专题05一元一次方程及其应用突破复习讲义 2026年中考一轮复习(全国通用)

专题05一元一次方程及其应用突破复习讲义 【模块一 从算式到方程】.........................................3 【题型01 方程的定义判断及列方程】...............................3 【题型02 方程的解的判断与已知解求参数】.........................4 【题型03 一元一次方程的定义判断】...............................4 【模块二 等式的性质】...........................................5 【题型04 等式的性质1和2】.....................................5 【模块三 解一元一次方程】.......................................5 【题型05 一元一次方程的解法 】..................................5 【题型06 一元一次方程解的综合应用】.............................6 【模块四 高频应用题】...........................................7 【题型07 一元一次方程应用:和差倍分问题】.........................7 【题型08 一元一次方程应用:行程问题】.............................7 【题型09 一元一次方程应用:工程问题】............................8 【题型10 一元一次方程应用:销售盈亏问题】........................9 【模块五 常考重点应用题】......................................10 【题型11 一元一次方程应用:比例分配问题】........................10 【题型12 一元一次方程应用:比赛积分问题】........................10 【题型13 一元一次方程应用:配套问题】............................11 【题型14 一元一次方程应用:方案选择问题】........................12 【模块六 一般重点(偶尔考)】....................................13 【题型15 一元一次方程应用:几何问题】............................13 【题型16 一元一次方程应用:水电费问题】..........................14 【题型17 一元一次方程应用:其他实际问题】........................15 分值比重：一元一次方程及其应用在中考数学中为高频核心考点，分值占3–10 分，题型覆盖选择、填空、解答（基础），属基础得分板块。 考查重点：一元一次方程的解、等式性质、解法、列方程解决实际问题，侧重基础、基本方法与基本应用能力。 命题难度：以基础题为主，中等题为辅；侧重基础运算、化简求值、简单实际应用，强调基本解法与基本方法应用，基础性、确定性强。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.一元一次方程 只含有1 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。 标准形式：ax+b=0（a0） 2.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 知识点02:等式的基本性质（必考） 1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 知识点03:解一元一次方程的一般步骤（考试规范步骤） 1.去分母：两边同乘各分母的最小公倍数（别漏乘） 2.去括号：注意符号，括号前是 “−” 要变号 3.移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项必变号） 4.合并同类项：化简为 ax=b 5.系数化为 1：x=（a0） 知识点04:核心易错点 1.去分母时，分子是多项式要加括号。 2.移项一定要变号，不移项不变号。 3.去括号时，括号前是负号，内部各项都要变号。 4.列方程解应用题时，单位要统一。 知识点05:一元一次方程应用・八大题型（中考必考） 1. 和差倍分问题 关键词：共、多、少、倍、几分之几 和：A+B=总量 差：A-B=差值 倍：A=n×B（n为倍数） 分：A=×B 方法：设未知数 → 找等量关系 → 列方程 2. 年龄问题 核心：年龄差不变 大年龄-小年龄=定值 方法：几年前 / 后年龄变化，抓差不变列方程 3. 行程问题（最常考） 核心公式：路程=速度时间 4. 工程问题 核心公式：工作总量=工作效率工作时间 常把工作总量看作1 5. 利润问题 核心公式：利润 = 售价 − 进价 利润率 = 售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 6. 数字问题 两位数：10a+b 三位数：100a+10b+c 7. 分配问题 按比例、按人数分配，抓总量不变 8. 积分问题. 比赛得分：胜场得分 + 平场得分 + 负场得分 9. 计费问题（如水电费、话费、出租车费） *核心思路：分段计算费用，总费用 = 各段费用之和。 *等量关系：根据不同收费标准的分段节点，结合总费用列方程。 【模块一 从算式到方程】 【题型1.方程的定义判断及列方程】 【典例】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为______； 【跟踪专练2】下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【跟踪专练3】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【题型2.方程的解的判断与已知解求参数】 【典例】若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【跟踪专练1】已知是方程的解，则的值是____________． 【跟踪专练2】关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 【跟踪专练3】阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是______． 【题型3.一元一次方程的定义判断】 【典例】若关于x的方程有根，则m的取值范围是______． 【跟踪专练1】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根 C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【跟踪专练3】关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____． 【模块二 等式的性质】 【题型4.等式的性质.】 【典例】如果，而，那么( ) 【跟踪专练1】如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【跟踪专练2】将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为_____，最大数所对应的卡片编号为_____． 【跟踪专练3】已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【模块三 解一元一次方程】 【题型5.一元一次方程的解法】 【典例】已知是方程的解，则______． 【跟踪专练1】已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练2】一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则______； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为______． 【跟踪专练3】已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，； ④当时，当时，的取值范围是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6.一元一次方程解的综合应用】 【典例】已知关于的方程有解，则的取值范围是___________． 【跟踪专练1】小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是______． 【跟踪专练3】若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，则a+b＝（　　） A． B． C． D． 【模块四 高频应用题】 【题型7 一元一次方程应用:和差倍分问题】 【典例】科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为_____． 【跟踪专练1】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】中国动漫电影《哪吒2》在2025年春节档正式上映，放假期间某校组织教师和学生去电影院现场观看，看完后有学生感叹道：我要学习哪吒“我命由我不由天”的精神，通过150分钟的电影，讲述哪吒的成长历程，传达了逆境中坚持自我、改变命运的主题已知某班教师与学生一共去了50人，已知电影票成人票每张40元，老师买成人票，学生票按成人票五折优惠，电影票共需1080元．这个班观看电影的教师和学生各多少人？ 【跟踪专练3】宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人．已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ 【题型8. 一元一次方程应用:行程问题】 【典例】一个直径为的圆中阴影部分面积为S，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同一条直线同时相向而行．圆每秒滚动，正方形每秒滑动，第___________秒时，圆与正方形重叠部分面积是S．    【跟踪专练1】小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 【跟踪专练3】8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 【题型9. 一元一次方程应用:工程问题】 【典例】小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 【跟踪专练1】一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【跟踪专练3】有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 【题型10. 一元一次方程应用:销售盈亏问题】 【典例】某宝“双十一”大促，某店铺一件标价为699元的羽绒服打八折出售，仍可盈利，若设这件羽绒服的成本是元，根据题意，可得到的方程是___________． 【跟踪专练1】某潮玩店清仓热门动漫IP盲盒手办，推出两种促销方案：①直接按定价7折出售（无任何额外优惠），此时卖出每个盲盒会亏损元；②先按定价的9折结算，再叠加平台“满元减元”的优惠（9折后的金额满足“满就减”条件），此时卖出每个盲盒会盈利元．若设定价为x元，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． (1)求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【跟踪专练3】某水果批发市场苹果的价格如下表 购买苹果（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？ 【模块五 常考重点应用题】 【题型11. 一元一次方程应用:比例分配问题】 【典例】有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是______． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【跟踪专练2】2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【跟踪专练3】微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路若步数达到10000步及以上，则可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，每步可捐0.0002元；若步数在10000步以下，则不能参与爱心公益捐款. （1）某天小齐的步数为15000步，求他这天为爱心公益可捐款多少钱？ （2）已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐款8.4元，且甲的步数：乙的步数：丙的步数，求这天甲走了多少步？ 【题型12 一元一次方程应用:比赛积分问题】 【典例】某校在七年级 21 个班中开展足球单循环比赛（每两个班比赛一场），比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得 3 分，负一场扣 1 分．若某班在全部比赛中得了28分，那么该班胜了______场． 【跟踪专练1】某区举办了“金教杯”校园足球超级联赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了（   ） A．5场 B．4场 C．3场 D．2场 【跟踪专练2】在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【跟踪专练3】12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 【题型13. 一元一次方程应用:配套问题】 【典例】某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排______个船坞用于建造航母． 【跟踪专练1】“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红：”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有150个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶壶的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 【跟踪专练3】近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【题型14. 一元一次方程应用:方案选择问题】 【典例】根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 【跟踪专练1】某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【跟踪专练3】学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【模块六 一般重点(偶尔考)】 【题型15. 一元一次方程应用:几何问题】 【典例】一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是，则它原来的宽为______． 【跟踪专练1】如图，大长方形由6个长宽比均为的小长方形组成，其中仅两个小长方形的形状大小相同．已知小长方形的宽为7，则这个大长方形的面积为（   ） A．1701 B．1702 C．1703 D．1704 【跟踪专练2】如图，已知点O为直线上一点，点D、E、C为直线上方三点，连接平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，在的内部作射线，使平分，求n的值． 【跟踪专练3】已知A，C，D，B四点依次在同一直线上． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，若线段被点C，D分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【题型16. 一元一次方程应用:水电费问题】 【典例】某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为______． 【跟踪专练1】（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【跟踪专练3】为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【题型17.. 一元一次方程应用:其他实际问题】 【典例】冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16000元转存为三年定期存款，预计到期收益为1320元，则此时三年定期存款的年利率是_______． 【跟踪专练1】已知兄妹俩的年龄相差6岁，今年兄妹俩的年龄之和是妈妈年龄的一半．若再过20年，他们的年龄之和恰好与妈妈的年龄相等，则今年哥哥的年龄是_____岁． 【跟踪专练2】小王看到两个超市的促销信息如图所示． (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少? (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样? (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元?． 【跟踪专练3】学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元一次方程及其应用突破复习讲义 【模块一 从算式到方程】.........................................3 【题型01 方程的定义判断及列方程】...............................3 【题型02 方程的解的判断与已知解求参数】.........................5 【题型03 一元一次方程的定义判断】...............................7 【模块二 等式的性质】...........................................9 【题型04 等式的性质1和2】.....................................9 【模块三 解一元一次方程】......................................12 【题型05 一元一次方程的解法 】.................................12 【题型06 一元一次方程解的综合应用】............................15 【模块四 高频应用题】..........................................17 【题型07 一元一次方程应用:和差倍分问题】........................17 【题型08 一元一次方程应用:行程问题】............................19 【题型09 一元一次方程应用:工程问题】............................23 【题型10 一元一次方程应用:销售盈亏问题】........................26 【模块五 常考重点应用题】.......................................28 【题型11 一元一次方程应用:比例分配问题】........................28 【题型12 一元一次方程应用:比赛积分问题】........................30 【题型13 一元一次方程应用:配套问题】............................32 【题型14 一元一次方程应用:方案选择问题】........................34 【模块六 一般重点(偶尔考)】.....................................35 【题型15 一元一次方程应用:几何问题】............................35 【题型16 一元一次方程应用:水电费问题】..........................38 【题型17 一元一次方程应用:其他实际问题】........................41 分值比重：一元一次方程及其应用在中考数学中为高频核心考点，分值占3–10 分，题型覆盖选择、填空、解答（基础），属基础得分板块。 考查重点：一元一次方程的解、等式性质、解法、列方程解决实际问题，侧重基础、基本方法与基本应用能力。 命题难度：以基础题为主，中等题为辅；侧重基础运算、化简求值、简单实际应用，强调基本解法与基本方法应用，基础性、确定性强。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.一元一次方程 只含有1 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。 标准形式：ax+b=0（a0） 2.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 知识点02:等式的基本性质（必考） 1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 知识点03:解一元一次方程的一般步骤（考试规范步骤） 1.去分母：两边同乘各分母的最小公倍数（别漏乘） 2.去括号：注意符号，括号前是 “−” 要变号 3.移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项必变号） 4.合并同类项：化简为 ax=b 5.系数化为 1：x=（a0） 知识点04:核心易错点 1.去分母时，分子是多项式要加括号。 2.移项一定要变号，不移项不变号。 3.去括号时，括号前是负号，内部各项都要变号。 4.列方程解应用题时，单位要统一。 知识点05:一元一次方程应用・八大题型（中考必考） 1. 和差倍分问题 关键词：共、多、少、倍、几分之几 和：A+B=总量 差：A-B=差值 倍：A=n×B（n为倍数） 分：A=×B 方法：设未知数 → 找等量关系 → 列方程 2. 年龄问题 核心：年龄差不变 大年龄-小年龄=定值 方法：几年前 / 后年龄变化，抓差不变列方程 3. 行程问题（最常考） 核心公式：路程=速度时间 4. 工程问题 核心公式：工作总量=工作效率工作时间 常把工作总量看作1 5. 利润问题 核心公式：利润 = 售价 − 进价 利润率 = 售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 6. 数字问题 两位数：10a+b 三位数：100a+10b+c 7. 分配问题 按比例、按人数分配，抓总量不变 8. 积分问题. 比赛得分：胜场得分 + 平场得分 + 负场得分 9. 计费问题（如水电费、话费、出租车费） *核心思路：分段计算费用，总费用 = 各段费用之和。 *等量关系：根据不同收费标准的分段节点，结合总费用列方程。 【模块一 从算式到方程】 【题型1.方程的定义判断及列方程】 【典例】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：①，含有未知数x和y，且是等式，是方程； ② 含有未知数x，且是等式，是方程； ③ 没有未知数，不是方程； ④ 不是等式，不是方程； ⑤ 含有未知数x，且是等式，是方程； ⑥ 含有未知数x，且是等式，是方程． 综上，是方程的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：D． 【跟踪专练1】x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为______； 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找相等关系，首先要找到反映相等关系的关键词，如：多，少，倍等．根据题意列出方程即可． 【详解】解：x的3倍为，与5的和为，比x大2即． 故答案为． 【跟踪专练2】下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 【跟踪专练3】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 【题型2.方程的解的判断与已知解求参数】 【典例】若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入已知方程后，列出关于a的新方程，再解新方程求a的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， 故选：C． 【跟踪专练1】已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 【跟踪专练2】关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，关于的方程是有实数根， 当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根， ∴，且， 解得：且， 综上所述：整数的值可能是或． 故选：D． 【跟踪专练3】阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 【题型3.一元一次方程的定义判断】 【典例】若关于x的方程有根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，分类讨论思想是关键．由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出m的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则只需，即， 综上：当时，方程有实数根． 故答案为：． 【跟踪专练1】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】已知关于x的方程，下列说法中正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根 C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元一次方程和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程为， 此方程为一元一次方程，且解为． 故选项不符合题意． 当时，方程为一元二次方程， 则． 当时，， 所以方程有两个不相等的实根． 故选项符合题意． 当时，， 所以方程有两个相等的实根． 故选项不符合题意． 当，但时，方程有两个相等的实根， 故选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练3】关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____． 【答案】或或x=-3． 【分析】利用一元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：关于的方程如果是一元一次方程， （1）当，即， 即 解得：， （2）当m=0时，， 解得： （3）当2m-1=0，即m=时， 方程为 解得：x=-3， 故答案为x=2或x=-2或x=-3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 【模块二 等式的性质】 【题型4.等式的性质.】 【典例】如果，而，那么( ) 【答案】12 【分析】此题主要考查简单的等量代换，等式的性质，熟练掌握等式性质是解题的关键．根据，可得，代入到中去，利用等式的性质，求出的值即可． 【详解】解：根据分析得，，， 可得， ， ， ， ． 故答案为：12． 【跟踪专练1】如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为_____，最大数所对应的卡片编号为_____． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 【跟踪专练3】已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【模块三 解一元一次方程】 【题型5.一元一次方程的解法】 【典例】已知是方程的解，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 【跟踪专练1】已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 【跟踪专练2】一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则______； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减和化简求值，弄清楚题中的新定义是解本题的关键． （1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出的值； （2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，再把原式进行化简，最后代入进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． （2）由题意得：，即， 整理得：，即， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，； ④当时，当时，的取值范围是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解一元一次不等式等知识，绝对值的性质，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键． ①将和代入进行多项式的加减混合运算即可；②将M和N代入作整式的混合运算，再取对应系数为零即可；③将代入，再结合关于的方程解得为整数，则或，解得即可；④将代入M和N求得，分情况讨论求解即可． 【详解】解：①若，， ∵，， ∴，， 则，故①正确； ②∵，， ∴， ∵的值与x的取值无关， ∴，， 则，，故②正确； ③当时， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵关于的方程的解为整数， ∴或，解得或1，3，4，故③错误； ④当， ∵，， ∴，， 即：， ∵， ∴，即， 当时，； 解得： 当时，； 当时，； 解得： 综上所述，时，或，故④错误． 即正确的有2个， 故选：B． 【题型6.一元一次方程解的综合应用】 【典例】已知关于的方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查根据方程有解求参数，分两种情况，当时和当时，当时，一元一次方程有解，当当时，根据一元二次方程根的判别式，即可求出k的取值范围． 【详解】解：当时，即时， 则方程变成， 此时方程有解． 当时，即时， 则的方程为且有解， ∴， 解得：，且， 综上：关于的方程有解，则的取值范围是 故答案为： 【跟踪专练1】小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的错解问题．把代入，可得，再把把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得： ，解得：， 把代入，得： ， 解得：． 故选：C 【跟踪专练2】小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，根据题意构建方程，求解得，进而求代数式值． 【详解】解：设☆代表一个有理数为a， 根据题意，， 解得，即☆代表10， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，则a+b＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入得到，根据方程的根总是，推出，解出、的值，计算即可得出答案． 【详解】把代入得：， 去分母得：， 即， 不论k取什么实数，关于x的方程的根总是x＝1， ， 解得：，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程与一元一次方程的应用，根据题意得出关于、的方程是解题的关键． 【模块四 高频应用题】 【题型7 一元一次方程应用:和差倍分问题】 【典例】科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为_____． 【答案】60 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据总人数列出方程求解即可． 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据题意得， ， 解得， ∴参加“深海探秘”的人数为60人， 故答案为：60． 【跟踪专练1】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 【跟踪专练2】中国动漫电影《哪吒2》在2025年春节档正式上映，放假期间某校组织教师和学生去电影院现场观看，看完后有学生感叹道：我要学习哪吒“我命由我不由天”的精神，通过150分钟的电影，讲述哪吒的成长历程，传达了逆境中坚持自我、改变命运的主题已知某班教师与学生一共去了50人，已知电影票成人票每张40元，老师买成人票，学生票按成人票五折优惠，电影票共需1080元．这个班观看电影的教师和学生各多少人？ 【答案】这个班观看电影的教师有4人，学生有46人 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设这个班观看电影的教师有x人，则学生有人，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：设这个班观看电影的教师有x人，则学生有人，由题意得： ， 解得：， ∴学生人数为； 答：这个班观看电影的教师有4人，学生有46人． 【跟踪专练3】宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人．已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ 【答案】A款机器人每件的成本为12万元，B款人形机器人每件的成本为10万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A款机器人每件的成本为x万元，则B款人形机器人每件的成本为万元，根据5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同，列方程，解方程即可． 【详解】解：设A款机器人每件的成本为x万元，则B款人形机器人每件的成本为万元， 由题意得：， 解得， ， 答：A款机器人每件的成本为12万元，B款人形机器人每件的成本为10万元． 【题型8. 一元一次方程应用:行程问题】 【典例】一个直径为的圆中阴影部分面积为S，现在这个圆与正方形在同一平面内，沿同一条直线同时相向而行．圆每秒滚动，正方形每秒滑动，第___________秒时，圆与正方形重叠部分面积是S．    【答案】4或6 【分析】设t秒后重叠部分面积为S，根据题意，分当圆与正方体刚接触重叠时和当圆与正方体将要分开重叠时两种情况，分别画图列方程求解即可． 【详解】解：设t秒后重叠部分面积为S， 当圆与正方体刚接触重叠时，如图，    根据题意，得，解得； 当圆与正方体将要分开重叠时，如图， 根据题意，得，解得， 综上，第4或6秒时，圆与正方形重叠部分面积为S． 故答案为：4或6． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 【跟踪专练1】小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 【跟踪专练2】2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 【答案】“”动车可以在当日12:00前到达，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，掌握速度路程时间是解题关键．设相遇前“复兴号”动车的速度为，根据题意列方程求出，进而求出“”动车的速度，得到“”动车的行驶时间，即可求解． 【详解】解：“”动车可以在当日12:00前到达，理由如下： 设相遇前“复兴号”动车的速度为． 由题意可知，．解得． 所以“”动车的速度为． 所以“”动车的行驶时间为． 所以“”动车到达上海虹桥站的时间为当日11:15，可以在当日12:00前到达． 【跟踪专练3】8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 【答案】(1)千米，分钟 (2)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，在此题中，要联系生活实际．同时要会用线段图在草稿上画出示意图，找到正确的等量关系列出方程． （1）设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米，根据路程÷速度=时间列方程求解； （2）要想8人都能赶上火车，应考虑尽量让车走的同时，人也在走，先用小汽车把第一批人送到离火车站较近的某一处，让第一批人步行，与此同时第二批人也在步行中；接着小汽车再返回接第二批人，使第二批人与第一批同时到火车站，据此求解． 【详解】（1）解：设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米， 根据题意得， 解得． （小时）， （分钟）， 答：这四个人步行的距离为千米；这8个人全部到达火车站所需时间为分钟． （2）解：方案：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内4个人送到某地方后，让他们下车步行，小汽车立即返回接出现故障汽车内的4个人，使得两批人员最后同时到达车站．两批人员步行的距离相同．如图，D为无故障汽车人员下车地点，C为故障汽车人员再次上车地点． 设，根据题意得， 解得． 所以（小时）， 所以（分钟）． 因为， 所以此方案可行． 【题型9. 一元一次方程应用:工程问题】 【典例】小区需制作一块广告牌，请来两名工人．已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，问：两人合作需几天完成？针对小林提出的问题，设两人合作需x天完成，根据题意，可列方程为______（列出的方程不需要化简） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设总工作量为1，甲每天完成，乙每天完成，合作时每天完成，x天完成的工作量为，等于总工作量1． 【详解】解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合作的工作效率为， 合作x天完成的工作量为， 根据题意，完成总工作量1， 故列方程为， 故答案为：． 【跟踪专练1】一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，将总工作量看作单位“1”，先确定甲乙的工作效率，再根据“甲的总工作量乙的工作量总工作量”的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：把这项工程的总工作量看作单位1， 由甲单独做需12天完成，可得甲的工作效率为， 由乙单独做需8天完成，可得乙的工作效率为， 设合作完成这项工程还需天，则甲一共工作了天，乙工作了天， 根据总工作量的等量关系，可得， 故选：B． 【跟踪专练2】一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要天能够完成任务 (2)甲队得报酬万元，乙队得报酬万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，核心是利用“工作总量工作效率工作时间”的数量关系解题 ． （1）设乙队还需要天能够完成任务，根据甲乙合作天的工作量与乙单独完成的工作量之和等于总工作量列方程求解即可； （2）先分别计算甲乙两队完成的工作量占总工作量的比例，再按比例分配总报酬得出两队各自的报酬即可解答． 【详解】（1）解： 设乙队还需要天能够完成任务， 甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 根据题意，列出方程 ， 解得， 答：乙队还需要天能够完成任务； （2）甲队的工作量为 ，甲队的报酬为 （万元）， 乙队的工作量为 ，乙队的报酬为 （万元）， 答：甲队得报酬万元，乙队得报酬万元． 【跟踪专练3】有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题目中所设未知数，正确建立方程求解． （1）根据每个教室墙面面积为，表示出1名师傅一天粉刷墙面积为，1名徒弟一天粉刷墙面积为，再根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面建立方程求解得每个教室的面积，进而计算1名师傅一天的粉刷面积； （2）结合（1）求出徒弟每天单独能够完成的面积，再根据总量求出需要的天数，最后求得费用． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 则师傅每天可粉刷：， 答：名师傅一天可以粉刷； （2）解：徒弟每天可粉刷：， （天）， （元）， 答：共需工资元． 【题型10. 一元一次方程应用:销售盈亏问题】 【典例】某宝“双十一”大促，某店铺一件标价为699元的羽绒服打八折出售，仍可盈利，若设这件羽绒服的成本是元，根据题意，可得到的方程是___________． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程．设这件羽绒服的成本是元，售价为元，利润为元，根据“利润售价成本”即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】某潮玩店清仓热门动漫IP盲盒手办，推出两种促销方案：①直接按定价7折出售（无任何额外优惠），此时卖出每个盲盒会亏损元；②先按定价的9折结算，再叠加平台“满元减元”的优惠（9折后的金额满足“满就减”条件），此时卖出每个盲盒会盈利元．若设定价为x元，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，熟读题意找到等量关系是解题的关键．根据题意，两种促销方案下盲盒的成本价相等，据此列出方程． 【详解】解：设定价为元， 方案①中，7折出售价为元，亏损40元， ∴成本价； 方案②中，9折出售价为元，叠加满100减10后实际售价为元，盈利50元， ∴成本价； ∵两种方案下成本价相同， ∴ 故选B． 【跟踪专练2】2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． (1)求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元 (2)最多可以采购30个乙型玩偶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，找准等量关系，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲型玩偶单价为x元，乙型玩偶的单价为元，再根据“销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元”列一元一次方程求解即可； （2）设采购m个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲型玩偶单价为x元，乙型玩偶的单价为元， ，解得：， 所以． 答：甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元． （2）解：设采购m个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶， 根据题意得，，解得：． 答：最多可以采购30个乙型玩偶． 【跟踪专练3】某水果批发市场苹果的价格如下表 购买苹果（千克） 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格 6元 5元 4元 小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是通过讨论的取值范围，得到两次购买苹果的单价，进而根据两次购买的总价列出方程．设第一次购买千克苹果，则第二次购买千克苹果．分三种情况进行讨论：①第一次购买苹果不超过20千克，第二次购买苹果20千克以上但不超过40千克；②第一次购买苹果不超过20千克，第二次购买苹果超过40千克．③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次购买苹果超过40千克；根据小强分两次购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出432元建立方程，求解即可． 【详解】解：设第一次购买千克苹果，则第二次购买千克苹果．分三种情况考虑： ①当第一次购买苹果不超过20千克，第二次购买苹果20千克以上但不超过40千克的时候，显然不够100千克，不成立； ②当第一次购买苹果不超过20千克，第二次购买苹果超过40千克， 根据题意，得， 解得：， 则（千克）； ③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次购买苹果超过40千克， 根据题意，得， 解得：， 则（千克）． 答：第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或者第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果． 【模块五 常考重点应用题】 【题型11. 一元一次方程应用:比例分配问题】 【典例】有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是______． 【答案】②③ 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的应用与一元一次方程的求解，熟练掌握根据比例设未知数并结合数量关系列方程是解题的关键．根据甲、乙、丙三数的比例关系设未知数，再依据甲、乙两数之和与乙、丙两数之和的数量关系列方程求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三数分别为、、． ， 则乙数为 故选：A． 【跟踪专练2】2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 【跟踪专练3】微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路若步数达到10000步及以上，则可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，每步可捐0.0002元；若步数在10000步以下，则不能参与爱心公益捐款. （1）某天小齐的步数为15000步，求他这天为爱心公益可捐款多少钱？ （2）已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐款8.4元，且甲的步数：乙的步数：丙的步数，求这天甲走了多少步？ 【答案】（1）3元；（2）这天甲走了8400步． 【分析】（1）根据步数在10000步及以上，每步可捐0.0002元，可得步数为15000步时，可捐的钱数=0.0002×15000，计算即可； （2）设这天甲走了x步，则乙的步数为2x步，丙的步数为3x步．分三种情况：①如果x＜5000；②如果5000≤x＜10000；③如果x≥10000．根据三人共捐了8.4元，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得，0.0002×15000=3（元）， 答：小齐这天为爱心公益可捐款3元； （2）设甲走了x步，则乙的步数为2x步，丙的步数为3x步． 分三种情况：①如果x＜5000，则2x＜10000， 根据题意，可得0.0002×3x=8.4， 解得x=14000，不合题意舍去； ②如果5000≤x＜10000， 根据题意，可得0.0002（2x+3x）=8.4， 解得x=8400，符合题意； ③如果x≥10000， 根据题意，可得0.0002（x+2x+3x）=8.4， 解得x=7000，不合题意舍去． 答：这天甲走了8400步． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到等量关系列出方程． 【题型12 一元一次方程应用:比赛积分问题】 【典例】某校在七年级 21 个班中开展足球单循环比赛（每两个班比赛一场），比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得 3 分，负一场扣 1 分．若某班在全部比赛中得了28分，那么该班胜了______场． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．每个班进行20场比赛，设该班胜了x场，则负了场，根据得分规则列出方程并求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场，则负了场．由题意得： ， 解得， 即该班胜了12场． 故答案为：12． 【跟踪专练1】某区举办了“金教杯”校园足球超级联赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了（   ） A．5场 B．4场 C．3场 D．2场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设胜场数为x，平场数为，根据总积分列方程求解即可． 【详解】解：∵总比赛9场，负2场， ∴胜和平共7场， 设胜x场，则平场． ∵总得分为13分， ∴ 解得： ∴该足球队共胜了4场． 故选B． 【跟踪专练2】在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【答案】23道 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题，根据这位同学得了90分，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题． 根据题意，得， 解得：． 答：这位同学答对了23道题． 【跟踪专练3】12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 【答案】(1)5， (2)5 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据题干中参赛者的成绩和参赛者的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由题干中参赛者的成绩可知：每答对一道题得分， 由题干中参赛者的成绩可知：每答错一道题得分， 故答案为：5，． （2）解：设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题， 根据题意：， 解得：， 答错了：道， 答：参赛学生李明答错了5道题． 【题型13. 一元一次方程应用:配套问题】 【典例】某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排______个船坞用于建造航母． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每年安排x个船坞建造航母，则建造驱逐舰的船坞数为个，根据配套关系列方程求解即可． 【详解】解：设每年安排x个船坞建造航母，则安排个船坞建造驱逐舰；由题意可得方程： ； 解得：； 故答案为4． 【跟踪专练1】“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红：”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有150个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶壶的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设生产茶壶的工人有人，则生产茶杯的工人为人，根据配套要求（茶杯数量是茶壶数量的8倍）列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【跟踪专练2】劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 【答案】(1) 男生28人，女生22人 (2) 安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先设女生有x人，男生有人，根据总人数为50列出方程，求出解； 对于（2），先设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据桶底总数是桶身总数的2倍列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设女生有x人，男生有人，根据题意，得 ， 解得，则， 所以男生有28人，女生有22人； （2）解：设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据题意，得 ， 解得，则， 所以安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套． 【跟踪专练3】近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【答案】安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【分析】先设出制作簪杆的匠人人数，用总匠人人数表示出制作绒花的匠人人数，再根据配套关系（每天生产的绒花数量是簪杆数量的3倍）列出一元一次方程，最后通过解方程得到结果． 【详解】解：设手工坊安排名匠人制作簪杆，则安排名匠人制作绒花． 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 则制作绒花的匠人人数为(名)． 答：手工坊应该安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【题型14. 一元一次方程应用:方案选择问题】 【典例】根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________． 【答案】35 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，根据买2把暖瓶3个水杯共需94元列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，由题意可得： ， 解得： 故答案为：35． 【跟踪专练1】某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 【跟踪专练2】小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 【跟踪专练3】学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】(1)A单价为36元/个，B单价为27元/个 (2)①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ； ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． 【模块六 一般重点(偶尔考)】 【题型15. 一元一次方程应用:几何问题】 【典例】一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是，则它原来的宽为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是找到恰当的等量关系列方程；根据长方形变化前后面积相等的等量关系，设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个长方形原来的宽为， 列方程得：， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，大长方形由6个长宽比均为的小长方形组成，其中仅两个小长方形的形状大小相同．已知小长方形的宽为7，则这个大长方形的面积为（   ） A．1701 B．1702 C．1703 D．1704 【答案】B 【分析】本题考查长方形的性质、一元一次方程的应用以及几何图形的拼接与面积计算，解题关键是根据小长方形的长宽比和图形拼接关系，设出未知数并列出方程求出大长方形的长和宽，最终求得面积． 根据题意得小长方形的长为14；设小长方形、的宽为，长为，结合图形拼接关系，得到小长方形的长和宽，根据长宽比为，列出关于的方程，解方程即可求出大长方形的长和宽，进而求得大长方形的面积． 【详解】解：每个小长方形的长宽比均为，小长方形的宽为， 小长方形的长为， 依题意，设小长方形、的宽为，则长为， 由图可知，小长方形的宽为，则长为， 小长方形的长为，则宽为， ∴小长方形的宽为，长为， 则 解得 大长方形长为， 宽为， 大长方形的面积为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知点O为直线上一点，点D、E、C为直线上方三点，连接平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，在的内部作射线，使平分，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角度的和差计算，一元一次方程的运用，理解图示，正确表示出角的数量关系是关键． （1）根据题意得到，由角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据题意得到，，，则，，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 因为平分， 所以， 所以． （2）解：由题意知， 因为平分， 所以， 所以， 由题意知， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 解得：． 【跟踪专练3】已知A，C，D，B四点依次在同一直线上． (1)如图1，若，且，求的长； (2)如图2，若线段被点C，D分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程，正确理解题中线段之间的关系是解题的关键． （1）根据题意求得，可得； （2）设，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：线段被点C，D分成了三部分， 设， 的中点P和的中点Q之间的距离是， ， 即， 解得， ． 【题型16. 一元一次方程应用:水电费问题】 【典例】某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据收费标准，用电量超过100度时，电费由两部分组成：前100度按每度元收费，超出部分按每度元收费，已知总电费为77.4元，据此列方程． 【详解】解：依题意，（元）， ∵， ∴用电量x超过度， 因此，总电费为前度的电费加上超出部分的电费，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】（分段收费）某停车场的收费标准如图所示，一辆汽车付停车费34元，那么停车时间可能是（    ）． 收费标准：2小时以内（含2小时）10元 超出2小时，超出部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设停车时间为x小时，根据题意，求出x的值，进行判断即可． 【详解】解：设停车时间为小时，由题意得，， 解得：， ∵不足1小时按1小时计算， ∴停车时间大于4小时，不超过5小时， A、，时间为3小时40分； B、，时间为5小时25分； C、，时间为3小时10分钟； D、，时间为4小时10分钟， 故选：D． 【跟踪专练2】某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． 【跟踪专练3】为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【答案】(1)47 (2)， (3)12 【分析】本题考查了根据题意列代数式，一元一次方程的应用等知识． （1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列式，并化简即可求解； （3）根据题意列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：若每月用水量16立方米，需交水费（元）． 故答案为：47； （2）解：当不超过10立方米，需交水费元；当超过10立方米，需交水费元． 故答案为：，； （3）解：∵， ∴由题意得， 解得． 答：小颖家11月份共用水12立方米． 【题型17.. 一元一次方程应用:其他实际问题】 【典例】冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16000元转存为三年定期存款，预计到期收益为1320元，则此时三年定期存款的年利率是_______． 【答案】2.75% 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利息计算公式是关键；根据利息计算公式，利息本金年利率时间，代入已知数据求解年利率． 【详解】解：设年利率为， 由题意得：． 所以， 解得， 即年利率为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知兄妹俩的年龄相差6岁，今年兄妹俩的年龄之和是妈妈年龄的一半．若再过20年，他们的年龄之和恰好与妈妈的年龄相等，则今年哥哥的年龄是_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设哥哥今年年龄为岁，则妹妹年龄为岁，根据题意可知妈妈今年年龄为岁；根据再过20年兄妹年龄之和等于妈妈年龄，得出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹今年年龄为岁，根据题意可知妈妈今年年龄为岁． 由题意，， 解得：． 故今年哥哥的年龄为13岁． 故答案为：． 【跟踪专练2】小王看到两个超市的促销信息如图所示． (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少? (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样? (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元?． 【答案】(1)甲超市付款264元，乙超市付款270元 (2)625元 (3)可以节省36.2元 【分析】（1）根据图中的信息分别计算出在两家超市需要付款的金额即可； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过500元时，两家超市才可能付款总金额相等，设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样，列方程求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】（1）解：在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：甲超市付款264元，乙超市付款270元． （2）设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意得， 解得， 答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样． （3）小王两次到乙超市共付款：（元）， 小王一次性到乙超市购买同样多的商品，需要付款： （元）， （元）， 答：可以节省36.2元． 【跟踪专练3】学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】(1)A单价为36元/个，B单价为27元/个 (2)①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ；.. ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $