精品解析：福建漳州市南靖县2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025－2026学年第一学期初中学校期末教学质量监测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. －2 B. 3 C. －1 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】解：由二次根式有意义的条件得， 解得 ． B选项符合题意． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，满足所有条件，故本选项符合题意； B选项方程含有分式，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意； C选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； D选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； 3. 任意作一个三角形，下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 这个三角形有两个内角相等 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形三个内角的和是 D. 这个三角形两条边的和小于第三条边 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义，结合三角形三边关系、内角和性质判断各选项即可． 【详解】等腰三角形存在两个内角相等，该事件可能发生，故A是随机事件，不符合要求； 直角三角形是存在的，该事件可能发生，B是随机事件，不符合要求； 任意三角形的内角和都为180°，该事件一定发生，C是必然事件，不符合要求； 三角形任意两边之和一定大于第三边，两边和小于第三边的事件一定不会发生， 故D是不可能事件，符合要求． 4. 已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵点，点与点关于轴对称， ∴点的横坐标与的横坐标相同，为， 点的纵坐标是纵坐标的相反数，即， ∴点的坐标为． 5. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数—坡度问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．过点作，垂足为，根据题意可得，，设，则，由勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意得：，， 设，则， 由勾股定理， 得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：D． 6. 已知抛物线，则下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点为 C. 对称轴为直线 D. 此抛物线的图像由向下平移3个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】利用顶点式性质判断开口方向、顶点坐标、对称轴，再结合平移规则判断选项即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为顶点式，二次项系数， ∴抛物线开口向上，选项A错误， ∵顶点式的顶点坐标为，对称轴为直线，本题中，， ∴抛物线顶点为，对称轴为直线，选项B、C错误， ∵将向下平移3个单位，得到解析式，即为抛物线， ∴选项D正确． 7. 已知中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵在中，， ∴． 8. 某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 朝上的点数是偶数的概率 B. 朝上的点数是2的概率 C. 朝上的点数大于5的概率 D. 朝上的点数是3的倍数的概率 【答案】A 【解析】 【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在左右，因此可以判断各选项． 【详解】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在左右． A、朝上的点数是偶数的概率为，故选项A符合题意； B、朝上的点数是2的概率为，故选项B不符合题意； C、朝上的点数大于5的概率为，故选项C不符合题意； D、朝上的点数是的倍数（含）的概率为，故选项D不符合题意． 9. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项条件及相似三角形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、，， ，故本选项不符合题意； B、，， ，故本选项不符合题意； C、， ∴， 又， ，故本选项不符合题意； D、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意． 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 或2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题二次函数开口向上，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，利用二次函数的最值性质求解m，舍去不符合前提条件的解即可． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，分三种情况讨论： 若对称轴在区间左侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而增大， ∴最小值在处，代入得，此情况不成立； 若对称轴在区间内，即，得， ∵开口向上，顶点为最小值点，将代入函数得： ， 令，得，整理得，解得， ∵， ∴，符合条件； 若对称轴在区间右侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而减小， ∴最小值在处，代入得，解得， ∵，不符合的前提，故舍去． 综上，只有符合条件，因此选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简：_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义计算． 【详解】解：∵， ∴． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根1代入原方程，构造关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 整理得 ， 解得 ． 13. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【答案】2.8 【解析】 【分析】用正方形面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分总面积约为． 14. 抛物线上有两点，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，且当时，y取最小值， ∵抛物线上有两点，， ∴. 15. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据位似图形的性质得，且，即可求出 ，进而得出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 16. 如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出在以为直径的的一段圆弧上运动，进而根据中位线的性质求得，当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴在以为直径的的一段圆弧上运动， ∵，则的半径为 ∵为的中点， ∴ ∴当在上时，取得最小值为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值意义，二次根式的加减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 或， ． 19. 如图，社区宠物乐园有一块长方形的狗狗活动区，长12米，宽8米，计划在活动区四周修建宽度相等的防滑垫区域（阴影部分），活动区与防滑垫的总面积为140平方米．求防滑垫的宽度． 【答案】1米 【解析】 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【详解】解：设防滑垫的宽度为米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：防滑垫的宽度为1米． 20. 中国第一滨海“双子塔”——厦门世茂海峡大厦，位于厦门市思明区，东依千年古刹南普陀和百年名校厦门大学，南至演武大桥，西望海上花园鼓浪屿，北靠万石植物园五老峰，坐拥得天独厚的优雅环境．某数学实践小组来到现场，计划测量“双子塔”其中一座大厦的高度．如图，在地面观测点处测得大厦顶部的仰角为，再沿水平方向向大厦底部行走100米到达观测点处，测得大厦顶部的仰角为．已知观测点与大厦底部在同一直线上，求大厦的高度．（参考数据：．） 【答案】300米 【解析】 【分析】设大厦高度为米，利用仰角的直角三角形性质得到米；再在含仰角的直角三角形中，用正切函数表示出的长度；最后根据（米）列出方程，求解得出的高度． 【详解】解：设大厦高度为米． 由题意可知，， 米． 在中，， 米， 解得． 答：大厦的高度约为300米． 21. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映，小张和小庄想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片． （1）求第一次抽取的卡片是《南京照相馆》的概率； （2）求抽取的两次结果中有《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据简单随机事件概率公式，统计总等可能结果数与符合条件的结果数，计算第一次抽取指定卡片的概率． （2）通过列表法列举出不放回抽取两次的所有等可能结果，再统计出包含《731》的结果数，最后根据概率公式计算对应概率． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中第一次抽取的卡片是《南京照相馆》的结果有1种． 第一次抽取的卡片是《南京照相馆》的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取的两次结果中有《731》的结果有：，，共4种， 抽取的两次结果中有《731》的概率为． 22. 在Rt中，． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）用尺规作，再根据可得； （2）先根据相似三角形的性质得，再设，则，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 解：如图， 点就是所求作的； 【小问2详解】 解：由（1）得，． ． 在中，， ． 设，则， ， ． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求表达式即可； （2）根据题意可得，进而得到点纵坐标，再代入抛物线求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点 ， 解得， 抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：由题意，设， 又的面积是的面积的3倍， ． ． 又， ． ， （舍去）． 点坐标为． 24. 已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合的表达式及的条件，确定的表达式，再通过两式相加证明． （2）通过将、的表达式相乘得到，结合、为正整数且互不相等的条件确定、的值，最后代入方程求出的值． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 25. 如图，与都是等边三角形，点在边上，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的内角性质、三角形外角性质，结合已知角相等的条件，分别表示出与，进而证明两角相等． （2）根据等边三角形的边与角的性质，通过“”证明，再利用全等三角形对应角相等求出的度数． （3）先通过角的关系证明三角形相似，得到比例线段；再构造辅助平行线，得到等边三角形与新的相似三角形，结合已证的等腰三角形性质，将比例线段转化，最终证明等积式． 【小问1详解】 证明：与都是等边三角形， ， 是的外角， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：与都是等边三角形， ， ， ． ． 【小问3详解】 证明：， ， ， ， ． 过点作交于点，则 ， 是等边三角形，， ， ． ， ， ， ，即， ． 由（1）得， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期初中学校期末教学质量监测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. －2 B. 3 C. －1 D. 0 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 任意作一个三角形，下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 这个三角形有两个内角相等 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形三个内角的和是 D. 这个三角形两条边的和小于第三条边 4. 已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A B. C. D. 6. 已知抛物线，则下列说法正确是（ ） A. 开口向下 B. 顶点为 C. 对称轴为直线 D. 此抛物线图像由向下平移3个单位得到 7. 已知中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 朝上的点数是偶数的概率 B. 朝上的点数是2的概率 C. 朝上的点数大于5的概率 D. 朝上的点数是3的倍数的概率 9. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 或2 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简：_____． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 13. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 14. 抛物线上有两点，则_____．（填“”“”或“”） 15. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 16. 如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，社区宠物乐园有一块长方形的狗狗活动区，长12米，宽8米，计划在活动区四周修建宽度相等的防滑垫区域（阴影部分），活动区与防滑垫的总面积为140平方米．求防滑垫的宽度． 20. 中国第一滨海“双子塔”——厦门世茂海峡大厦，位于厦门市思明区，东依千年古刹南普陀和百年名校厦门大学，南至演武大桥，西望海上花园鼓浪屿，北靠万石植物园五老峰，坐拥得天独厚优雅环境．某数学实践小组来到现场，计划测量“双子塔”其中一座大厦的高度．如图，在地面观测点处测得大厦顶部的仰角为，再沿水平方向向大厦底部行走100米到达观测点处，测得大厦顶部的仰角为．已知观测点与大厦底部在同一直线上，求大厦的高度．（参考数据：．） 21. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映，小张和小庄想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片． （1）求第一次抽取的卡片是《南京照相馆》的概率； （2）求抽取的两次结果中有《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 22. 在Rt中，． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求的值． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 24. 已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． （1）求证：； （2）求的值． 25. 如图，与都是等边三角形，点在边上，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）求度数； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $