精品解析：福建省泉州石狮市第二中学2025-2026学年九年级上学期期末数学考试卷

2025年秋季石狮市第二中学毕业班质量抽测（数学） 考试时长：120分钟；满分：150分 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为2者即可 【详解】A、=2，与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、=，与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、=，与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、，与的被开方数不同，故不是同类二次根式. 故选C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断． 3. 下列是随机事件是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 两个负数相乘，积是正数 C. 13个人中至少有2人生肖相同 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 4. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行计算，即可解答．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例是解决问题的关键． 由，根据平行线分线段成比例得到，代入具体线段长计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 解得， 故选：B． 6. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选B． 7. 某中学图书馆为响应学校“读书节”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程，是解题的关键． 设进馆人次的周平均增长率为x，利用第三周进馆人次第一周进馆人次进馆人次的周平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设进馆人次的周平均增长率为x， 则第三周进馆人次， 依题意得：． 故选：A． 8. 在正方形网格中，如图放置，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．取格点，连接，利用正切的定义即可求出的值． 详解】解：如图所示，取格点，连接 ∵，， ∴， 故选：A． 9. 如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图像可以直接回答即可． 【详解】解：观察图像得：当时，二次函数的图像位于一次函数的图像的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点，为边上一点，连接，交于点是的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，中位线的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 作的中点P，连接，得到，推导出，，， 则，，推导出，得到，，则，推导出，即可解答． 【详解】解：作的中点P，连接，如图 ∴， 在正方形中， ，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴． 故选B． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. _____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 12. 冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是___米. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题．在中，已知坡面的坡比是铅直高度和水平宽度的比值，求出，根据勾股定理即可求解的长． 【详解】解：根据题意得：， 解得：（米）． ∴， 故答案为：． 13. 一个不透明袋中仅装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入5个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为______个． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率的知识，摸到白球的频率为，即白球的概率约为，设红球个数为，则总球数为，列出方程求解． 【详解】解：设袋中红球个数为，则总球数为， 所以摸到白球的概率为， 根据频率估计概率，有，解得 ， 经检验，是原方程的解， 故袋中红球约为30个． 故答案为：30． 14. 若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式． 根据方程没有实数根的条件，判别式小于零，列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：方程可化为， 其中，，， ． 由于方程没有实数根，故，即， 所以． 故答案为． 15. 如图，点G是的重心，连接、并延长分别交、于点D，E，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的重心的概念得到是的中位线，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：点是的重心， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的重心的概念、三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解题的关键． 16. 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是且有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，当时，则t的取值范围为或其中正确的结论序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断，，的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；点和在抛物线上，要满足，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即，再求解，进而判断⑤． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又抛物线与轴的交点坐标是，即， ，即， ，故①正确； 抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， 另一个交点坐标为， 当时，，故②错误； ，在抛物线的图象上， ， 又， ， 即， ，即， ， 即， 当时，取得最大值，最大值为， ， ，故③正确； ，，， 即， ， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又， ， 当时，， 当时，恒成立，即有两个不相等实根，故④正确； 由于抛物线开口向下， 点和在抛物线上，要满足，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即， 分类讨论如下：当时：， 不等式化为：， 解得：， ； 当时：， 不等式化为：， 解得：， ； 当时：， 不等式化为：， 解得：， ； 因此，当时，的取值范围是或，故⑤错误； 故正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： 【答案】2 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程：2x2-9x+8=0． 【答案】x1=，x2=． 【解析】 【详解】试题分析：先计算判别式的值，然后代入一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中求解． 试题解析：△=（-9）2-4×2×8=17， x=， 所以x1=，x2=． 考点：解一元二次方程-公式法． 19. 如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； （3）在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质写出坐标即可． 小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作； 【小问3详解】 解：若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是． 【点睛】一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，、、的对边长分别为a、b、c，则有，这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头A、B之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点C处（点A、B、C在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头A处测得无人机的仰角约为，在码头B处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头A到无人机C之间的距离约为． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中结论计算码头A、B之间的距离（精确到）；（参考数据：，） （2）请用你所学过的解直角三角形知识求码头A、B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）码头A、B之间的距离约为． （2）码头A、B之间的距离为． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，，利用阅读材料中的结论：，可直接求解； （2）过点作交于点，在直角三角形中求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， ， ， ， ， 答：码头A、B之间的距离约为． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， 由题意可知， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 答：码头A、B之间的距离为． 22. 马拉松是一项考验参与者意志力和生理极限的高强度运动项目，某次马拉松赛事共设置了三项：A．“马拉松”，B．“半程马拉松”，C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． （1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为____________； （2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，列表法或树状图法，掌握列表法和树状图法列举出所有等可能的结果的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求出即可； （2）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：从三个项目组中任取1个，小明被分配到“健康跑”项目组的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示， 共有9个等可能的结果，小华和小明被分配到不同项目组的结果有6个， 小华和小明被分配到不同项目组的概率为． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根： （2）若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，，再根据列出方程，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 证明： ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵ ∴ 即 ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得：， ∵， ∴， 即， 均符合题意， ∴． 24. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 （1）求此二次函数的解析式； （2）点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 （3）若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：把和代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 25. （1）问题发现： 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．填空：①的值为_____________；②的度数为_____________． （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点О在平面内旋转，、所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】（1）①1；② （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）①，得即可得到答案；②由，得，再根据三角形内角和定理即可得到答案． （2）先证明，由相似三角形的性质即可得到答案． （3）正确画出图形，当点C与点M重合时有两种情况，同（2）得: ，则，，即可得到答案． 【详解】（1）① ， ； ② 在中 （2）， 理由是：中 ， 同理得： ， 在中 ． （3）①点C与点M重合时，如图，同（2）得: ， 设，则 在中，， ， 中，， 在中，由勾股定理得： 整理得： ， ； ②点C与点M重合时，如图，同理得： ， 设，则 在中，由勾股定理得： 整理得 ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了三角形全等和相似的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，掌握以上知识点并运用类比的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季石狮市第二中学毕业班质量抽测（数学） 考试时长：120分钟；满分：150分 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是随机事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 两个负数相乘，积是正数 C. 13个人中至少有2人生肖相同 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学图书馆为响应学校“读书节”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形网格中，如图放置，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点，为边上一点，连接，交于点是的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11 _____． 12. 冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是___米. 13. 一个不透明袋中仅装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入5个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为______个． 14. 若关于x方程没有实数根，则m的取值范围是________． 15. 如图，点G是的重心，连接、并延长分别交、于点D，E，连接，则________． 16. 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是且有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，当时，则t的取值范围为或其中正确的结论序号是___________． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： 18. 解方程：2x2-9x+8=0． 19. 如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 20. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； （3）在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，、、对边长分别为a、b、c，则有，这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头A、B之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点C处（点A、B、C在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头A处测得无人机的仰角约为，在码头B处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头A到无人机C之间的距离约为． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算码头A、B之间的距离（精确到）；（参考数据：，） （2）请用你所学过的解直角三角形知识求码头A、B之间的距离．（结果保留根号） 22. 马拉松是一项考验参与者意志力和生理极限的高强度运动项目，某次马拉松赛事共设置了三项：A．“马拉松”，B．“半程马拉松”，C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． （1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为____________； （2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m何值，方程总有实数根： （2）若方程的两根分别是和，且，且满足，求此时m的值． 24. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 （1）求此二次函数的解析式； （2）点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 （3）若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. （1）问题发现： 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．填空：①的值为_____________；②的度数为_____________． （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点О在平面内旋转，、所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $