02 第一章 第二节 代数式及整式(含因式分解)-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第二节　代数式及整式(含因式分解) 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　代数式 1.代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子。特别地，单独一个数或一个字 母也是代数式。 2.代数式的值 一般地，用数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值。 5 3.代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值。 (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式；②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍分关系；③把已知代数式看成一个整体代入求值。 6 知识点2　整式的相关概念 2. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 (所有常数项都是同类项) 7 【归纳总结】 确定同类项的条件 　　判断同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，相同字母的指数也相同。 特别地，所有常数项都是同类项。 8 3. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。 其法则是：合并同类项时，把同类项的______相加，字母和字母的 ________不变。   系数 指数 9 知识点3　整式的运算 1. 加减运算 (1)一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后合并同类项。 (2)去括号法则　　 “-”变，“+”不变 ①如果括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变，如a+(b-c)=a+b-c，a+(b+c)=a+b+c； ②如果括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，如a-(b-c)=a-b+c，a-(b+c)=a-b-c。可简记为“-”变，“+”不变。 10 2.幂的运算 (1)同底数幂相乘：am·an=______。(m，n都是正整数)  (2)同底数幂相除：am÷an=______。(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)  (3)幂的乘方：(am)n=_____。(m，n都是正整数)  (4)积的乘方：(ab)n=______。(n是正整数)  (5)零指数幂：a0=____。(a≠0)  (6)负整数指数幂：a-p= ____。(a≠0，p是正整数)  am+n am-n amn anbn 1   11 3.整式的乘法 (1)单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，如3xy·4x2z=12x3yz。 (2)单项式乘多项式：根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如a(b+c-d)=ab+ac-ad。 (3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。 12 4.整式的除法 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，如3a2b÷ ac2=(3÷ )a2-1·bc-2=9abc-2。 (2)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，如(4a3b+5ab2)÷3ab=4a3b÷3ab+5ab2÷3ab=a2+b。 13 知识点4　因式分解 1. 因式分解：把一个多项式化成几个________的积的形式。   2. 因式分解与整式乘法互为逆运算，即多项式 整式的积。 整式 14 3.因式分解的方法 (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)。 公因式的确定：①系数：取各项系数的最大公约数。②字母：取各项相 同的字母或因式。③指数：取各项相同字母的最低次数，如a3-a2+a= __________，公因式为___。  a(a2-a+1) a 15 (2)公式法： ①平方差公式：a2-b2= ___________。  ②完全平方公式：a2±2ab+b2= _________。  (3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= ____________，如x2-6x+8=(x-2)(x-4)。  (4)分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以把它前两项分成一组，提出公因式a，后两项分成一组，提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)，此方法适用于四项及以上的多项式的因式分解。 (a+b)(a-b) (a±b)2 (x+a)(x+b) 16 命题点1　代数式求值　 1. 【典例】 【整体思维】(2025·威海)若2x-3y=2，则6y-4x+1 =________。   思维导引：对所求代数式进行变形，使其含有已知方程中的式子，将已知式子作为一个整体→代入所求代数式中进行求解。 -3 【解析】 ∵2x-3y=2,∴3y-2x=-2, ∴6y-4x+1=2(3y-2x)+1=2×(-2)+1=-3。故答案为-3。 17 2. (2025·长春)已知x2+2x=4，则代数式7-x2-2x的值为______。   3 【解析】 ∵x2+2x=4, ∴7-x2-2x=7-(x2+2x)=7-4=3。 故答案为3。 18 3. 若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为________。   90 【解析】 ∵m+n=10,mn=5, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=102-2×5=90。故答案为90。 19 命题点2　整式的相关概念　 4. 【典例】(2024·泰安)单项式-3ab2的次数是________。   5. 若-4xm+2y4与2x3yn-1的和是单项式，则m-n的值为(　　) A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 3 【解析】 由题意得m+2=3,n-1=4,解得m=1,n=5, ∴m-n=1-5=-4。故选A。 6. 单项式-5ab的系数为______。   -5 20 命题点3　因式分解　 7. 【典例】(2024·德州)分解因式：x2-4=__________。   (x+2)(x-2) 21 【解题通法】 因式分解的一般步骤 一提：如果多项式各项都有公因式，应先提公因式，别忘记负号、系数等。 二套：观察多项式的特点，考虑使用平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 三分组：若多项式为四项及以上时，考虑分组分解法，常用的有二二分组和一三分组。 四检查：检查是否正确，检查是否分解彻底。 22 8. (2024·山东)因式分解：x2y+2xy=__________。   9. (2025·青岛)因式分解：3x2-3y2=_______________。   10. (2025·烟台)因式分解：2x2-12xy+18y2=____________。   xy(x+2) 3(x+y)(x-y) 2(x-3y)2 23 命题点4　整式的运算　 11. 【典例】(2025·山东)已知a≠0，则下列运算正确的是(　　) A. -2a+3a=5a B. (-2a3)2=4a6 C. a2-a=a D. a6÷a2=a3 【解析】 A.-2a+3a=a,故该选项错误,不符合题意。 B.(-2a3)2=4a6,故该选项正确,符合题意。 C.a2与a不是同类项,无法合并,故该选项错误,不符合题意。 D.a6÷a2=a4,故该选项错误,不符合题意。故选B。 24 12. (2024·山东)下列运算正确的是(　　) A. a4+a3=a7 B. (a-1)2=a2-1 C. (a3b)2=a3b2 D. a(2a+1)=2a2+a 【解析】 A.a4和a3不是同类项,不能合并,故本选项不符合题意。 B.(a-1)2=a2-2a+1,故本选项不符合题意。 C.=a6b2,故本选项不符合题意。 D.a(2a+1)=2a2+a,故本选项符合题意。故选D。 25 13. (2025·烟台)下列计算正确的是(　　) A. 2x2+x3=3x5 B. 2x2·x3=2x5 C. 2x3÷(-x2)=2x D. (2x2)3=2x6 【解析】 A.x2与x3不是同类项,无法合并,故该选项错误。 B.2x2·x3=2x5,故该选项正确。 C.2x3÷(-x2)=-2x,故该选项错误。 D.(2x2)3=8x6,故该选项错误。故选B。 26 14. (2024·河北)若a，b是正整数，且满足 = ， 则a与b的关系正确的是(　　) A. a+3=8b B. 3a=8b C. a+3=b8 D. 3a=8+b 【解析】 由已知得8×2a=28b,即2a+3=28b,∴a+3=8b。 故选A。 27 命题点5　整式的化简及求值　 15. 【典例】 【核心素养·运算能力】(2024·济宁)先化简，再求值： x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)，其中x=，y=2。 解：原式=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2。 其中x=，y=2，∴原式=×2-22=1-4=-3。 28 16. (2025·常州)先化简，再求值：x(x+2)+(x-1)2，其中x=。 解：原式=x2+2x+x2-2x+1=2x2+1。 当x=时，原式=2×()2+1=7。 29 命题点6　规律的探索　 考法❶　数式规律的探索 17. 【典例】 【逻辑推理思维】(2025·河南)观察2x，4x2，6x3，8x4，…根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为________。   思维导引：观察式子的系数，推理其变化规律→观察x的指数，推理其变化规律→总结出第n个代数式。 2nxn 30 【解析】 第1个式子为2x=1×2x1; 第2个式子为4x2=2×2x2; 第3个式子为6x3=3×2x3; 第4个式子为8x4=4×2x4; …… 观察发现,第n个式子为2nxn。 故答案为2nxn。 31 18. (2025·聊城高唐二模)发现：71=7，72=49，73=343，74=2 401， 75=16 807，76=117 649，…依据上述规律，通过计算判断6×(7+1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)×…×(764+1)+1的结果的个位数字 是(　　) A. 7 B. 9 C. 3 D. 1 32 【解析】 原式=(7-1)×(7+1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)×…×(764+1)+1 =(72-1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)×…×(764+1)+1 =(764-1)×(764+1)+1 =7128。 根据题中规律可得从71到7n,结果的个位数字每四个一循环,分别为7,9,3,1。 ∵128÷4=32, ∴7128的结果的个位数字为1。 故选D。 33 19. 【数学文化】下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”. 其规律：从第 三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之 和. 表中两平行线之间的一列数1，3，6，10，15，…我们把第一个数 记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…第n个数记为an，则 a60-a12=________。 1 752 34 【解析】 由题知a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,… ∴an=1+2+3+…+n=。 当n=60时,a60==1 830; 当n=12时,a12==78。 ∴a60-a12=1 830-78=1 752。 故答案为1 752。 35 考法❷　图形规律的探索 20. 【典例】 【核心素养·推理能力】(2025·陕西)生活中常按图1的方式砌 墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图2，第1个 图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…… 则第10个图案需要用矩形的个数为________。   21 36 思维导引：观察图形，数出每一个图形中矩形的个数→推理出后一个图形的矩形个数与前一个图形的矩形个数的差别→最后代入求值。 37 【解析】 观察图形可知,第1个图案用了3个矩形,即3=2×1+1; 第2个图案用了5个矩形,即5=2×2+1; 第3个图案用了7个矩形,即7=2×3+1; …… 第n个图案用了(2n+1)个矩形, ∴第10个图案需要用矩形的个数为2×10+1=21(个)。 故答案为21。 38 21. (2024·泰安)如图所示，是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋 子”。 按照此规律继续摆下去，第________个“小屋子”中图形“ ”个数是图形 “ ”个数的3倍。   12 39 【解析】 第1个“小屋子”中图形“ ”的个数为1,“ ”的个数为4=1×2+2; 第2个“小屋子”中图形“ ”的个数为3=1+2,“ ”的个数为6=2×2+2; 第3个“小屋子”中图形“ ”的个数为6=1+2+3,“ ”的个数为8=3×2+2; 第4个“小屋子”中图形“ ”的个数为10=1+2+3+4,“ ”的个数为10=4×2+2; …… ∴第n个“小屋子”中图形“ ”的个数为1+2+3+…+n=,“ ”的个数为2n+2。 由题意知=3(2n+2),解得n1=-1,n2=12。 ∵n为正整数,∴n=12, ∴第12个“小屋子”中图形“ ”个数是图形“ ”个数的3倍。故答案为12。 40 22.(2025·淄博)画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5 000块，那么至少要画的 直线条数是 ______。  100 41 【解析】 画1条直线,最多把1张圆形纸片分割成2=1+1块区域; 画2条直线,最多把1张圆形纸片分割成4=1+1+2块区域; 画3条直线,最多把1张圆形纸片分割成7=1+1+2+3块区域; …… 画n条直线,最多把1张圆形纸片分割成1+1+2+3+…+n=[1+]块区域。 ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5 000块, ∴1+≥5 000。 42 当n=99时,+1=4 951; 当n=100时,=5 051, ∴至少要画的直线条数是100。故答案为100。 43 【易错点加练】 易错点1　混淆单项式的概念 1. 下列说法中正确的有(　　) ①0，与都是单项式；②-的系数是-2；③n的系数和次数都是1； ④-8的系数是-8，次数是1；⑤的系数是-，次数是6。 A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 44 【解析】 ①不是单项式,故原说法错误。 ②-的系数是-,故原说法错误。 ③n的系数和次数都是1,故原说法正确。 ④-8的系数是-8,次数是0,故原说法错误。 ⑤的系数是-,次数是6,故原说法正确。 故选B。 45 易错点2　幂的乘方与积的乘方 2. 若x，y均为正整数，且·4y=128，则x+y的值为(　　) A. 3　　　 B. 5 C. 4或5 D. 3或4或5 【解析】 ∵·4y=,27=128, ∴x+1+2y=7,即x+2y=6。 ∵x,y均为正整数, ∴或 ∴x+y=4或5。故选C。 46 易错点3　幂的运算分不清底数 3. 计算：-a8·(-a)8=________。   -a16 【解析】 -a8·(-a)8=-a8·a8=-a16。故答案为-a16。 易错点4　对完全平方式不理解 4. 如果x2+2(k+2)x+1是一个完全平方式，那么k的值是________。   -1或-3 47 1. (2024·河南)计算()3的结果是(　　) A. a5 B. a6 C. aa+3 D. a3a 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 48 2. (2025·济南)下列运算正确的是(　　) A. m2 ·m3=m5 B. m6÷m2=m3 C. 2m+3n=5mn D. (m2)3=m5 【解析】A.原式=m5,故该选项符合题意。 B.原式=m4,故该选项不符合题意。 C.m和n不是同类项,不能合并,故该选项不符合题意。 D.原式=m6,故该选项不符合题意。故选A。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 49 3. (2025·日照东港二模)若a，b是正整数，且满足3a×3a×3a=3b+3b+3b，则下列a与b关系正确的是(　　) A. a+b=3 B. 2a+b=3 C. 3a-b=1 D. 3a-2b=1 【解析】 根据题意可知33a=3×3b, 即33a=3b+1, ∴3a=b+1,即3a-b=1。故选C。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 50 4. 若xa=2，xb=3，则x3a-b的值为(　　) A. 2 B. 3 C. D. 5 【解析】 ∵xa=2,xb=3, ∴x3a-b=x3a÷xb=(xa)3÷xb=23÷3=。 故选C。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 51 5. 分解因式：(1)9a3-ab2=__________________。   (2)4xy-2x2-2y2=________。   a(3a+b)(3a-b) -2(x-y)2 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 52 6. 若5x=3，5y=2，则52x-3y=________。   【解析】 ∵52x=(5x)2=9,53y=(5y)3=8, ∴52x-3y=52x÷53y=9÷8=。故答案为。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 53 7. 若x=1时，代数式ax3-3bx+4的值为7，则当x=-1时，这个代数式的 值为________。   1 【解析】 ∵当x=1时,a-3b=7-4=3, ∴当x=-1时,-a+3b+4=-3+4=1。故答案为1。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 54 8. 计算：(-2)2 024×(+2)2 025=__________。   +2 【解析】 原式=[(-2)(+2)]2 024×(+2)= 1×(+2)=+2。故答案为+2。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 55 9. 已知(x-y)2=25，xy=14，则x2+y2的值为________。   53 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 56 10. 【数学文化】(2025·烟台蓬莱二模)《庄子·天下篇》中有这样一句话： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。 ”意思是一尺长的木棒，每日截取它的 一半，永远截不完。 那么第2 025次截取后剩下的木棒有________尺。   ()2 025　 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 57 【解析】 第1次截取后,剩余的木棒有1-=(尺); 第2次截取后,剩余的木棒有×=()2(尺); 第3次截取后,剩余的木棒有()3尺; …… 第2 025次截取后剩余的木棒有()2 025尺。 故答案为()2 025。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 58 11. 化简：(2m+n)2-(m+2n)2。 解：原式=4m2+4mn+n2-m2-4mn-4n2=3m2-3n2。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 59 12. (2025·潍坊节选)先化简，再求值：x(5x-8y)-4(x-y)2，其中x，y满足x+2y=0。 解：原式=5x2-8xy-4(x2-2xy+y2) =x2-4y2。 ∵x+2y=0， ∴x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=0×(x-2y)=0。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 12 60 61 $