专题02 解直角三角形相关实际问题分类训练（5种类型50道）-2026年中考数学复习高频考题专项训练（成都专用）

弈泓共享数学 专题02 解直角三角形相关实际问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 坡度相关问题】 1 【题型2 方位角相关问题】 4 【题型3 俯角和仰角相关问题】 8 【题型4 建筑相关实际问题】 12 【题型5 机械相关实际问题】 16 【题型1 坡度相关问题】 1．沱江河畔，屹立着一座古塔，历经数百年风雨，见证着这片土地的过往．有人想测量河对面古塔的高度，先在处测得塔顶的仰角是，再沿着坡比为的斜坡上升到处，此时测得塔顶的仰角是，过点作延长线的垂线，若米，，点、、、在同一水平线上． (1)求坡面的长度； (2)求古塔的高度（结果保留根号）． 2．如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 3．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 4．亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，小明在处看见飞机的仰角为，同时，小刚在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡度，且小明与小刚之间的水平距离米（点，，，，，，在同一平面内，且点，，在同一水平直线上）． (1)求点到水平地面距离； (2)求此时飞机的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 5．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 6．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 7．如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 8．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 9．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 10．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【题型2 方位角相关问题】 11．如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； (3)若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 12．“四川省城市足球联赛”赛季川西赛区，年月日在仁寿县体育场举行眉山射天队雅安队，小明和小刚相约前去观看比赛，如图，仁寿县体育场在处，小明家在处，小刚家在处，在一条直线上，相距米，根据手机导航显示，点在点北偏东方向，点在点北偏东方向，求小明家点到体育场点的距离． 13．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． (1)求A、B之间的路程精确到米； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 14．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 15．为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 16．如图，习之学校九年级某班的数学兴趣小组在操场上进行测量活动，成员小刘在观察点测得观察点在的正北方向，成员小万在观察点测得观察点在的北偏西的方向上，且距离为米，成员小李在观察点测得观察点在的南偏东的方向上，请帮小邓同学计算观测点，之间的距离．(结果精确到，参考数据：，，，，，) 17．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东方向上，继续行驶900米后到达B处，测得桥头C在南偏东方向上，桥头D在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：） 18．2025年3月2日，重庆市马拉松比赛在南滨路盛大开赛，如图是比赛部分线路图，运动员甲沿着路线→→→跑到点，志愿者乙沿着路线→→坐车前往点．经测量，点在点的南偏东方向，点在点的正东方向500米处，点在点的北偏东方向600米处，且在点的正东方向，点在点的北偏东方向，且在点的北偏西方向．（参考数据：，） (1)求，两点之间的距离（结果保留根号） (2)甲的速度是每分钟150米，甲到达后，乙再以每分钟650米的速度坐车从点出发，请通过计算说明，在甲到达之前，乙能否刚好位于甲的正北方向？若能，求此时甲从出发了多长时间？（结果保留一位小数） 19．如图，小丽在公园散步到A处时，她发现南偏东方向的湖心岛上的B处有一棵开满粉色花的树，为更好的观察和拍照，小丽沿正东方向前进了5米到达C处，此时树恰好位于小丽东南方向上． (1)小丽还需要走多远离这棵树的距离最近？ (2)如图，当小丽走至离树最近的点D时，看向树顶端F的仰角，若小丽和树在同一水平面，且树BF与地面垂直，小丽眼睛离地面的距离米，求这棵树BF的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 20．如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） (1)求AC的距离．（结果保留根号） (2)在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 【题型3 俯角和仰角相关问题】 21．如图，小明晚上散步，当他走到D处时看到路灯的顶部A的仰角为．他继续向前走了到达F处，此时看到路灯的顶部A的仰角为，若小明的身高，请你计算路灯的高度．（参考数据：，，结果精确到） 22．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行40米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的垂直高度，点、、在同一条直线上，其中，米． (1)求无人机的飞行高度； (2)求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：， 23．如图，在一次数学实践活动课中，小明所在的数学学习小组计划测量教学楼的高度AE，小明先在教学楼前的广场C处，利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6米到达D处，又利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌上端A处的仰角为45°．若励志标语牌的高度米，测倾器的高度米，已知A，B，E三点共线，，励志标语牌的顶端与教学楼顶端平齐，求教学楼AE的高度．（结果保留根号） 24．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 25．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 26．2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 27．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 28．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 29．如图，点A是“某纪念碑”顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．某测量小组在纪念碑前水平地面的点M处架起测量仪，将测量仪镜头调到距离地面1米的点C处时，测得点A的仰角，然后将测量仪镜头再升高0.47米到点E处，测得点A的仰角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：）． 30．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【题型4 建筑相关实际问题】 31．研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 32．中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：）    (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 33．如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角a＝37°，光路AB长m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点C）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．求上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 34．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量，，，．求“大碗”的高度的长．（结果精确到，参考数据：） 35．锦云楼（如图1）是成都重要的地标性建筑．某校数学兴趣小组利用无人机测量锦云楼的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，测得锦云楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点D处，测得锦云楼底端B的俯角为，求锦云楼的高度．（结果精确到参考数据：） 36．如图，宜宾的著名建筑夹镜楼始建于清代初年，有诗曰：“两水夹明镜，双桥落彩虹； 巍峨夹镜楼，一楼镇三江”． 某校数学爱好者小明决定利用数学方法计算夹镜楼的高度．用无人机在夹镜楼的顶端C处测得地面上A、B两点的俯角分别为和又测得A、B两点的距离为，且点D、A、B在同一水平直线上，于是很快算出夹镜楼的高度． 请你写出解答过程．（结果精确到． 参考数据 ） 37．如图1是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”．该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮，也是南溪区的地标性建筑之一．游客可以在碧水蓝天之间领略长江第一湾的独特景观．图2是它平面示意图，是摩天轮的直径，小红从点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知、两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：，） (1)求点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 38．成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：） 39．汉阙，是汉代的一种纪念性建筑，渠县共有6处7尊，占全国汉阙的四分之一，因此，渠县也被命名为“中国汉阙之乡”，其中著名的沈府君阙早在1961年就被列为全国重点文物保护单位．某校数学兴趣小组周末开展综合实践活动，想测量沈府君阙的高度．如图，已知测倾器的高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得沈府君阙的顶点M的仰角，在与点A相距1.65米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D，N在一条直线上），求汉阙的高度的长．（结果精确到0.01米，参考数据：，，） 40．成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为，在观测点C测得建筑物底部B的俯角为，观测点C与建筑物的水平距离为120米，且垂直于（点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：，，，） 【题型5 机械相关实际问题】 41．图为科研小组研制的智能机器，水平操作台为，底座固定，高为，始终与平台垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点，是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间（可以达到与）变化，可以绕点任意转动． (1)转动连杆，机械臂，使张角最大，且，如图，求机械臂臂端到操作台的距离的长． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端能碰到操作台上的物体，则物体离底座的最远距离和最近距离分别是多少？ 42．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求、两点之间的距离； (2)求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 43．随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟．如图①，是一款自动焊接机器人，主要从事焊接，切割或热喷涂等工作．如图②，是该自动焊接机器人某次工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂，，，，，．求机械臂端点C到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 44．如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（计算的最后结果保留一位小数．） (1)若上臂与水平面平行，．计算点A到地面的距离． (2)如图2，在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，计算这时点A到地面的距离？（参考数据；，） 45．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到，求、两点之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 46．图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为，底座固定，高为，始终与平台垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点，是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间（可以达到与）变化，可以绕点任意转动． (1)转动连杆，机械臂，使张角最大，且，如图，求机械臂臂端到操作台的距离的长． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端能碰到操作台上的物体，则物体离底座的最远距离和最近距离分别是多少？ 47．中国空间站核心舱上的机械臂，是我国目前智能程度最高，难度最大，系统最复杂的制造系统，大臂“天和机械臂”有两段长的臂杆和7个活动关节，本身自重约吨，最大承载力25吨，相当于普通人的一只胳膊能抬起100公斤重的东西，是当之无愧的“大力士”，如图是处于工作状态的“天和机械臂”示意图，已知，垂足为A，，垂足为点E，米，米，，，，求机械臂的长．（参考数据，，，） 48．灯塔工厂、无人化工厂和智能工厂等新型工厂大量涌现，中国正在迅速拥抱智能化浪潮．如图，这是某智能工厂的机械臂处于某个工作状态的示意图．已知机械臂米，米，支架垂直于水平地面，求机械手点A到支架所在直线的距离．（结果精确到0.1米，≈1.73） 49．随着科技的不断进步，人们已进入自动机械时代，“铰链结构”是一种可用于机械轧机，使其能够开启和关闭的连杆式装置（如图为平面示意图），凹槽MN安装在机床上，支点B，C，D始终在一条直线上，已知托臂，托臂，当CA垂直于凹槽时（如图1），“铰链结构”达到最大张角，此时将滑块A向左侧移动（在移动过程中，托臂长度不变），当时，“铰链结构”达到最小张角，A到达最左端（如图2），求凹槽MN上的滑轨距离（即点A滑动距离）． （参考数据：） 50．本着“宁可备而不用，不可用而无备”的理念，1月26日郑州市委市政府决定仅用10天时间建设成郑州版“小汤山医院”，一大批“通行者”从四面八方紧集驰援，170余台机械昼夜不停地忙碌在抗疫一线，如图1所示是建筑师傅正在对长方体型集装箱房进行起吊任务，如图2所示，建筑师傅通过操纵机械臂（图中的OA）来完成起吊，在起吊过程中始终保持集装箱与地平面平行，起吊前工人师傅测得∠PDE＝45°，∠PED＝60°，OA长20米，DE长6米，EH长3米，O到地面的距离OQ长2米，AP长4米，AP∥OQ，当吊臂OA和水平方向的夹角为53度时，求集装箱底部距离地面的高度．（注：从起吊前到起吊结束始终保持∠PDE，∠PED的度数不变） （结果精确到1m，参考数据≈1.41，≈1.73，tan53°≈，sin53°≈，cos53°≈） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $弈泓共享数学 专题02 解直角三角形相关实际问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 坡度相关问题】 1 【题型2 方位角相关问题】 14 【题型3 俯角和仰角相关问题】 29 【题型4 建筑相关实际问题】 40 【题型5 机械相关实际问题】 52 【题型1 坡度相关问题】 1．沱江河畔，屹立着一座古塔，历经数百年风雨，见证着这片土地的过往．有人想测量河对面古塔的高度，先在处测得塔顶的仰角是，再沿着坡比为的斜坡上升到处，此时测得塔顶的仰角是，过点作延长线的垂线，若米，，点、、、在同一水平线上． (1)求坡面的长度； (2)求古塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由“已知斜坡坡比为”可知：，在中，由边角关系求出的长，再由勾股定理求出坡面的长度； （2）由题意可知：，设古塔的高度为米，则米，米，过点作于点，则，由“三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形是矩形，从而得出米、米、米，在 中，由边角关系得出关于的方程，解方程即得． 【详解】（1）解：∵斜坡坡比为， ， ∴， 在中，米， 米， 米， 即坡面的长度为米； （2）解：在中，， ， ， 设古塔的高度为米， 则米，米， 过点作于点，如图： 则，， ∴四边形是矩形， 米，米， 米， 在 中，，即， 解得：， ∴古塔的高度为米． 2．如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【答案】(1)仿真树信号塔的高度为20米 (2)C，D两点之间的距离约为米 【分析】（1）延长交于点G，根据已知易得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，米，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵，， ∴， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴仿真树信号塔的高度为20米； （2）解：在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴C，D两点之间的距离约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 【答案】广告牌的高约米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角和俯角问题，坡度问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，，米，米， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 在中，，米， ∴（米）， ∴（米） 答：广告牌的高约米． 4．亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，小明在处看见飞机的仰角为，同时，小刚在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡度，且小明与小刚之间的水平距离米（点，，，，，，在同一平面内，且点，，在同一水平直线上）． (1)求点到水平地面距离； (2)求此时飞机的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线是解题的关键． （1）根据斜坡的坡度，直接解答即可； （2）过点作于点，证明米，，设米，则米，米．在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】（1）解：在中， ． 米， （米） 答：点到水平地面的距离米． （2）解：过点作于点，则四边形为矩形， 米，， 设米，则米，米． 在中， ， 米， 米 在中， ． ， （米） （米） 答：此时飞机的高度米 5．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 【答案】(1)距离山脚水平面的高度是400米 (2)大约需要4.4分钟 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）过点作于H，根据直角三角形的边角关系求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，结合矩形的性质，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于H，则， 由题意，，米， ∴（米）， 答：距离山脚水平面的高度是米； （2）解：过C作于F，过B作于E， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，，，（米）， ∴（米）， ∴（分钟）， 答：大约需要4.4分钟． 6．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 【答案】， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据教学楼门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）作于，根据矩形的性质得到，，设，则，可证得，则，根据列方程求解得到答案． 【详解】解：教学楼门前台阶斜坡的坡比为，为， ， ， 即台阶的高度为； 如图所示，作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 7．如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，延长交于点，在中，设，则，则，求出，设，则， 进而求解． 本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则中，设， 则，则， 解得：， 设，则， 则， 解得：， 则． 8．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 9．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 【答案】楼房的高为米． 【分析】解题思路为通过作辅助线构造直角三角形，利用坡度求出相关线段长度，再结合俯角的三角函数关系求出楼房高度．本题主要考查了解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题、俯角仰角问题，熟练掌握坡度的定义以及三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于，于点． 在中，， 米，米 米，米 在中，， 米 米， 答：楼房AB的高为米． 10．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； （2）先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∴（米）． 答：的长为米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型2 方位角相关问题】 11．如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； (3)若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)景点与景点之间的距离为 (3)到最短距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）由题意可得，，，，，从而得出，，根据即可求解． （2）根据，得出，由（1）得，则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出即可求解． （3）根据垂线段最短可得时，到的距离最短，利用等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图，设，， 由题意得，，，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得，∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴景点与景点之间的距离为． （3）解：根据垂线段最短，当时，到的距离最短， ∵， ∴， ∴． 答：到最短距离为． 12．“四川省城市足球联赛”赛季川西赛区，年月日在仁寿县体育场举行眉山射天队雅安队，小明和小刚相约前去观看比赛，如图，仁寿县体育场在处，小明家在处，小刚家在处，在一条直线上，相距米，根据手机导航显示，点在点北偏东方向，点在点北偏东方向，求小明家点到体育场点的距离． 【答案】小明家点到体育场点的距离为米 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，由题意可知，，得到，，设，则，根据得到求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点在点北偏东方向，点在点北偏东方向， ，， ，， 设，则， ，即， 解得， 米， 米， 答：小明家点到体育场点的距离为米． 13．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． (1)求A、B之间的路程精确到米； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 【答案】(1)米 (2)该小车没有超速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、锐角三角函数，是解题的关键． （1）过点C作直线l的垂线，垂足为D，据已知和特殊角的三角函数值求得，的长，从而得出的长； （2）根据测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒，求出小汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作直线l的垂线，垂足为D，如图， 则， 由题意可知，，，米， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 答：A、B之间的路程为米． （2）解：米千米，5秒小时， （千米/时）． ， 该小车没有超速． 14．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作，交的延长线于点，假设，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据距离的关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 假设， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据题意得， , ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 15．为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1)； (2)海监船继续向正东方向航行安全． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用． （1）如图，过点作于点，由题意得，，，根据三角形外角的性质作答即可； （2）设海里，则海里，根据等角对等边得到海里，根据三角函数计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 故的度数为； （2）∵海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达B处， ∴（海里） 设海里， ∴海里 ∵， ∴ ∴海里， ∵ ∴ 解得： 即海监船继续向正东方向航行安全． 16．如图，习之学校九年级某班的数学兴趣小组在操场上进行测量活动，成员小刘在观察点测得观察点在的正北方向，成员小万在观察点测得观察点在的北偏西的方向上，且距离为米，成员小李在观察点测得观察点在的南偏东的方向上，请帮小邓同学计算观测点，之间的距离．(结果精确到，参考数据：，，，，，) 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．过点作，交的延长线于点，设米，在中，得出，在中，得出，根据，建立方程，解方程，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，设米， 依题意，，，米， 在中，， (米)， 在中，=， (米)， ， ， 解得， 米， 在中，(米)， 答：，之间的距离为米． 17．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东方向上，继续行驶900米后到达B处，测得桥头C在南偏东方向上，桥头D在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】329米 【分析】本题考查解直角三角形的应用－方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 过点C作 于E、过D作于F，根据矩形的性质得到，，求得米，在中，，，在中，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解∶过点C作于E、过D作于F， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴米， （米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：大桥的长度约是329米． 18．2025年3月2日，重庆市马拉松比赛在南滨路盛大开赛，如图是比赛部分线路图，运动员甲沿着路线→→→跑到点，志愿者乙沿着路线→→坐车前往点．经测量，点在点的南偏东方向，点在点的正东方向500米处，点在点的北偏东方向600米处，且在点的正东方向，点在点的北偏东方向，且在点的北偏西方向．（参考数据：，） (1)求，两点之间的距离（结果保留根号） (2)甲的速度是每分钟150米，甲到达后，乙再以每分钟650米的速度坐车从点出发，请通过计算说明，在甲到达之前，乙能否刚好位于甲的正北方向？若能，求此时甲从出发了多长时间？（结果保留一位小数） 【答案】(1)m (2)甲从C出发约分钟，乙在甲的正北方． 【分析】本题考查方向角，解直角三角形的应用． （1）根据方向角的定义，直角三角形的边角关系求出，，，进而求出即可； （2）设甲从C出发t分钟，乙在甲的正北方，由题意得出，再用含有t的代数式表示，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过C、B作的垂线，垂足分别为N、M； 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，， 又∵， ∴m； （2）如图，过E作于F点； 当甲移动到点P，乙移动到点Q时，乙在甲的正北方，此时， 设甲从C出发的时间为t分钟， 在中，，， ∴， 则， ， 当，即， 解得， 即甲从C出发约分钟，乙在甲的正北方． 19．如图，小丽在公园散步到A处时，她发现南偏东方向的湖心岛上的B处有一棵开满粉色花的树，为更好的观察和拍照，小丽沿正东方向前进了5米到达C处，此时树恰好位于小丽东南方向上． (1)小丽还需要走多远离这棵树的距离最近？ (2)如图，当小丽走至离树最近的点D时，看向树顶端F的仰角，若小丽和树在同一水平面，且树BF与地面垂直，小丽眼睛离地面的距离米，求这棵树BF的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1)15米 (2)10.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过B作于D，在中，根据正切的定义可得出，在中，根据正切的定义可得出，然后解方程即可； （2）解：根据题意，得四边形是矩形，则米，米，在中，根据正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：过B作于D， 则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， 经检验，符合题意， ∴小丽还需要走15米时离这棵树的距离最近； （2）解：根据题意，得四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴米，即这棵树BF的高度为10.3米． 20．如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） (1)求AC的距离．（结果保留根号） (2)在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 【答案】(1)海里 (2)乙先到，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．有公共直角边的先求这条直角边． （1）过点作，垂足为，先求得，由，求得，在中，，再求解即可； （2）先求得，再由，可得，从而得出，可得出甲巡逻艇用时为小时，再求得，得出海里，再比较可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，在中，， ． ， ． 在中，． 海里． （2）解：中，， ． ， ． ． 甲巡逻艇用时为小时． 由（1）知 ． 海里． 乙巡逻艇用时为小时． ， 乙巡逻艇先到达目的地． 【题型3 俯角和仰角相关问题】 21．如图，小明晚上散步，当他走到D处时看到路灯的顶部A的仰角为．他继续向前走了到达F处，此时看到路灯的顶部A的仰角为，若小明的身高，请你计算路灯的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】路灯的高度为 【分析】本题考查解直角三角形；连接并延长交于点G，设，在中，，然后根据在中，列方程解题即可． 【详解】解：连接并延长交于点，设， 则，，， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：， 答：路灯的高度为． 22．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行40米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的垂直高度，点、、在同一条直线上，其中，米． (1)求无人机的飞行高度； (2)求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：， 【答案】(1)240米 (2)395米 【分析】本题考查解直角三角形： （1）过点作，垂足为，根据条件得到和，用特殊角的三角函数值求解长度即可； （2）先求，那么，进而求． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题可知，，，米， 在中， ，米， ， 答：无人机的飞行高度为240米； （2）解：在中， ， 即：， 米， （米， （米， 答：河流的宽度约为395米． 23．如图，在一次数学实践活动课中，小明所在的数学学习小组计划测量教学楼的高度AE，小明先在教学楼前的广场C处，利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6米到达D处，又利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌上端A处的仰角为45°．若励志标语牌的高度米，测倾器的高度米，已知A，B，E三点共线，，励志标语牌的顶端与教学楼顶端平齐，求教学楼AE的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点F，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可．添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点F，则四边形，都是矩形， ∴， 设,则 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ 解得： ∴． 24．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【答案】(1)线段的长为 (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为． 25．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 【答案】(1)建筑物的高度为米； (2)米；行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 【分析】本题主要考查解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）过作于点，则有四边形是矩形，所以米，米，求出（米），然后通过线段和差即可求解； （2）①分别求出（米），（米），然后通过线段和差即可求解； ②利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高度为米； （2）解：∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）； ∵米， ∴， 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 26．2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 【答案】千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，再在Rt△ABD中，根据求出，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， ∴（千米）， 在中，， ∴， ∴千米， ∴（千米）， 答：的长为千米． 27．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F， 在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． （2）解：能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则， 在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 28．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)20m (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，解直角三角形即可解答； （2）求得，进行角度计算得到，则可求得，再解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于点， ， ； （2）解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 29．如图，点A是“某纪念碑”顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．某测量小组在纪念碑前水平地面的点M处架起测量仪，将测量仪镜头调到距离地面1米的点C处时，测得点A的仰角，然后将测量仪镜头再升高0.47米到点E处，测得点A的仰角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：）． 【答案】约为19米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 延长交于点H，延长交于点N，设的长为h．在和中，根据正切定义，分别表示出和，根据，列式计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点H，延长交于点N，易得四边形为矩形， ． 设点A到地面的距离的长为h， 由题意，得和均为直角三角形． 在中，，， ， ， 同理可得， ， ， ， 解得． 答：纪念碑顶部点A到地面的距离的长约为19米． 30．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 【题型4 建筑相关实际问题】 31．研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．首先过点作于点，于点，构造矩形，根据、斜坡的斜面坡度，可以求出、的长度，根据在点处测得塔顶的仰角为，可以求出的长度，就是双塔的高度． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 可得四边形为矩形， ，． 斜坡的斜面坡度， ， ， ， 又， ，， ， ， 在中， ，， ， ． 答：双塔的高度是． 32．中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：）    (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）如图，过E作，交于点O，交于点H，则，运用三角函数解直角三角形可得，然后再根据等腰三角形的性质可得，然后再根据矩形的性质即可解答； （2）如图，过A作，交于点I．再解直角三角形可得的长，然后再求得，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过E作，交于点O，交于点H，则，      则在中， (米)， ∵是等腰三角形， ∴ (米)． ∵四边形是矩形， ∴(米)； （2）解：如图，过A作，交于点I． 在中， (米)， 在中， (米)， ∴ (米)， ∴(米)， 即点A到屋面的距离约为米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键． 33．如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角a＝37°，光路AB长m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点C）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．求上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【答案】632m 【分析】过点B作BD⊥CM于点D，根据锐角三角函数可得BN，进而可得上海中心大厦的高度CM． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥CM于点D，此时法线与垂线BD共线， ∵BD⊥CM，CM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠BDM＝∠CMN＝∠BNM＝90°， ∴四边形BDMN是矩形， ∴BN＝DM，BD＝MN＝576m，BD//MN， ∴∠ABD＝α＝37°， 由物理知识得：∠CBD＝∠ABD＝37°， 在Rt△ANB中，sinα＝， ∴BN＝AB•sinα≈（m）， 在Rt△BDC中，tan∠CBD＝， ∴CD＝BD•tan∠CBD≈576×0.75＝432（m）， ∴CM＝DM＋CD＝432＋200＝632（m）， 答：上海中心大厦的楼高CM是632m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角． 34．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量，，，．求“大碗”的高度的长．（结果精确到，参考数据：） 【答案】“大碗”的高度的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，延长交于点，根据题意可得，四边形是矩形，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图： 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴“大碗”的高度的长约为． 35．锦云楼（如图1）是成都重要的地标性建筑．某校数学兴趣小组利用无人机测量锦云楼的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点C处，测得锦云楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点D处，测得锦云楼底端B的俯角为，求锦云楼的高度．（结果精确到参考数据：） 【答案】约 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点E，在中，根据，得出为等腰直角三角形，说明，在中根据，，进而求出结果即可． 【详解】解：延长交的延长线于点E，则，． 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 在中，，， ， ， 答：此楼的高度约为． 36．如图，宜宾的著名建筑夹镜楼始建于清代初年，有诗曰：“两水夹明镜，双桥落彩虹； 巍峨夹镜楼，一楼镇三江”． 某校数学爱好者小明决定利用数学方法计算夹镜楼的高度．用无人机在夹镜楼的顶端C处测得地面上A、B两点的俯角分别为和又测得A、B两点的距离为，且点D、A、B在同一水平直线上，于是很快算出夹镜楼的高度． 请你写出解答过程．（结果精确到． 参考数据 ） 【答案】23m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 在中，设，则． 在中， ， ， ， ， 解得 夹镜楼的高度为23m． 37．如图1是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”．该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮，也是南溪区的地标性建筑之一．游客可以在碧水蓝天之间领略长江第一湾的独特景观．图2是它平面示意图，是摩天轮的直径，小红从点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知、两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：，） (1)求点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)12米 (2)约为89米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先根据坡度的定义可得，再设米，则米，利用勾股定理可得的值，由此即可得； （2）过点作于点，延长交于点，先得出四边形是矩形，根据矩形的性质可得米，再设摩天轮的高度米，则米，解直角三角形分别求出的长，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵斜坡的坡度，且米， ∴在中，， 设米，则米， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴（米）， 答：点到地面的距离为12米． （2）解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米， 由题意得：，米， 设摩天轮的高度米，则米， 在中，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得（米）， 答：摩天轮的高度约为89米． 38．成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：） 【答案】39米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点D作，垂足为E，根据题意可得：米，设米，分别在和在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E， 由题意得：米， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴，解得：， ∴米， ∴丹景阁主体高度AB的长约为39米． 39．汉阙，是汉代的一种纪念性建筑，渠县共有6处7尊，占全国汉阙的四分之一，因此，渠县也被命名为“中国汉阙之乡”，其中著名的沈府君阙早在1961年就被列为全国重点文物保护单位．某校数学兴趣小组周末开展综合实践活动，想测量沈府君阙的高度．如图，已知测倾器的高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得沈府君阙的顶点M的仰角，在与点A相距1.65米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D，N在一条直线上），求汉阙的高度的长．（结果精确到0.01米，参考数据：，，） 【答案】汉阙的高度的长约为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，米，根据，得出（米），（米）利用锐角三角函数得出，即求解即可． 【详解】解：延长交于点F，如图， 设米， ∵，，，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴米，，米， ∵，， ∴（米），（米）， 在中，，即， 解得（米）， ∴（米）， 即汉阙的高度的长约为米． 40．成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为，在观测点C测得建筑物底部B的俯角为，观测点C与建筑物的水平距离为120米，且垂直于（点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：，，，） 【答案】建筑物的主体高度为99米 【分析】分别解和，求出和的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵，，米，     ∴在中，，    ∴（米）． ∵在 中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的主体高度为99米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，灵活运用两个直角三角形是解题的关键． 【题型5 机械相关实际问题】 41．图为科研小组研制的智能机器，水平操作台为，底座固定，高为，始终与平台垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点，是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间（可以达到与）变化，可以绕点任意转动． (1)转动连杆，机械臂，使张角最大，且，如图，求机械臂臂端到操作台的距离的长． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端能碰到操作台上的物体，则物体离底座的最远距离和最近距离分别是多少？ 【答案】(1) (2)最远距离为，最近距离为 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）当时，过点作，垂足为，过点作，垂足为，此时，物体在点位置与底座最近；当、、三点共线时，此时点与底座距离最远，然后分别进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， ， ， 机械臂臂端到操作台的距离的长为； （2）当时，此时，物体在点位置与底座最近，如图： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 物体离底座的最近距离为， 当、、三点共线时，此时点与底座距离最远，如图： ，， ， 在中，， ， 物体离底座的最远距离为． 42．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求、两点之间的距离； (2)求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 【答案】(1)6.7m (2)4.5m 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于． 在中，， ，所以， ，所以， 在中，m，m， 根据勾股定理得m， 答：、两点之间的距离约6.7m． （2）如图2，过点作，垂足为， 则四边形为矩形，m，， 所以m， 在中，m，m， 根据勾股定理得m． m． 答：的长为4.5m． 【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解 43．随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟．如图①，是一款自动焊接机器人，主要从事焊接，切割或热喷涂等工作．如图②，是该自动焊接机器人某次工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂，，，，，．求机械臂端点C到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】机械臂端点C到地面的距离为 【分析】过点B作于点D，过点C作于点N，过点C作于点F，过点A作于点E，求出，推出，则，进而得出，即可求出，即可求解． 【详解】解：过点B作于点D，过点C作于点N，过点C作于点F，过点A作于点E， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 答：机械臂端点C到地面的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形 ． 44．如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（计算的最后结果保留一位小数．） (1)若上臂与水平面平行，．计算点A到地面的距离． (2)如图2，在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，计算这时点A到地面的距离？（参考数据；，） 【答案】(1)点A到地面的距离为 (2) 【分析】（1）过点C作，垂足为M，在中，由，即可得出的值，进而可得的值； （2）过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，求出，，，根据三角函数的定义可求出，，求出点A到地面的距离的长，即可解决问题． 本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，过点作，垂足为M， 则在中，， ，， ∴， ∴， ， 点A到地面的距离为； （2）解：如图2，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， 则四边形是矩形， ∴，， ，， ，，， ∴， ， 点A到地面的距离为． 45．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到，求、两点之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】、两点之间的距离约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在中，求出，，然后根据勾股定理求出答案即可．正确作出辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ， ， 在中，，，， 解得：，， ， 在中，， 、两点之间的距离约为． 46．图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为，底座固定，高为，始终与平台垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点，是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间（可以达到与）变化，可以绕点任意转动． (1)转动连杆，机械臂，使张角最大，且，如图，求机械臂臂端到操作台的距离的长． (2)转动连杆，机械臂，要使机械臂端能碰到操作台上的物体，则物体离底座的最远距离和最近距离分别是多少？ 【答案】(1) (2)最远距离为，最近距离为 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）当时，过点作，垂足为，过点作，垂足为，此时，物体在点位置与底座最近；当、、三点共线时，此时点与底座距离最远，然后分别进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， ， ， 机械臂臂端到操作台的距离的长为； （2）当时，此时，物体在点位置与底座最近，如图： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 物体离底座的最近距离为， 当、、三点共线时，此时点与底座距离最远，如图： ，， ， 在中，， ， 物体离底座的最远距离为． 47．中国空间站核心舱上的机械臂，是我国目前智能程度最高，难度最大，系统最复杂的制造系统，大臂“天和机械臂”有两段长的臂杆和7个活动关节，本身自重约吨，最大承载力25吨，相当于普通人的一只胳膊能抬起100公斤重的东西，是当之无愧的“大力士”，如图是处于工作状态的“天和机械臂”示意图，已知，垂足为A，，垂足为点E，米，米，，，，求机械臂的长．（参考数据，，，） 【答案】机械臂的长为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，三线合一定理，过点C作于H，过点D作于F，先证明四边形是矩形，得到，则，解得到，由三线合一定理得到，再解即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，过点D作于F， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴机械臂的长为． 48．灯塔工厂、无人化工厂和智能工厂等新型工厂大量涌现，中国正在迅速拥抱智能化浪潮．如图，这是某智能工厂的机械臂处于某个工作状态的示意图．已知机械臂米，米，支架垂直于水平地面，求机械手点A到支架所在直线的距离．（结果精确到0.1米，≈1.73） 【答案】3.7米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点B作，交的延长线于点E，过点A作，交的延长线于点F，先求出，，然后分别解，求出即可． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点E，过点A作，交的延长线于点F， ， ， ∴ ， ， 在中，， ∵米， 米， 在中， ，米， 米， ∴点A到直线的距离(米)． 49．随着科技的不断进步，人们已进入自动机械时代，“铰链结构”是一种可用于机械轧机，使其能够开启和关闭的连杆式装置（如图为平面示意图），凹槽MN安装在机床上，支点B，C，D始终在一条直线上，已知托臂，托臂，当CA垂直于凹槽时（如图1），“铰链结构”达到最大张角，此时将滑块A向左侧移动（在移动过程中，托臂长度不变），当时，“铰链结构”达到最小张角，A到达最左端（如图2），求凹槽MN上的滑轨距离（即点A滑动距离）． （参考数据：） 【答案】18.9cm 【分析】由图1，根据勾股定理求得的长度，由图2，过C点作交于点H，利用锐角三角函数求线段和的长度，利用勾股定理求的长度，根据图2中的长度减去图1 中的长度，即为点A滑动的距离． 【详解】解：如图1，在直角三角形中， 由勾股定理得：， 即，解得：； 如图2，过C点作交于点H， 由， 可得：； 在直角三角形中， 由勾股定理得：， 即，解得：， 图2中 综上所述，点A滑动的距离：； 答：凹槽上的滑轨距离约为． 【点睛】本题考查利用勾股定理和锐角三角函数求对应线段长度，解题的关键是利用移动过程中托臂长度不变及给定角度进行求解． 50．本着“宁可备而不用，不可用而无备”的理念，1月26日郑州市委市政府决定仅用10天时间建设成郑州版“小汤山医院”，一大批“通行者”从四面八方紧集驰援，170余台机械昼夜不停地忙碌在抗疫一线，如图1所示是建筑师傅正在对长方体型集装箱房进行起吊任务，如图2所示，建筑师傅通过操纵机械臂（图中的OA）来完成起吊，在起吊过程中始终保持集装箱与地平面平行，起吊前工人师傅测得∠PDE＝45°，∠PED＝60°，OA长20米，DE长6米，EH长3米，O到地面的距离OQ长2米，AP长4米，AP∥OQ，当吊臂OA和水平方向的夹角为53度时，求集装箱底部距离地面的高度．（注：从起吊前到起吊结束始终保持∠PDE，∠PED的度数不变） （结果精确到1m，参考数据≈1.41，≈1.73，tan53°≈，sin53°≈，cos53°≈） 【答案】7米 【分析】延长AP交DE于Q，交FH于N，交地平面于S，则AS⊥DE，设PQ＝x，根据三角函数的定义得到DQ＝PQ＝x，EQ＝x，求得AN＝4+4+3＝11，过O作OM⊥AS于M，则SM＝OQ＝2，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长AP交DE于Q，交FH于N，交地平面于S， 则AS⊥DE， ∴∠PQD＝∠PQE＝90°， 设PQ＝x， ∵∠PDQ＝45°，∠PEQ＝60°， ∴DQ＝PQ＝x，EQ＝x， ∴x+x＝6， ∴x≈4， ∴PQ＝3.8， ∴AN＝4+4+3＝11， 过O作OM⊥AS于M， 则SM＝OQ＝2， ∵∠AOM＝53°，OA＝20， ∴AM＝OA•sin53°＝20×＝16， ∴MN＝AM﹣AN＝5， ∴NS＝5+2＝7， 答：集装箱底部距离地面的高度为7米． 【点睛】本题考查了三角函数的概念、解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $