44 第七章 第二节 尺规作图 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦“尺规作图”核心考点，严格对接中考说明，分析近6年6考的高频考查趋势，系统梳理五种基本作图的步骤与性质，归纳角平分线、垂直平分线等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养”模式，精选2024-2025年济南、烟台等地中考真题，如正方形中尺规作图求边长问题，通过几何直观分析图形关系，结合推理能力推导等量关系，帮助学生掌握辅助线添加技巧。教师可依托此资料实施精准复习，提升学生空间观念和解题得分率，助力中考冲刺。

1 2 第二节　尺规作图 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点　尺规作图 　　尺规作图:我们把只能使用_______和__________的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图.  五种基本尺规作图 图示 性质 1.作一条线段等于已知线段(已知线段a) ①作射线OP; ②在OP上截取OA=_____, OA即为所求线段  OA=a 圆规 没有刻度 a 5 五种基本尺规作图 图示 性质 2.作一个角等于已知角(已知∠α) ①在∠α上以点O为圆心,以_________为半径作 弧,交∠α的两边于点P,Q;  ②作射线O'A; ③以点O'为圆心,OP长为半径作弧,交O'A于点M; ④以点_____为圆心,______的长为半径 作弧,交步骤③中的弧于点N;  ⑤过点O',N作射线O'B,∠AO'B即为所求角 ∠MO'N=∠α 适当长 M PQ 6 五种基本尺规作图 图示 性质 3.作已知角的平分线(已知∠AOB) ①以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于点M,N; ②分别以点M,N为圆心,以__________的长为 半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点P;  ③作射线OP,OP即为所求角平分线 连接MP,NP. ①OM=NO; ②∠MOP=∠NOP; ③△MON为等腰 三角形; ④点M,N关于射线OP对称; ⑤△MOP≌△NOP 大于MN 7 五种基本尺规作图 图示 性质 4.作线段的垂直平分线(已知线段AB) ①分别以点A,B为圆心,以____________ 的长为半径,在AB________作弧,分别交 于点M,N;  ②过点M,N作直线,MN交AB于点O,MN即 为所求垂直平分线 连接AM,BM,AN,BN. ①四边形ANBM 是菱形; ②OA=OB; ③MN⊥AB; ④MN平分∠AMB 和∠ANB 大于AB 两侧 8 五种基本尺规作图 图示 性质 5.过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l) (1)点P在直线l上:①以点P为圆心,任意长为半径 向点P_______直线上作弧,交直线l于A,B两点;  ②分别以点A,B为圆心,以_________长为半径向 直线两侧作弧,两弧分别交于M,N两点;  ③过点M,N作直线,直线MN即为所求垂线. (2)点P不在直线l上:①在直线l异于点P的一侧任 意取一点M,使点M和点P在直线l的_______;  ②以点P为圆心,_____长为半径画弧,交直线 l于A,B两点;  ③分别以点A,B为圆心,以_________长为半径 画弧,在M同侧交于点N;  ④过点P,N作直线,直线PN即为所求垂线   (1)连接AM,BM,AN,BN. ①AP=BP; ②MN⊥AB; ③四边形ANBM是菱形. (2)连接AP,BP,AN,BN. ①PA=PB; ②AN=BN; ③PN⊥AB 两侧 大于AB 两侧 PM 大于AB 9 命题点　尺规作图6年6考　 1.【典例】 (2024·济南)如图,在正方形ABCD中,分别以点A和B为圆心,以大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于点E和F,作直线EF,再以点A为圆心,以AD的长为半径作弧交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部),连接DG并延长交BC于点K.若BK=2,则正方形ABCD的边长为(　　)　　　　　　　　　　 A.+1 B. C. D.+1 10 【解析】 如图,连接AG,设EF与AB交于点H. 设正方形边长为2x. 由作图知AG=AD=2x,EF垂直平分AB, ∴AH=BH=AB=x,∠AHG=90°,∴GH==x. ∵∠BAD=90°,∴AD∥GH. ∵AD∥BC,∴AD∥GH∥BC,∴==1,∴DG=GK. ∵BK=2,∴GH=(AD+BK)=x+1, ∴x=x+1,∴x=,∴2x=+1. 11 2.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示 作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12 【解析】第一个图为尺规作角平分线的方法,OP为∠AOB的平分线. 第二个图,由作图可知OD=OC,OA=OB, ∴BD=AC. ∵∠AOD=∠BOC,∴△AOD≌△BOC(SAS), ∴∠OAD=∠OBC. ∵BD=AC,∠BPD=∠APC, ∴△BPD≌△APC(AAS), ∴AP=BP. 13 ∵OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP(SSS), ∴∠AOP=∠BOP,∴OP为∠AOB的平分线. 第三个图,由作图可知∠ACP=∠AOB,OC=CP, ∴CP∥BO,∠COP=∠CPO,∴∠CPO=∠BOP, ∴∠COP=∠BOP,∴OP为∠AOB的平分线. 第四个图,由作图可知OP⊥CD,OC=OD,∴OP为∠AOB的平分线. 14 3.(2025·济南)如图,在△ABC中,按如下步骤作图: ①在CA和CB上分别截取CM,CN,使CM=CN,分别以点M和N为圆心,以大于 MN的长为半径作弧,两弧在∠ACB内交于点O,作射线CO交AB于点D.②分别以点C和D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P和Q,作直线PQ交AC于点E,交BC于点F. 根据以上作图,若AD=4,DB=2,BC=3, 则线段AE的长为(　　) A.　　 B.　 C.5　 D.4 15 【解析】 如图,连接DF,DE,设CD,EF交于点G. 由作图可知CD平分∠ACB,PQ为线段CD的垂直平分线, ∴∠ACD=∠BCD,DG=CG,∠CGE=∠CGF,CE=DE,CF=DF. ∵CG=CG,∴△CGE≌△CGF(ASA),∴CE=CF, ∴CE=CF=DF=DE,∴四边形DECF为菱形, ∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=. ∵AD=4,DB=2,BC=3,∴=,∴DE=2. ∵DF=CE=DE,∴DF=2. 同理可得 =,∴AC=6,∴AE=AC-CE=6-2=4. 16 4.(2023·济南)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以点B,D为圆心,以大于BD的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE,以下结论不正确的是(　　) A.∠BCE=36° B.BC=AE C.= D.= 17 【解析】由题意可知CE平分∠ACB. ∵AB=AC,∠BAC=36°, ∴∠ABC=∠ACB==72°, ∴∠BCE=∠ACE=36°,故A选项正确. ∵∠ABC=72°,∠BCE=36°, ∴∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=72°, ∴∠BEC=∠CBE,∴BC=CE. 又∵∠ACE=∠BAC,∴CE=AE, ∴BC=AE,故B选项正确. 18 ∵∠BCE=∠BAC=36°,∠CBE=∠ABC, ∴△CBE∽△ABC,∴=. 设BE=a,BC=b,则AB=a+b,∴=, 整理得a2+ab-b2=0, 两边同除以b2得()2+-1=0, 解得=(负值已舍去), ∴====,故D选项正确. ∵=,∴===,故C选项错误. 19 5.(2024·泰安)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,分别以顶点A,C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧分别相交于点M和点N,作直线MN分别与BC,AC交于点E和点F;以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点H和点G,再分别以点H、点G为圆心,大于 HG的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP.若射线AP恰好经过点E,则下列四个结论: ①∠C=30°; ②AP垂直平分线段BF; ③CE=2BE; ④S△BEF=S△ABC. 其中,正确结论的个数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20 【解析】由作图可知MN垂直平分线段AC, ∴EA=EC,∴∠EAC=∠C. 由作图可知AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE. ∵∠ABC=90°,∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°,故①正确. ∴AC=2AB. ∵AF=FC,∴AB=AF, ∴AP垂直平分线段BF,故②正确. 21 ∵AE=2BE,EA=EC,∴EC=2BE,故③正确. ∴S△BEF=S△BCF. ∵AF=FC,∴S△BFC=S△ABC, ∴S△BEF=S△ABC,故④正确. 22 6.(2024·山东)如图,已知∠MAN,以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别与 AM,AN相交于点B,C;分别以点B,C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两 弧在∠MAN内部相交于点P,作射线AP.分别以点A,B为圆心,以大于 AB的 长为半径作弧,两弧相交于点D,E,作直线DE分别与AB,AP相交于点F,Q. 若AB=4,∠PQE=67.5°,则点F到AN的距离为_________.  23 【解析】 如图,过点F作FH⊥AC于点H. 由作图可得∠BAP=∠CAP, DE⊥AB,AF=BF=AB=2. ∵∠PQE=67.5°,∴∠AQF=67.5°, ∴∠BAP=∠CAP=90°-67.5°=22.5°, ∴∠FAH=45°,∴AH=FH=AF=, ∴点F到AN的距离为. 24 7.(2025·山东)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,如图1. (1)求∠ADC的度数. (2)已知AB=3,分别以点C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点E,交AD的延长线于点F.如图2,求DF的长. 25 解:(1)∵∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴∠BAC=60°. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠DAC=∠DAB=∠BAC=30°, ∴∠ADC=∠DAB+∠ABC=120°. 26 (2)由作图知MN是线段CD的垂直平分线, ∴DE=CE=CD. ∵∠DAC=∠C=30°,∴AD=CD. ∵∠ABC=90°,∠DAB=30°, ∴AD==2,BD=AD=CD=DE. ∵∠ADB=∠FDE,∠ABD=∠FED=90°, ∴△ADB≌△FDE(ASA),∴DF=AD=2. 27 1.(2025·资阳)如图,在射线BA,BC上,分别截取BM,BN,使BM=BN;再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧,在∠ABC内,两弧交于点D,作射线BD;过点D作DE∥BC交BA于点E.若∠BDE=30°,则∠AED的度数是(　　)　　　　　　　 A.30° B.45° C.60° D.75° 1 3 5 题序 2 4 28 【解析】 由作图过程可知射线BD为∠ABC的平分线, ∴∠ABC=2∠CBD. ∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,∠CBD=∠BDE=30°, ∴∠ABC=60°,∴∠AED=60°. 1 3 5 题序 2 4 29 2.(2025·辽宁)如图,在△ABC中,AB=16,BC=12,CA=10,∠ABC的平分线BP与AC相交于点D.在线段AD上取一点K,以点C为圆心,CK长为半径作弧,与射线BP相交于点M和点N,再分别以点M和点N为圆心,大于 MN的长为半径作弧,两弧相交于点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连接DE.则△DAE的周长为(　　) A.12 B.14 C.16 D.18 1 3 5 题序 2 4 30 【解析】 由作图可知CE⊥BD,设CE,BD交于点O,则∠BOC=∠BOE=90°. ∵BP平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO. 在△BOC和△BOE中, ∴△BOC≌△BOE(ASA), ∴OC=OE,BE=BC=12, ∴BD垂直平分CE,AE=AB-BE=4, ∴DE=CD, ∴△DAE的周长为AE+DE+AD=AE+CD+AD=AE+AC=14. 1 3 5 题序 2 4 31 3.(2025·济南历下一模)如图,在菱形ABCD中,∠A=45°,分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交AD于点E,连接CE.若AB=2,则CE的长为(　　) A. B.+1 C.+1 D.2 1 3 5 题序 2 4 32 【解析】 如图,连接BE,设直线MN交AB于点F. ∵四边形ABCD为菱形, ∴BC=AB=2,∠ABC=180°-∠A=135°. 由作图过程可知直线MN为线段AB的垂直平分线, ∴AE=BE,∠AFE=90°,AF=AB=1. ∵∠A=45°,∴∠ABE=∠A=45°,AE=AF=, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°,BE=. 在Rt△BCE中,由勾股定理得 CE===. 1 3 5 题序 2 4 33 4.(2025·济南章丘二模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.按照如下步骤作图:①分别以点A,B为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N;②连接直线MN,交AC于点D;③以点D为圆心,BC的长为半径作弧,交AC的延长线于点E;④连接BD,BE.下列说法错误的是(　　) A.AD=BD B.BC2=AC·CD C.∠ABE=90° D.∠CBE=∠DEB 1 3 5 题序 2 4 34 【解析】 由作图过程可知直线MN为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD, 故A选项正确,不符合题意. ∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠ACB=72°. ∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°, ∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°, ∴∠BDC=∠ABC. ∵∠BCD=∠ACB, ∴△BCD∽△ACB,∴=,即BC2=AC·CD, 1 3 5 题序 2 4 35 故B选项正确,不符合题意. 由作图可知DE=BC. ∵∠BDC=∠ACB=72°,∴BD=BC, ∴BD=DE,∴∠DBE=∠DEB=54°, ∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=36°+54°=90°, 故C选项正确,不符合题意. ∵∠ABE=90°,∠ABC=72°, ∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=18°. ∵∠DEB=54°,∴∠CBE=∠DEB, 故D选项不正确,符合题意. 1 3 5 题序 2 4 36 5.(2025·济南市中一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径作弧,两弧交于点G,作射线AG交BC于点D;再分别以点A,B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于点P,Q,作直线PQ分别交AB,AD于点E,F.若AC=6,BC=8,则DF的长为(　　) A. B. C.1 D. 1 3 5 题序 2 4 37 【解析】 根据作图方法可知AD是∠BAC的平分线,PQ是线段AB的垂直平分线. ∵AC=6,BC=8, ∴AB==10. 由角平分线定理可知 =,即 =. ∵BC=8,∴CD=3,DB=5. 1 3 5 题序 2 4 38 如图,建立如图所示的平面直角坐标系. ∵A(0,6),D(3,0), ∴直线AD的表达式为y=-2x+6. ∵A(0,6),B(8,0), ∴E(4,3), 直线AB的表达式为y=-x+6. 设PQ的表达式为y=x+b. 1 3 5 题序 2 4 39 将点E的坐标代入得 +b=3,解得b=-, ∴直线PQ的表达式为y=x-. 联立解得∴F(,1), ∴DF==. 1 3 5 题序 2 4 40 41 $