专题7.1 不等式及其基本性质（高效培优讲义，4知识&6题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题7.1 不等式及其基本性质 教学目标 1.理解不等式的概念，能准确识别不等号（>、<、≥、≤、≠），并能根据实际情境中的不等关系列出简单不等式，建立符号意识，体会不等式作为刻画现实世界数量关系的数学模型的价值。 2.掌握不等式的5条基本性质（含对称性、传递性），能清晰区分不等式性质与等式性质的异同，尤其牢记不等式两边乘（或除以）同一个负数时不等号方向改变的关键规则，能准确叙述每条性质的具体内容。 3.能运用不等式的基本性质，对简单不等式进行变形（化为“x>a”或“x<a”的形式），并能判断简单不等式变形的正确性，为后续解一元一次不等式奠定基础。 教学重难点 不等式的概念及常见不等号的意义，能根据实际情境准确列出不等式，掌握判断一个式子是否为不等式的方法。 知识点01 不等式 1.定义：用不等号( >， ≥， <， ≤ 或≠)表示不等关系的式子叫作不等式 . 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 ＜  小于号  小于、不足  小于  3+2 ＜ 6 ＞  大于号  大于、高出  大于  3+3 ＞ 5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a ≥ 0， a 是非正数表示为 a ≤ 0； ③ a， b 同号表示为 ab>0， a， b 异号表示为 ab<0. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 不等式的解与解集 1. 不等式的解：一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解 . 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立 . 若成立，则该数就是不等式的一个解；若不成立，则该数就不是不等式的解 . 2. 不等式的解集：所有不等式的解的全体称为这个不等式的解集 . 特别提醒： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 【即学即练】（23-24七年级上·安徽蚌埠·月考）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 知识点03 不等式的解集的表示方法 在数轴上表 示不等式的解 集 不等式的解集表示的是未知数的取值范围， 所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 .一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集 x > a x ≥ a x < a x ≤ a 数轴表示 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 不等式的基本性质 1. 性质 1：不等式的两边都加上(或减去) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变 . 即如果 a>b，那么 a ＋ c>b ＋ c，a － c>b － c. 2. 性质 2;不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 . 即如果 a>b， c>0，那么 ac>bc， . 3. 性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 . 即如果 a>b， c<0，那么 ac<bc， 4. 性质 4:如果 a>b，那么 b<a. 5. 性质 5:如果 a>b， b>c，那么 a>c. 6. 不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 不同点  相同点 不等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 （1）两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2) 两边乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式都仍成立 等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立 【即学即练】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 题型01 不等式的概念 【例1】下列式子：；；；；．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 根据不等关系列不等式 【例3-1】根据“x的2倍与5的和小于3”列出的不等式是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）“x的与的和不大于4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）用不等式表示“减去5的差不大于0”正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】y的与z的5倍的差的平方是一个非负数，列出不等式为（    ） A． B． C． D． 题型04 不等式的基本性质 【例4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得（） D．由，得 【例4-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）若，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 题型05 不等式基本性质的应用 【例5-1】根据已知不等式进行判断 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是：（    ） A． B． C． D． 【例5-2】利用不等式的基本性质比较代数式的大小 （24-25七年级下·安徽安庆·月考）若，则_______（填“”或“”号）． 【例5-3】利用不等式的性质求最值 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设，则的最大值与最小值的差为（   ） A．2.5 B． C． D．1 【例5-4】利用不等式的基本性质化简不等式 将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b，c满足：，，则下面结果正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 【变式5-4】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知三个正整数满足，且，则所有的正整数对有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式5-5】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 【变式5-6】根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-7】已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【变式5-8】当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 题型06 阅读理解与规律探究 【例6-1】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【例6-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）（1）【观察与思考】 场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格1．（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4顾客在排队等候，若把到达时间看作0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”． ①表1中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人；“新顾客”每4分钟来一位）． ②表2中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． （2）【发现与表达】 发现1： ①“新顾客”服务结束的时间_____“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）． 发现2： ②若_____，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“>”“<”或“=”） ③结论：如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位．服务窗口开始服务前已经有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队，当_____时，排队现象消失（直接写出与的关系）． 表1 顾客 … 到达时间 服务开始时间 服务结束时间 表2 顾客 … 到达时间 … ▲ 服务开始时间 … ▲ ▲ 服务结束时间 … ▲ 【变式6-1】【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【变式6-2】如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【变式6-3】某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 一、选择题 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）已知，． 若，则与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列四个不等式：①；②；③；④中，能推出的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子变形正确的是(  ) A．由 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）如图，a，b两个物体分别放置在天平左右两侧的托盘中，若天平向左侧倾斜，则________________．（填“>”或“<”） 12．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若，则_____（填或）． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数x，y满足，，设，则t的取值范围为：____． 14．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立． 问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）． 三、解答题 15．（1）比较a与的大小； （2）比较2与的大小． 16.用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 17.用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 18.某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 19．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 20.当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 21.阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 不等式及其基本性质 教学目标 1.理解不等式的概念，能准确识别不等号（>、<、≥、≤、≠），并能根据实际情境中的不等关系列出简单不等式，建立符号意识，体会不等式作为刻画现实世界数量关系的数学模型的价值。 2.掌握不等式的5条基本性质（含对称性、传递性），能清晰区分不等式性质与等式性质的异同，尤其牢记不等式两边乘（或除以）同一个负数时不等号方向改变的关键规则，能准确叙述每条性质的具体内容。 3.能运用不等式的基本性质，对简单不等式进行变形（化为“x>a”或“x<a”的形式），并能判断简单不等式变形的正确性，为后续解一元一次不等式奠定基础。 教学重难点 不等式的概念及常见不等号的意义，能根据实际情境准确列出不等式，掌握判断一个式子是否为不等式的方法。 知识点01 不等式 1.定义：用不等号( >， ≥， <， ≤ 或≠)表示不等关系的式子叫作不等式 . 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 ＜  小于号  小于、不足  小于  3+2 ＜ 6 ＞  大于号  大于、高出  大于  3+3 ＞ 5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a ≥ 0， a 是非正数表示为 a ≤ 0； ③ a， b 同号表示为 ab>0， a， b 异号表示为 ab<0. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是方程，不是不等式，故本选项不符合题意； B．是代数式，不是不等式，故本选项不符合题意； C．是方程，不是不等式，故本选项不符合题意； D．是不等式，故本选项符合题意； 故选：D． 知识点02 不等式的解与解集 1. 不等式的解：一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解 . 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立 . 若成立，则该数就是不等式的一个解；若不成立，则该数就不是不等式的解 . 2. 不等式的解集：所有不等式的解的全体称为这个不等式的解集 . 特别提醒： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 【即学即练】（23-24七年级上·安徽蚌埠·月考）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】由得或进而即可求解； 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴（1）（4）符合题意． 故选：C． 知识点03 不等式的解集的表示方法 在数轴上表 示不等式的解 集 不等式的解集表示的是未知数的取值范围， 所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 .一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集 x > a x ≥ a x < a x ≤ a 数轴表示 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在数轴上表示右侧的所有实数，不含于解集即为空心点； 故选：D． 知识点04 不等式的基本性质 1. 性质 1：不等式的两边都加上(或减去) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变 . 即如果 a>b，那么 a ＋ c>b ＋ c，a － c>b － c. 2. 性质 2;不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 . 即如果 a>b， c>0，那么 ac>bc， . 3. 性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 . 即如果 a>b， c<0，那么 ac<bc， 4. 性质 4:如果 a>b，那么 b<a. 5. 性质 5:如果 a>b， b>c，那么 a>c. 6. 不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 不同点  相同点 不等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 （1）两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2) 两边乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式都仍成立 等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立 【即学即练】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，分析各选项： 选项A： 不等式两边同时减去2，方向不变，故，A错误． 选项B： 两边同乘负数，方向改变，原式变为，B错误． 选项C： 由得，C错误． 选项D： 两边同乘负数，方向改变，原式变为，D正确． 故选：D． 题型01 不等式的概念 【例1】下列式子：；；；；．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：不等式有；；， 故选：B． 【变式1-1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①是不等式；②是不等式；③是不等式；④是整式；⑤是方程；⑥是不等式； 题中共有4个不等式， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 题型02 不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集，可表示为： ， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示为 ；故选：A． 【变式2-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈， 即， 故选：C． 题型03 根据不等关系列不等式 【例3-1】根据“x的2倍与5的和小于3”列出的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可得：． 故选：D． 【变式3-1】“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据x的与x的和不超过5，得，即可作答． 【详解】解：依题意，x的与x的和不超过5， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）“x的与的和不大于4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的与的和，用代数式可以表示为， “不大于”可以用符号“”表示， 因此原文可以表示为“”， 故选：D． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）用不等式表示“减去5的差不大于0”正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：用不等式表示“减去5的差不大于0”为， 故选：A． 【变式3-4】y的与z的5倍的差的平方是一个非负数，列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：根据题意，得． 故选A． 题型04 不等式的基本性质 【例4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得（） D．由，得 【答案】B 【详解】解：A、由，根据不等式性质可得，选项错误，不符合题意； B、由，得，选项正确，符合题意； C、由，若，则，原选项错误，不符合题意； D、由，若，，则，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【例4-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）若，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由可得，原式不成立，不符合题意； B、由可得，原式不成立，不符合题意； C、由可得，则，原式成立，符合题意； D、由可得，则，原式不成立，不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；     C. ∵，且，∴，故该选项不正确，不符合题意；     D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若， 两边同时乘以得，则A不符合题意， 两边同时乘以得，则B不符合题意， 两边同时减去得，则C符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：C． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．∵， ∴，故A符合题意； B．∵，， ∴，故B不符合题意； C．∵， ∴，故C不符合题意； D．∵， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 题型05 不等式基本性质的应用 【例5-1】根据已知不等式进行判断 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A，B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【例5-2】利用不等式的基本性质比较代数式的大小 （24-25七年级下·安徽安庆·月考）若，则_______（填“”或“”号）． 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【例5-3】利用不等式的性质求最值 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设，则的最大值与最小值的差为（   ） A．2.5 B． C． D．1 【答案】D 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：， ∴的最大值与最小值的差为：． 故选：D． 【例5-4】利用不等式的基本性质化简不等式 将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ， 则不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， （2）解： ， 则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （3）解： ， 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （4）解： ， 则不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b，c满足：，，则下面结果正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， ， ． 把代入中，得 ． 解得． ∴， ∴ ． 综上，，， 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【详解】解：A．∵，， ∴，即， ∴，故A选项错误，不符合题意； B． ∵，， ∴，故B选项错误，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故D正确，符合题意． 故选D． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为19， 故选：A． 【变式5-4】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知三个正整数满足，且，则所有的正整数对有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】A 【详解】解：，且，，为正整数， ， ， 又， ，且， 且， 即：， ， 将代入，得：， 同理：，则， ， ， 将代入，得：， 综上所述：，，， ∴为，只有一对正整数对， 故选：A． 【变式5-5】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 【变式5-6】根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：不等式两边同加上3，得， ； （2）解：不等式两边同减去，得， ； （3）解：不等式两边同乘以5，得， ； （4）解：不等式两边同除以，得， ． 【变式5-7】已知，请比较下列各组数的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【详解】（1）解：； 理由：， ， ； （2）解：． 理由：， ， ． 【变式5-8】当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 【详解】（1）解：∵， ∴（不等式基本性质3）， ∴（不等式基本性质2）； 故答案为：； （2）解：∵ ∴，且， 解得． 故答案为：． 题型06 阅读理解与规律探究 【例6-1】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【详解】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故． 【例6-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）（1）【观察与思考】 场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格1．（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4顾客在排队等候，若把到达时间看作0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”． ①表1中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人；“新顾客”每4分钟来一位）． ②表2中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． （2）【发现与表达】 发现1： ①“新顾客”服务结束的时间_____“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）． 发现2： ②若_____，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“>”“<”或“=”） ③结论：如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位．服务窗口开始服务前已经有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队，当_____时，排队现象消失（直接写出与的关系）． 表1 顾客 … 到达时间 服务开始时间 服务结束时间 表2 顾客 … 到达时间 … ▲ 服务开始时间 … ▲ ▲ 服务结束时间 … ▲ 【答案】（1）①；②；（2）①；②；③ 【详解】（1）①在分钟到达时，服务刚好结束（分钟），收银台空闲，因此服务开始时间为分钟（无需排队）． ∴表1中第3位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 故答案为：． ②第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第10位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的； 故答案为：5； （2）①根据表2，“新顾客”服务结束的时间“新顾客”服务开始时间， 故答案为：． ②是到达时间， 是服务结束时间 ∴当 时，刚结束服务，收银台空闲，且无其他顾客排队，因此 无需排队 故答案为：． ③如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位．服务窗口开始服务前已经有位顾客在等待， 服务时间为，第位“新顾客”到达的时间为， 假设从第位“新顾客”开始不需要排队， 当时，收银台空闲，排队现象消失 故答案为：． 【变式6-1】【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 【变式6-2】如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)，， ， (2)②④，证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴ ． ∴ ． 故答案为：，， ，； （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：②④． 【变式6-3】某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)①② (2)； (3) 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 一、选择题 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，． 故选：A． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据图示，可得且，，， ， ， 选项A不符合题意； ， ， 选项B不符合题意； ，， ， 选项C符合题意； ，， ， 选项D不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 5．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）已知，． 若，则与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 又，． ∴ ∵， ∴，即， 故选：C． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列四个不等式：①；②；③；④中，能推出的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，且时，，故①不符合题意； ②，且时，，故②不符合题意； ③， ， ，故③符合题意； ④， ， ，故④符合题意， 故选：B． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由不等式两边同时，得到，选项错误； B、由不等式两边同时，得到，选项错误； C、由不等式两边先同时，再同时得到，选项正确； D、当时，无意义，当时，无意义，选项错误； 故选：C． 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子变形正确的是(  ) A．由 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 【答案】C 【详解】解：A. 由，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意； C. 由 ，得，故该选项正确，符合题意； D. 由，得 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，， 根据不等式基本性质，不等式两边乘同一个非负数，不等号方向不变， ，该选项成立． 选项B：当时，；当时，由，根据不等式基本性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，可得 ， 仅由不能确定，该选项不成立． 选项C：当时，， 仅由不能确定，该选项不成立． 选项D：当，时，满足，但，，此时 ， 仅由不能确定，该选项不成立． 故选：． 10．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， 错误， 故选项A不符合题意； ，， 当时，，当时，， ， 错误， 故选项B不符合题意； ， 当时，，当时，， ， 错误， 故选项C不符合题意； ， 当时，，当时，， ， 正确， 故选项D不符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）如图，a，b两个物体分别放置在天平左右两侧的托盘中，若天平向左侧倾斜，则________________．（填“>”或“<”） 【答案】 【详解】解：天平向左侧倾斜， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若，则_____（填或）． 【答案】 【详解】解：由， 故， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数x，y满足，，设，则t的取值范围为：____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为： 14．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立． 问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）． 【答案】≥ 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴， 故答案为：≥． 三、解答题 15．（1）比较a与的大小； （2）比较2与的大小． 【答案】（1）；（2）①当时，；②当时，；③当时， 【详解】（1）解：根据题意，得， 故． （2）解：根据题意，得， ①当时，； ②当时，； ③当时，． 16.用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 17.用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 18.某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 19．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴铁丝的长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为：； （2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为：， ∵， ∴同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大． 20.当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 21.阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $