精品解析：河北邯郸市锦玉中学2025-2026学年第二学期九年级阶段学情自测数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写． 3．将答案呈现在答题卡上． 第一部分 一、选择题（共12小题，满分36分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 2. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及到合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方．根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得， ， 由得， ， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 故选： ． 6. 如图，，是的两条弦，且，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得出 是等腰直角三角形，根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求扇形面积，得出 是等腰直角三角形是解题的关键． 7. 2025年太原市初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得小明和小颖分别随机选择一个项目的所有等可能的结果，再找出他们选择同一个项目的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将足球、篮球、排球考试项目分别记为，画出树状图如下： 由图可知，小明和小颖分别随机选择一个项目共有9种等可能的结果，其中，他们选择同一个项目的结果有3种， 则他们选择同一个项目的概率为， 故选：B． 8. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中， ， ．若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得 ，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 温度是影响声音传播速度的一个关键因素．在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大．根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的函数关系式为（ ） 温度 20 25 30 声速 1480 1505 1530 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点和，利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：设与之间的函数关系式为， 将点和代入得：， 解得， 则与之间的函数关系式为， 故选：D． 10. 如图，某排球运动员站在O点处发球，排球从点O的正上方A点发出，排球的运动路线是抛物线的一部分，则排球落地点距发球点的水平距离是（ ） A. 22m B. 21m C. 20m D. 19m 【答案】B 【解析】 【分析】由排球落地时可得：，解方程求解 检验后可得答案． 【详解】解：当时， 或 或 经检验：不合题意，舍去， 所以排球落地点的坐标为： 所以：排球落地点距发球点的水平距离是 故选： 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像上点的坐标的实际含义是解题的关键． 11. 如图， 内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，然后根据圆的切线的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12. 如图，在正八边形中，连接，可知．以点G为圆心，大于点G到线段的距离为半径作弧，分别交线段于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，连接 并延长交线段于点I，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，等腰三角形的性质，作垂直，根据多边形的性质得到，，再根据等腰三角形得到，由平行得到，即可求出． 【详解】解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 第二部分 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 14. 如图，在中，，点是边的中点，以点O为圆心， 长为半径作弧交斜边于点D．若 ，，则图中的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．连接 ，先求出，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得 ，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：如图，连接 ， ∵在中，， ，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵以点为圆心， 长为半径作弧，交斜边于点， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴图中的长为， 故答案为：． 15. 把2、4、7、K四张牌分发给四人，每人按照牌面数字记分（K记为13），然后收回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16、17、21和24分，已知得16分者最后一次得2分，则他在第一次得____________分． 【答案】7 【解析】 【分析】先计算每次四人得分总和，再计算四人累计总分，求出分发次数，再根据已知条件求出16分者前两次得分和，结合牌面数字即可得到结果． 【详解】解：由题意，可得每次四人得分总和为：， 四人累计得分总和为：， 则分发次数为，即共分发3次， 已知得16分者最后一次得2分，则前两次得分之和为， 在牌面数字2，4，7，13中，两个数之和为14仅能是，因此他第一次所得分数为7． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在 中，，于点C，点A在反比例函数（ ）的图象上．若， ，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，求出点坐标，即可求出k的值． 【详解】解：∵在 中，，，， ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、分式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法，然后计算加减法即可得； （2）先将分式的除法转化为分式的乘法，再根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：（1） ． （2） ． 18. 如图，在 中，． （1）实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）计算：若 ， ，求线段的长． 【答案】（1） 如图，即为所求（答案不唯一）． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线或尺规作角等于已知角，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作线段垂直平分线或尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）根据题意，在中， ，由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：作法一：尺规作线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴； 作法二：尺规作角等于已知角； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在中， ，， ∴，即， 解得． 19. 习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲，某中学围绕这三个成语开展学习活动，将这三个成语分别写在三张完全相同的不透明卡片上．（A：跃马扬鞭； B：万马奔腾； C：马不停蹄） （1）将三张卡片放入不透明的箱子中，充分搅匀，从中抽取一张卡片．下列说法中，属于随机事件的是________．（填写下列序号） ①第一次就抽到“马不停蹄”； ②抽到的卡片成语含有“马”字； ③抽到的卡片成语是“一马当先”； （2）某中学的小亮同学从三张完全相同的不透明卡片中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求小亮两次抽到的成语恰好相同的概率？ 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，画树状图或列表法求概率．掌握概率公式和正确地列出表格或画出树状图是解题关键． （1）利用必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可； （2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：抽取每张卡片的可能性相同， ∴第一次就抽到“马不停蹄”，为随机事件，故①符合题意； 抽到的卡片成语含有“马”字是必然事件，故②不符合题意； 抽到的卡片成语是“一马当先”，为不可能事件，故③不符合题意， 故选：①； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的成语恰好相同的结果有3种， 小亮两次抽到的成语恰好相同的概率为． 20. 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面 的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为 ，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为 ，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼的高度（结果取整数）（参考数据： ，，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，确定目标线段与直角三角形各边之间的和差关系是解题关键. （1）根据，进而根据线段的和差关系，即可求解； （2）过点C作 ，垂足为F，在 中，求出，进而根据线段的和差关系，即可求解； 【小问1详解】 解：在中， ，， ， ， ， 此时无人机D与教学楼之间的水平距离 的长度为； 【小问2详解】 解：过点C作 ，垂足为F， 由题意得：， ，， ， 在 中，， ， ， 教学楼的高度约为． 21. 综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【小问1详解】 解：能；理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； 【小问2详解】 解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 22. 在正方形中， ，E是射线上的一个动点．连接，过点E作 ，与正方形的一边交于点F，连接，．设的长为x， 的面积为y． （1）如图1，当点E在边上时（不与B，C两点重合），交边于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在的延长线上时，点F落在边上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求 面积的最大值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出：，，，证明，得出，然后求出三角形面积即可； （2）先证明，得出，根据点F落在边上时，且不与A，B两点重合，求出，写出，根据二次函数性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点F落在边上时，且不与A，B两点重合， ∴， 解得：， ∵， 又∵ ， ∴当 时，y最大，且最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，正方形的性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 23. 项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知 ，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为 的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面 时，对地面的保护半径为 ．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为 时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 【答案】（1） ； （2）不能覆盖着火点，理由如下： 由题意得， ， ， 对于 ， 令 ，则 ， 解得 （ 舍去）或 ， ∴点， ∴点， 设此时抛物线的解析式为 ， ∵对地面的保护半径为 ， ∴此抛物线与轴的两个交点为和，即和， 将代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ， 令，则 ， ∴点在抛物线与轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点； （3）点D的横坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）根据题意设所在抛物线的解析式为 ，将点代入求解即可； （2）由题意得， ， ，求得点，点，设此时抛物线的解析式为 ，利用待定系数法求得抛物线的解析式为 ，据此求解即可； （3）设点，则点，设此时抛物线的解析式为 ，将代入即可求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意，所在抛物线的顶点坐标为， ∴设所在抛物线的解析式为 ， 将点代入得 ， 解得， ∴所在抛物线的解析式为 ，即 ； （2）略 （3）∵点C在所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即， ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为 ， 将代入得 ， 整理得 ， ∵ ， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为． 24. 阅读与思考 “算两次”原理 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边 在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算 的面积来求解． 方式一： ． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． …… 任务： （1）例1中得到的乘法公式是 （用含，的式子表示）． （2）请将例2中的剩余过程补充完整． （3）请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，， ，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接．若 ，则点到的距离为 ． 【答案】（1） （2） 解：， ， ， ， ， ， 解得， 正方形的边长为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意分两种方法表示大正方形的面积即可求解； （2）根据题意，利用面积公式分别用表示出、、的面积，并由 求得面积，然后建立方程，解方程，即可求解； （3）作 于点，作于点，根据折叠以及平行四边形的性质，先的得出，， ，通过角的和差可证明，进而证明四边形是矩形，得到，然后在和中，利用勾股定理求得 和 ，最后在利用等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：将其看成一个大正方形则面积为， 将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，面积为， ； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作 于点，作于点，如图所示， 四边形是平行四边形，， ， ，， 将纸片沿折叠，点的对应点为点， ，， ， 为等腰三角形，， ， ， ， 在中，， ， ， 又在 中，， ， ， 又，， ，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，， 设点到的距离为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理等，读懂题意利用等面积法求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写． 3．将答案呈现在答题卡上． 第一部分 一、选择题（共12小题，满分36分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的两条弦，且，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年太原市初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中， ， ．若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 温度是影响声音传播速度的一个关键因素．在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大．根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的函数关系式为（ ） 温度 20 25 30 声速 1480 1505 1530 A. B. C. D. 10. 如图，某排球运动员站在O点处发球，排球从点O的正上方A点发出，排球的运动路线是抛物线的一部分，则排球落地点距发球点的水平距离是（ ） A. 22m B. 21m C. 20m D. 19m 11. 如图，内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正八边形中，连接，可知．以点G为圆心，大于点G到线段的距离为半径作弧，分别交线段于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，连接 并延长交线段于点I，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 14. 如图，在中，，点是边的中点，以点O为圆心，长为半径作弧交斜边于点D．若 ，，则图中的长为________． 15. 把2、4、7、K四张牌分发给四人，每人按照牌面数字记分（K记为13），然后收回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16、17、21和24分，已知得16分者最后一次得2分，则他在第一次得____________分． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在 中，，于点C，点A在反比例函数（ ）的图象上．若， ，则k的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）化简：． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）计算：若 ， ，求线段的长． 19. 习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲，某中学围绕这三个成语开展学习活动，将这三个成语分别写在三张完全相同的不透明卡片上．（A：跃马扬鞭； B：万马奔腾； C：马不停蹄） （1）将三张卡片放入不透明的箱子中，充分搅匀，从中抽取一张卡片．下列说法中，属于随机事件的是________．（填写下列序号） ①第一次就抽到“马不停蹄”； ②抽到的卡片成语含有“马”字； ③抽到的卡片成语是“一马当先”； （2）某中学的小亮同学从三张完全相同的不透明卡片中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求小亮两次抽到的成语恰好相同的概率？ 20. 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面 的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为 ，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为 ，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼的高度（结果取整数）（参考数据： ，，，）． 21. 综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 22. 在正方形中， ，E是射线上的一个动点．连接，过点E作 ，与正方形的一边交于点F，连接，．设的长为x， 的面积为y． （1）如图1，当点E在边上时（不与B，C两点重合），交边于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在的延长线上时，点F落在边上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求 面积的最大值． 23. 项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知 ，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为 的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面 时，对地面的保护半径为 ．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为 时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 24. 阅读与思考 “算两次”原理 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边 在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解． 方式一： ． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． …… 任务： （1）例1中得到的乘法公式是 （用含 ，的式子表示）． （2）请将例2中的剩余过程补充完整． （3）请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在 纸片中，对角线，相交于点，， ，将 纸片沿折叠，点的对应点为点，连接．若 ，则点到的距离为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $