专题02 平方根、立方根中的4种数学思想 （高效培优专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题02 平方根、立方根中的4种数学思想 题型一：数形结合思想 题型二：不等式思想 题型三：分类讨论思想 题型四：方程思想 题型一：数形结合思想 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为__________． 【答案】 【详解】解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则______． 【答案】 【详解】解：正方形和正方形的面积分别是7和9， ， 以原点O为圆心，，为半径画弧， ， ． 故答案为：．， 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则______，______． 【答案】 2 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 4．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）图（1）中每个小正方形的边长为1，可知正方形面积为 ，边长为 ，按此方法在图（2）中画出长为的线段． 【详解】解：正方形面积为，则边长为， 故答案为：2，； 如图，线段即为长为的线段 5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中阴影正方形的面积； (2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求的算术平方根． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积． （2）解：由（1）得阴影正方形的面积为13， ∴阴影正方形的边长为 的整数部分是， ， 的整数部分是3， ∴． ， 的算术平方根为． 6．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示． (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【详解】（1）解：由题意可知，正方形的面积为，即 以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴相交于点 点表示的数为 说明无理数也可以在数轴上进行表示 故答案为：2，，无理数 （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 8．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 9．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边 ． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， 题型二：不等式思想 1．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． 【答案】 【详解】解：， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)不等式的基本性质1 (2) (3)当，即时，；当，即时，；当，即时， 【详解】（1）解：由得到的理论是不等式的基本性质1． （不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）； 故答案为不等式的基本性质1． （2）解：， ， ． （3）解：， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 4．知识链接： ①对于任意两个实数，，如果，那么；如果，那么；如果，那么； ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)比较大小： ______； (2)已知为实数，，，请你比较、的大小； (3)已知、均为正数，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解： ， ， ， ， ． （3）解：， ，都是正数， ， ， ， ． 4．观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 题型三：分类讨论思想 1．9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 2．若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【详解】解：∵， 又∵ 是的平方根， ∴或． 当时，，的正的平方根为； 当时，，的正的平方根为． ∴的正的平方根是1或． 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【答案】B 【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， 此时，，， ∴，，是“完美组合数”； ②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，， 故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻两个正整数来确定．例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是______； (2)若小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为8， ∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：8，； （2）由（1）知， 又∵， ∴， ∴， ∴的小数部分； ∴，即， ∵1的平方根是1和， ∴或， 故可得或． 5．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 6．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图1，这是由5个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图1中，拼成的大正方形的边的长为______． (2)现将大正方形水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合．若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E直接写出点E表示的数是______． 【详解】（1）解：∵面积不变，且由5个边长均为1的小正方形组成的图形 ∴拼成的大正方形的面积为5， ∵ 则边的长为（负值已舍去）； 故答案为： ； （2）解：依题意，边的长=边的长， 当旋转方向为顺时针时，则， ∴点表示的数， 当旋转方向为逆时针时，则， ∴点表示的数， 综上：点表示的数或 故答案为：或． 7．【阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴，即 而，且是整数， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则或 8．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)或2． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的小数部分， ∴， 是1的平方根， 解得或． 9．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻的两个正整数确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______； (2)若的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)8； (2)或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以的小数部分． 因为， 所以的小数部分， 所以，即， 因为1的平方根是1和， 所以或， 故可得或． 10．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 【答案】（1）；；（2）6或 【分析】本题考查绝对值，平方根的定义，求代数式的值，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据绝对值得定义解题即可；根据平方根的定义可得结果； （2）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：（1）若，则，若，则； 故答案为：；； （2）∵，， ∴，， 即或，， 异号， 当时，；当时，． 当，时，． 当，时，． 的值为6或． 11．（22-23七年级下·安徽六安·月考）已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 【答案】(1)，1000 (2)①；② (3)当时，；当或时，；当时， （3）分三种情况：①；②或，③分别求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：，1000． （2）解：①∵， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， 故答案为：． （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当或时， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴． 题型四：方程思想 1．同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则__________，__________； (2)如果，其中，为有理数，求的平方根． 【答案】(1)，2 (2) 【详解】（1）解：因为，其中，为有理数， 所以，， 解得，， 故答案为：，2； （2）解：因为， 所以， 所以， 因为，为有理数， 所以， 解得， 所以， 所以的平方根是． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·月考）已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）， ， 由（1）得，， . 的平方根是， 的平方根是． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵，即，c是的整数部分， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知实数a的平方根为的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； （2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， ∴的立方根为． 5．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 6．（24-25七年级下·福建厦门·月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为． (1)求篮球场的长和宽； (2)如果篮球场的四周必须留出1米宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 【答案】(1)篮球场的长为，宽为． (2)可以按规定在这块空地上建一个篮球场 【详解】（1）解：设篮球场的长为，则宽为． 根据篮球场面积公式，有． 解方程得到，由于，则． 因此，篮球场的长为，宽为． 答：篮球场的长为，宽为． （2）∵ ， ∴能按规定在这块空地上建一个篮球场． 答：可以按规定在这块空地上建一个篮球场． 7．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． (1)填空：的整数部分的值为　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)12.54 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：如图，图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得， 解得， ∴． 8．【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 【尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 【答案】（1）2；；（2）；（3）8 【详解】解：（1）；； （2）， ， ， ， ∵， ∴， 解得：； （3）， ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴ ． 9．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：    (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 (2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． (3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为． （2）能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为 ∴ 解得： ∴ ∴能裁出这样的长方形． （3）不能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为 ∴ 解得： ∴ 又∵要求长方形的四周至少留出的边框 因此加边框后的长至少要 ∵ ∴不能裁出这样的长方形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平方根、立方根中的4种数学思想 题型一：数形结合思想 题型二：不等式思想 题型三：分类讨论思想 题型四：方程思想 题型一：数形结合思想 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为__________． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则______． 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则______，______． 4．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）图（1）中每个小正方形的边长为1，可知正方形面积为 ，边长为 ，按此方法在图（2）中画出长为的线段． 5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中阴影正方形的面积； (2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求的算术平方根． 6．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是_______，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示的数为_______；说明_______可以在数轴上表示． (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 8．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 9．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边 ． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 题型二：不等式思想 1．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 3．知识链接： ①对于任意两个实数，，如果，那么；如果，那么；如果，那么； ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)比较大小： ______； (2)已知为实数，，，请你比较、的大小； (3)已知、均为正数，比较与的大小． 4．观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 题型三：分类讨论思想 1．9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 2．若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻两个正整数来确定．例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是______； (2)若小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 5．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 6．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图1，这是由5个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图1中，拼成的大正方形的边的长为______． (2)现将大正方形水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合．若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E直接写出点E表示的数是______． 7．【阅读理解】 的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 8．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 9．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻的两个正整数确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______； (2)若的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 10．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）【观察】 ，； ，． 【推理】 （1）若，则___________，若，则___________； 【应用】 （2）已知，．若异号，求的值． 11．（22-23七年级下·安徽六安·月考）已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 题型四：方程思想 1．同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． 运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则__________，__________； (2)如果，其中，为有理数，求的平方根． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·月考）已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的平方根． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知实数a的平方根为的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的立方根． 5．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 6．（24-25七年级下·福建厦门·月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为． (1)求篮球场的长和宽； (2)如果篮球场的四周必须留出1米宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 7．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． (1)填空：的整数部分的值为　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 8．【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 【尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 9．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：    (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 (2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． (3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $