精品解析：天津红桥区2026届高三下学期开学考试数学试卷

高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由得， 解得或， 所以当时，不一定成立， 而当时，一定成立， 所以是的必要不充分条件. 3. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中间值，结合单调性比较即可. 【详解】，， ，， 故. 4. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 5. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而判断函数值的正负，即可排除BD，通过函数的单调性排除C，推出结果即可. 【详解】令，则， 由得，即函数在上单调递增， 由得，即函数在上单调递减， 所以当时，， 由此知的定义域为， 于是对任意，有，则，故排除BD， 因为函数在单调递减，则函数在递增，故排除C， 则可知A中图象符合题意. 6. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 算得，.见附表：参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】根据列联表数据得到7.8，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，从而可得结论． 【详解】解：∵7.8＞6.635，， ∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”. 故选：C． 【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，属于基础题 7. 若函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于，则的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将函数化简为正弦型函数，再根据已知条件得出函数的周期，进而求得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间. 【详解】因为， 所以函数的最大值为2， 由题意可知直线与两个相邻公共点之间的距离就是一个周期， 所以，即，所以， 令， 所以， 所以函数的单调减区间为. 8. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线的性质求出抛物线的参数，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后计算的面积. 【详解】双曲线的右焦点为，即为抛物线 的焦点， 所以，解得，抛物线方程为，其准线方程为， 因此准线与轴的交点的坐标为；焦点的坐标为， 设点，因为在抛物线上，所以， 则 ，又，且， 代入得：，化简得， 结合，代入展开并整理：， 将代入，得，因此点坐标为或， 则，点到轴（所在直线）的距离为， 则. 9. 在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，先化简得到，，再利用向量数量积的运算，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 第II卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知是虚数单位，若，则________. 【答案】4-3i 【解析】 【详解】若， 则. 11. 的展开式中的常数项为________. 【答案】 【解析】 【详解】展开的通项是， 令可得， 因此，常数项为 12. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为3.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求圆柱的底面半径及高，代入体积公式求解. 【详解】 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形， 所以，圆柱底面半径为， 正四棱锥的高， 则圆柱的高为， 所以圆柱的体积为. 13. 已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离为0，从而得到直线过圆心，则为圆的直径，从而得到，求出点到直线的距离，利用三角形面积求出的面积. 【详解】，， 圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 过圆心， 直线与圆：交于，两点， 为圆的直径，， 点到直线的距离为 故答案为：. 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】设甲,乙在猜谜活动中猜对分别为事件、，根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可求出甲获胜的概率；分析出甲获胜的次数服从二项分布，再根据二项分布的期望公式计算即可. 【详解】设甲在猜谜活动中猜对为事件，设乙在猜谜活动中猜对为事件， 则由题意知，甲猜对的概率，乙猜对的概率. 在一次猜谜活动中，甲获胜即甲猜对，乙猜错为事件， 则甲获胜的概率； 由题意可知，甲获胜的次数服从二项分布， 所以随机变量的期望为. 15. 已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据时的解析式，结合条件，可得为符合条件的解，则时，没有实数解，分别讨论、和三种情况，根据指数函数的单调性，分析即可得答案. 【详解】令， 由有且仅有一个实数解，得有且仅有一个实数解， 当时，令，解得， 所以有且仅有一个实数解， 当时，令，解得，为一个确定的解，符合题意， 所以当时，没有实数解， 当时，，符合题意； 当时，，在上恒成立， 所以在上有无数个解，不符合题意； 当时，单调递增，只需即可， 综上，实数的取值范围是. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，所对边的长分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据正弦定理求解； （3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 由余弦定理可知， 即，即，解得 （舍去）； 【小问2详解】 因为，， 所以， 由得 【小问3详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 17. 如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. （1）若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； （2）若点到平面的距离为，求线段的长度. 【答案】（1）①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由直线与平面平行的判定定理证明即可. ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可. （2）求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【小问1详解】 ①略 ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . 【小问2详解】 设，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的离心率； （2）设是椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点间距离公式求出，由得到关系的等式，解出离心率； （2）根据离心率得到椭圆的方程为，设，由以线段为直径的圆经过点得到，从而得到，由点在椭圆上得到，通过联立方程组得到点的坐标，设圆心为，利用中点坐标公式求出的坐标，利用两点间距离公式求出半径，设直线的方程为，即，由直线与圆相切利用点到直线的距离得到计算出. 【小问1详解】 椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点，上顶点， ，，，， ，，， ， ，， ，，； 【小问2详解】 ，，， 设，，，，， 以线段为直径的圆经过点，， ，，， 又点在椭圆上，， 将代入得到， 整理得到，解得或， 异于椭圆的顶点，， ，， 设圆心为，则，，， 半径， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切， ，. 19. 设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，. （1）求和的通项公式; （2）设数列的通项公式. （i）求数列的前项和； （ii）求. 【答案】（1），；（2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）因为，是和的等比中项，根据等比中项可求得，再根据等差数列的通项公式求出，利用与的关系，证出是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项公式； （2）根据（1）中和的通项公式，列出数列的通项公式，利用分组求和法，分成奇数组和偶数组，即可求出数列的前项和； 将分为奇数和偶数两种情况，当为奇数时，设，运用裂项相消法化简求出结果；当为偶数时，设，运用错位相减法求出结果；分别求解出后，相加求得的值即可． 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，是和的等比中项， 所以，即， 解得，因为是各项均为正数的等差数列， 所以， 故， 因为，所以， 两式相减得：， 当时，，， 是以2为首项，2为公比的等比数列， . （2）（i）解：， 所以 . （ii）解：当为奇数时， 设 ， 当为偶数时， 设， ， 所以， 故， 所以. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式，以及运用分组求和法、裂项相消法和错位相减法求和，属于中档题． 20. 函数，，为自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程； （2）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （3）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 当时，令，则， 令，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，，当时，， 画出大致图象如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则， 且， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 为的极大值点，故存在唯一的极值点； 【小问3详解】 由（2）知，此时， 所以， 令， 若存在，使得对任意成立，等价于存在， 使得，即， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以，故， 所以实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 5. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 算得，.见附表：参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7. 若函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于，则的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 9. 在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知是虚数单位，若，则________. 11. 的展开式中的常数项为________. 12. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为3.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________. 13. 已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；若3次活动中，甲获胜的次数记为，则随机变量的期望为________. 15. 已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，所对边的长分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. （1）若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； （2）若点到平面的距离为，求线段的长度. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的离心率； （2）设是椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率. 19. 设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，. （1）求和的通项公式; （2）设数列的通项公式. （i）求数列的前项和； （ii）求. 20. 函数，，为自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $