠0)。 ∵反比例函数的图象经过点A(-3,1), ∴k1=-3, ∴反比例函数的表达式为y=-。 ∵点B(1,n)在反比例函数y=-的图象上,∴n=-3, ∴B(1,-3)。 设一次函数的表达式为y=k2x+b(k2≠0), ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=-x-2。 (2)∵CD⊥x轴, ∴C(a,),D(a,-a-2)。 ∵CD=, ∴(-a-2)-=,即2a2+11a-6=0, ∴a1=-6,a2=。 ∵点C在第二象限,∴a=-6。 4.解:(1)∵反比例函数y=的图象过点B(-6,1), ∴k1=-6×1=-6, ∴反比例函数的表达式为y=-。 把点A(a,6)代入反比例函数y=-得6=-, 解得a=-1, ∴点A的坐标为(-1,6)。 ∵一次函数的图象经过A(-1,6),B(-6,1)两点, ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=x+7。 (2)-6≤x≤-1。 (3)∵点C的横坐标为-4,代入y=x+7得y=-4+7=3, ∴C(-4,3)。 当y=3时,代入y=-得3=-, 解得x=-2,∴D(-2,3)。 如图,过点B,D分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E。 ∵B(-6,1),D(-2,3), ∴DE=3,BF=1,EF=-2-(-6)=4。 ∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO,S△BFO=S△DEO=3, ∴S△BOD=S梯形BFED=(DE+BF)·EF=×(3+1)×4=8。 5.解:(1)把A(-2,1)代入y=(k≠0)得1=, 解得k=-2, ∴反比例函数的表达式为y=-。 在反比例函数y=-中,当 x=-1时,y=-=2, ∴C(-1,2)。 把A(-2,1),C(-1,2)两点分别代入y=mx+b中得解得 ∴一次函数y=mx+b的表达式为y=x+3。 在一次函数y=x+3中,当y=x+3=0时,x=-3, ∴M(-3,0),∴OM=3, ∴S△AOM=OM·|yA|=×3×1=。 (2)∵直线AB经过原点, ∴由反比例函数图象的对称性可得点B的坐标为(2,-1),OA=OB。 ∵A(-2,1),C(-1,2), ∴AO==,AC==, BC==3, AB==2, ∴AC2+BC2=()2+(3)2=2+18=20,AB2=(2)2=20, ∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°。 ∵BC⊥AC,∴OA与AC不垂直。 ∵以O,A,D为顶点的三角形与△ABC相似, ∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况。 如图,当△OAD∽△BAC时, 则==,∠ODA=∠BCA=90°, ∴AD=AC,OD∥BC, ∴此时点D为AC的中点, ∴点D的坐标为(-,)。 如图,当△OAD∽△CAB时, 则==,即==, ∴AD=5,OD=3。 设D(d,d+3), ∴ 解得d=3,∴d+3=6, ∴点D的坐标为(3,6)。 综上所述,点D的坐标为(-,)或(3,6)。 学科网（北京）股份有限公司 $