40 第六章 第二节 与圆有关的位置关系 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦“圆”的核心考点，覆盖点与圆、直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，三角形内切圆等中考高频内容。严格对接中考说明，分析考点权重，如切线性质6年5考、切线判定6年2考，并归纳证明垂直、求线段长等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“知识梳理+考点突破+真题演练”模式，通过2024年广州中考题解析点与圆位置关系，用“连半径证垂直”等通法培养推理能力与几何直观。设置一题多设问典例，如切线性质证明结合相似三角形计算，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

1 2 第二节　与圆有关的位置关系 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　点、直线与圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 设☉O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d,则 (1)点P在圆外⇔d______r.  (2)点P在圆上⇔d______r.  (3)点P在圆内⇔d______r.  > = < 5 2.直线和圆的位置关系 设☉O的半径为r,圆心到直线l的距离为OP=d,则直线和圆的位置关系如下表: 位置关系 相离 相切 相交 图示 d与r的关系 d>r d=r d<r 交点个数 没有交点 1个交点 2个交点 6 知识点2　切线的判定与性质 1.切线:直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫作圆的切线,这个唯一的公共点叫作切点. 2.切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 3.切线的判定 (1)定义判定:和圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)数量关系:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. (3)定理:过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 7 4.切线长:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫作这点到圆的切线长. 5.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 8 知识点3　三角形的内切圆 1.和三角形三边都________的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心 叫作三角形的内心.  2.三角形的内心是三角形的三条____________的交点,它到三角形三边 的距离相等.  3.三角形的内心在三角形的内部. 相切 角平分线 9 【知识拓展】 三角形内切圆半径与三角形三边关系 　　若已知☉O是△ABC的内切圆,三角形三边长分别为a,b,c,面积为S, 圆的半径为r,则r=.特别地,当△ABC是直角三角形,∠C=90°时, r=(a+b-c). 10 命题点1　点、直线与圆的位置关系6年0考　 1.【典例】 一个点到圆的最小距离为3 cm,最大距离为6 cm,则该圆的 直径是(　　)　　　　　　　　　　　 A.1.5 cm B.1.5 cm或4.5 cm C.4.5 cm D.3 cm或9 cm 【解析】 若点在圆外,则该圆的直径=6-3=3(cm);若点在圆内,则该圆的直径=6+3=9(cm), 即该圆的直径为3 cm或9 cm. 11 2.在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,点P为圆 上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是(　　)　　　　　　　　　　 A.2 B.5 C.6 D.8 【解析】 如图,由题意得OA=2,OB=3. 当点P在BO的延长线与☉O的交点处时,点P到直线l的 距离最大,此时,点P到直线l的距离是3+2=5. 12 3.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB, ∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P.若OP=5,则点P与☉O的位置 关系是(　　)　　　　　　　　　 A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定 13 【解析】 如图,设AB与OC交于点D. ∵弦AB的长为4,OC⊥AB, ∴AD=BD=AB=2. ∵∠ABC=30°,∴∠AOD=2∠ABC=60°, ∴∠A=90°-60°=30°,∴OA=2OD. 设OD=x,则OA=2x. 在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,即x2+(2)2=(2x)2, 解得x=2(负值已舍去),∴OA=2x=4. ∵OP=5,∴OP>OA, ∴点P在☉O外. 14 命题点2　 三角形的内切圆6年0考　 4.【典例】 如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D,☉E是△ACD的内切 圆,连接AE,BE,则∠AEB的度数为________.  135° 15 【解析】 如图,连接EC. ∵点E是△ADC的内心, ∴AE平分∠CAD,CE平分∠ACD, ∴∠EAC=∠EAB,∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-=135°. 在△AEC和△AEB中, ∴△AEC≌△AEB(SAS),∴∠AEB=∠AEC=135°. 16 5.【新题型·多空题】 (2024·自贡)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.图中三组相等的线段分别是 CE=CF,AF=_________,BD=_________;若AC=3,BC=4,则☉O的半径长 为_______.  AD BE 1 17 【解析】 如图,连接OE,OF. 由切线长定理可知AF=AD,BD=BE. ∵∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆, ∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°,OE=OF, ∴四边形OECF是正方形. 设OE=OF=CF=CE=x, 则BE=BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF=3-x=AD. ∵BD+AD=AB===5, ∴4-x+3-x=5,解得x=1, ∴OE=1,即☉O的半径长为1. 18 命题点3　与切线的性质有关的证明及计算 6年5考 6.【典例】 【一题多设问】 如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,点D是 的中点,过点D作☉O的切线,与AB,AC的延长线分别交于点E,F,连接AD,BD. 设问1　证垂直 (1)求证:AF⊥EF. 19 (1)证明:如图,连接OD. ∵点D是的中点,∴=, ∴∠FAD=∠BAD. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠BAD, ∴∠FAD=∠ODA,∴OD∥AF, ∴∠ODE=∠AFD. ∵DF是☉O的切线,OD为☉O的半径, ∴∠ODE=90°,∴∠AFD=90°,∴AF⊥EF. 20 设问2　知线段数量关系,求长度 (2)已知AO=2,若AC=2CF,求BE的值. (2)解:如图,连接BC. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠AFE,∴BC∥EF, ∴=. ∵AB=2AO=4,AC=2CF,∴BE=AB=2. 21 设问3　证角相等 (3)连接BD,求证:∠FAD=∠EDB. (3)证明:∵AB为☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵∠AFD=90°,∴∠FAD+∠ADF=90°. ∵∠EDB+∠ADF=90°,∴∠FAD=∠EDB. 22 设问4　知锐角三角函数值,求长度 (4)若tan∠CAD=,AB=5,求线段BE的长. 23 (4)解:∵tan∠CAD=,∴tan∠DAO=. 在Rt△ADB中,AB=5, ∴BD=,AD=2. 在Rt△AFD中,可得DF=2,AF=4. 由(1)得OD∥AF, ∴△EDO∽△EFA,∴=. 又∵OD=,设BE=x, ∴=,∴x=,即BE=. 24 设问5　知角度,求弦长 (5)若直径AB=12,∠AEF=30°,求弦AD的长. (5)解:∵∠AFE=90°,∠AEF=30°, ∴∠FAE=60°. ∵AD平分∠FAB,∴∠FAD=∠DAB=30°. ∵∠ADB=90°,AB=12, ∴BD=AB=6,∴AD==6. 25 设问6　证四边形为菱形 (6)连接BD,CD,OC,当∠E的度数为________时,四边形OBDC是菱形.  (6)解:30° 提示:如图,连接OD. ∵EF是☉O的切线,∴OD⊥DE,∴∠ODE=90°. 若四边形OBDC是菱形,则OB=BD=CD. ∵OB=OD, ∴OB=OD=BD,∴∠DOB=60°, ∴∠E=180°-∠ODE-∠DOB=180°-90°-60°=30°. 26 【解题通法】 (1)仔细审题,明确题干中的条件和图形中隐含的条件. (2)证明过程: ①证线段垂直:连半径,关键在于“倒角证平行+直角”. ②证角相等/角平分线/角度关系常考直角三角形两锐角互余、等腰三角形的性质、全等三角形、平行线+等腰三角形等. ③求线段长/线段比值常通过相似三角形比例关系,结合勾股定理考查,或利用解直角三角形、全等三角形得到线段的等量关系. (3)条件不足时,添加辅助线,使得模型完整或能使特殊图形的性质得以应用. 27 7.(2023·济南)如图,AB,CD为☉O的直径,C为☉O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,∠ABC=2∠BCP,点E是 的中点,弦CE,BD相交于点F. (1)求∠OCB的度数; (2)若EF=3,求☉O的直径的长. 28 解:(1)∵PC与☉O相切于点C, ∴OC⊥PC,∴∠OCB+∠BCP=90°. ∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC. ∵∠ABC=2∠BCP,∴∠OCB=2∠BCP, ∴3∠BCP=90°,∴∠BCP=30°,∴∠OCB=60°. 29 (2)如图,连接DE. ∵CD是☉O的直径,∴∠DEC=90°. ∵点E是的中点,∴=, ∴∠DCE=∠ECB=∠FDE=∠DCB=30°. 在Rt△FDE中,EF=3,∠FDE=30°, ∴DE==3. 在Rt△DEC中,∠DCE=30°,∴CD=2DE=6, ∴☉O的直径的长为6. 30 8.(2025·济南历下三模)如图,AB是☉O的直径,C,D为圆上两点,AC=BC,连接CD交AB于点E,过点D作☉O的切线,交AB的延长线于点F. (1)求证:DF=EF. (2)若DF=4,tan∠BCE=,求AB的长. 31 (1)证明:如图,连接 OC,OD. ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵AC=BC,点O为AB的中点,∴OC⊥AB, ∴在Rt△OCE中,∠OCE+∠OEC=90°. ∵DF为☉O的切线,∴OD⊥DF, ∴∠ODE+∠FDE=90°. ∵OC=OD,∴∠OCE=∠ODE,∴∠OEC=∠EDF. 又∵∠OEC=∠DEF,∴∠DEF=∠EDF,∴DF=EF. 32 (2)解:如图,连接AD,BD. ∵=,∴∠BCD=∠BAD. ∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°. ∵tan∠BCE=,∴tan∠BAD==. ∵OA=OD,∴∠DAO=∠ODA. 又∵∠ODA+∠ODB=∠ODB+∠BDF=90°, ∴∠OAD=∠ODA=∠BDF. ∵∠F=∠F,∴△FBD∽△FDA, ∴==,即==,∴FB=2,FA=8, ∴AB=FA-FB=8-2=6. 33 命题点4　与切线的判定有关的证明及计算 6年2考 9.【典例】 (2024·济南)如图,AB,CD为☉O的直径,点E在上,连接AE,DE,点G在BD的延长线上,AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°. (1)求证:AG与☉O相切. (2)若BG=4,sin∠DAE=,求DE的长. 34 (1)证明:∵∠EDB,∠EAB所对的弧是同弧, ∴∠EDB=∠EAB. ∵∠EAD+∠EDB=45°,∴∠EAD+∠EAB=45°, 即∠BAD=45° . ∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B=45°. ∵AB=AG,∴∠B=∠G=45°, ∴∠GAB=90°. 又∵AB是☉O的直径,∴AG与☉O相切. 35 (2)解:如图,连接CE. ∵∠DAE,∠DCE所对的弧是同弧, ∴∠DAE=∠DCE. ∵DC为☉O的直径,∴∠DEC=90°. 在Rt△DEC中,sin∠DCE=sin∠DAE== . ∵BG=4,∠B=45°,∠BAG=90°, ∴AB=DC=BG=2, ∴DE=DC·sin∠DCE=2×=. 36 【解题通法】 ①“连半径,证垂直”:若直线与圆有公共点,则连接圆心与交点得到半径,证明半径与直线垂直. ②“作垂直,证半径”:若未给出直线与圆的公共点,则过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径.在判定时,必须说明“是半径”或“点在圆上”. 37 10.(2025·济南)如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,P为☉O外一点, OP∥AC,且∠OBP=90°,连接PC. (1)求证:PC与☉O相切. (2)若AO=3,OP=5,求AC的长. 38 (1)证明:如图,连接OC. ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. ∵OP∥AC,∴∠OAC=∠BOP,∠OCA=∠COP, ∴∠COP=∠BOP. 又∵OC=OB,OP=OP, ∴△OCP≌△OBP(SAS), ∴∠OCP=∠OBP=90°. ∵OC为☉O的半径, ∴PC与☉O相切. 39 (2)解:如图,连接CB. ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵∠OBP=90°,∴∠ACB=∠OBP. 又∵∠OAC=∠BOP, ∴△ACB∽△OBP,∴=. ∵AO=3,∴OB=3,AB=2AO=6. ∵OP=5,∴=,∴AC=. 40 11.(2025·山东)如图,在△OAB中,点A在☉O上,边OB交☉O于点C,AD⊥OB于点D,AC是∠BAD的平分线. (1)求证:AB为☉O的切线. (2)若☉O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长. 41 (1)证明:∵AD⊥OB,∴∠DAC+∠ACD=90°. ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. ∵AC是∠BAD的平分线,∴∠DAC=∠BAC, ∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°, 即AB⊥OA. 又∵OA为☉O的半径,∴AB为☉O的切线. 42 (2)解:∵∠AOB=45°,AB⊥OA, ∴△OAB是等腰直角三角形. ∵☉O的半径为2,∴OA=OC=2, ∴OB=OA=2, ∴CB=OB-OC=2-2. 43 1.已知平面内有☉O和点P,若☉O上一动点到点P的距离的最大值和最小值分别为8 cm和2 cm,则☉O的半径为(　　) A.5 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.无法确定 【解析】 若点P在圆外,则☉O的半径=×(8-2)=3(cm); 若点P在圆内,则☉O的半径=×(8+2)=5(cm), ∴☉O的半径为3 cm或5 cm. 1 3 5 题序 2 4 44 2.如图所示,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B两点,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于点D,E.若△PDE的周长为12,则PA的长为(　　) A.12 B.6 C.8 D.4 1 3 5 题序 2 4 45 【解析】 ∵PA,PB分别和☉O切于A,B两点, ∴PA=PB. ∵DE是☉O的切线,∴DA=DC,EB=EC. ∵△PDE的周长为12, 即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12,∴PA=6. 1 3 5 题序 2 4 46 3.如图,已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与AB的延长线 交于点P,连接AC.若∠A=30°,PC=3,则BP的长为______.  1 3 5 题序 2 4 47 【解析】 如图,连接OC. ∵OA=OC,∠A=30°, ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°. ∵PC是☉O的切线, ∴∠PCO=90°,∴∠P=30°. ∵PC=3, ∴OB=OC=PC·tan 30°=, ∴PO=2OC=2, ∴BP=PO-OB=. 1 3 5 题序 2 4 48 4.(2022·济南)已知:如图,AB为☉O的直径,CD与☉O相切于点C,交AB的延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F. (1)求证:CA=CD. (2)若AB=12,求线段BF的长. 1 3 5 题序 2 4 49 (1)证明:如图,连接OC. ∵CD与☉O相切于点C, ∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°. ∵∠CDA=30°, ∴∠COB=90°-∠CDA=60°, ∴∠CAB=∠COB=30°, ∴∠CAD=∠CDA,∴CA=CD. 1 3 5 题序 2 4 50 (2)解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°. 在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=12, ∴BC=AB=6. ∵CE平分∠ACB, ∴∠ECB=∠ACB=45°. ∵BF⊥CE,∴∠CFB=90°, ∴BF=BC·sin 45°=6×=3. 1 3 5 题序 2 4 51 5.(2025·烟台)如图,△ABC内接于☉O,∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延长线上,且BD=AB,连接AD. (1)求证:AD是☉O的切线. (2)当AB=5,AC=8时,求BC的长及☉O的半径. 1 3 5 题序 2 4 52 (1)证明:如图,连接AO并延长交☉O于点E,连接BE. ∵BD=AB,∴∠D=∠BAD, ∴∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D. 又∵∠ABC=2∠C,∴∠D=∠C,∴∠BAD=∠C. ∵=,∴∠C=∠E,∴∠BAD=∠E. ∵AE是☉O的直径,∴∠ABE=90°,∠BAE+∠E=90°, ∴∠BAD+∠BAE=90°,即AD⊥AE. 又∵AO是☉O的半径,∴AD是☉O的切线. 1 3 5 题序 2 4 53 (2)解:∵∠D=∠D,∠DAB=∠C, ∴△DAB∽△DCA,∴=. ∵∠D=∠C,∴AD=AC=8. 又∵DB=AB=5,∴=,解得BC=. 如图,过点A作AF⊥DC于点F. ∵AD=AC, 1 3 5 题序 2 4 54 ∴DF=FC=(DB+BC)=×(5+)=, ∴AF===, ∴sin D===. 又∵∠E=∠D, ∴AE====,∴☉O的半径为. 1 3 5 题序 2 4 55 56 $