立体几何初步单元综合测试试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高一下学期必修二立体几何初步单元测试试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．（5分）如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　) A.　　　　　　 B.1 C. D. 解：∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2， ∴直角三角形的直角边长是 ，∴直角三角形的面积是× × ＝1， ∴原平面图形的面积是1× ＝ .故选：D. 2．（5分）将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　) A.cm B.6 cm C.cm D.cm 解：设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知πr2×r＝π×22×6，得r＝2， ∴水面的高度是×2＝6(cm).故选：B. 3．（5分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE， 则AC∥A1C1∥DE， 则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角. 由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°.故选：C. 4．（5分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 解：如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1， 从而A1B1⊥BC1， 又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD， 所以BC1⊥平面A1B1CD， 又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.故选：C. 5．（5分）如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　) ①DF∥平面PBC； ②AB⊥平面PDC； ③平面PEF⊥平面ABC； ④平面PAE⊥平面PBC. A.3 B.2 C.1 D.0 解：∵BC∥DF，DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DF∥平面PBC，故①正确； ∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，PD，DC⊂平面PCD，∴AB⊥平面PDC，故②正确； ∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE，∴BC⊥平面PAE， ∵BC⊂平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，故④正确.只有③错误.故选：A. 6．（5分）已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β D．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，m∥β，n∥α，则m∥n 解：对于A，根据空间线面关系， 若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面都有可能，故A错误； 对于B，根据空间线面关系，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误； 对于C，根据空间两平面的位置关系，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误； 对于D，由线面平行的性质定理，若m⊂α，m∥β，α∩β＝l，可得m∥l，同理可得n∥l，所以m∥n，故D正确． 故选：D． 7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，F为BB1的中点，过A1作平面α满足条件，D1F⊥α，则α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面为（　　） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 解：如图，取A1B1，B1C1的中点E，G，连接EG，A1C1，AC，BD，FC1，CG，AE， 则EG∥A1C1，C1F⊥CG，AC⊥BD， 又A1C1∥AC，所以EG∥AC，则A，C，G，E四点共面， 因为AC⊥DD1，AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1、BD⊂平面DBFD1， 所以AC⊥平面DBFD1， 由D1F⊂平面DBFD1，得D1F⊥AC，易知D1C1⊥平面BB1C1C， CG⊂平面BB1C1C，所以CG⊥D1C1， 又C1F⊥CG，C1F∩D1C1＝C1，C1F、D1C1⊂平面D1C1F，所以CG⊥平面D1C1F， 由D1F⊂平面D1C1F，得D1F⊥CG，又AC∩CG＝C，AC、CG⊂平面ACGE， 所以D1F⊥平面ACGE，即α为平面ACGE，是四边形．故选：C． 8．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝4，PA＝2，则平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积是（　　） A． B． C．12π D．36 π 解：作PO′⊥平面ABCD，垂足为O′，则O′是正方形ABCD外接圆的圆心， 则正四棱锥P﹣ABCD外接球的球心O在PO′上， 取棱AB的中点E，连接O′D，O′E，OD，PE，作OH⊥PE，垂足为H． ∵AB＝4，∴BD＝4，即 ，O′E＝2， PE2，O′P4， 设四棱锥P﹣ABCD 外接球的半径为R，则 R2＝O'D2+O'O2＝OP2＝（O'P﹣OO'）2， 即R2＝8+O'O2＝（4﹣O'O）2，得OO'＝1，即R2＝8+O'O2＝9，即R＝3． 由题意易证△OPH∽△EPO′，则，则， 故平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积S．故选：B． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是(　　) A.AE⊥CE B.BE⊥DE C.DE⊥平面CEB D.平面ADE⊥平面BCE 解：由AB是底面圆的直径，则∠AEB＝90°，即AE⊥EB. ∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB. ∴BE⊥AD，又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，DE⊂平面ADE， ∴BE⊥DE.同理可得AE⊥CE. 又∵BE⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确.故选ABD. （多选）10．（6分）如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的是(　　) A.DF∥平面PBC B.AB⊥平面PDC； C.平面PEF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面PBC 解：∵BC∥DF，DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴DF∥平面PBC，故A正确； ∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，PD，DC⊂平面PCD， ∴AB⊥平面PDC，故B正确； ∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， ∵BC⊂平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC，故D正确. 只有C错误.故选：ABD. （多选）11．（6分）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为1：2，且底面边长均为，若该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则（　　） A．球O的体积为 B．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为20 C．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为 D．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为 解：设正四棱锥为P﹣ABCD，其底面中心为O1； 设正四棱柱为ABCD﹣A1B1C1D1，其下底面中心为O2， 设E是BC的中点，连接O1E，PE，AC，BD，A1C1，B1D1， 设O是球O的球心，设球O的半径为R， 设正四棱柱的高为x，则正四棱锥的高为2x，x为正数， 所以根据题意可得，， 所以，所以，解得x＝1， 所以，球的体积，A选项错误． 组合体的体积为，B选项正确． 依题意可知正四棱锥的侧棱与其底面所成角为∠PAO1， ，C选项错误． 根据正四棱锥的性质可知：BC⊥O1E，BC⊥PE， 所以∠PEO1是正四棱锥的侧面与其底面的夹角， ，D选项正确．故选：BD． 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________. 解：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.故答案为：2. 13．（5分）空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________. 解：如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 因为AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD. 因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝BD， 又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.故答案为：45°. 14．（5分）在平面五边形ABCDE中，∠A＝60°，，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC＝DE＝6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的体积为 　　 ． 解：作出示意图如下： 设△ABE的中心为O1，矩形BCDE的中心为O2， 过O1作垂直于平面ABE的直线l1，过O2作垂直于平面BCDE的直线l2， 则由球的性质可知，直线l1与l2的交点O为几何体ABCDE外接球的球心， 取BE的中点F，连接O1F，O2F，可得O1F＝O2F＝3，∠O1FO2＝120°， 连接OF，因为△OFO1≌△OFO2，可得， 连接OA，则OA为所得几何体外接球的半径， 在直角△AOO1中，由O1A＝6，， 所以， 所以外接球的半径为， 所以所得几何体外接球的体积为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r． （1）以r为变量，表示圆柱的表面积S柱和体积V柱； （2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 解：（1）如图，点O′为圆柱底面圆圆心，连接OO′， ， ， ； （2）， 当且仅当r2＝4﹣r2，即时，取最大值，最大值为8π． 16．（15分）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且. 求证：直线EH，BD，FG相交于一点. 证明：如图所示，连接EF，GH. ∵H，G分别是AD，CD的中点，∴GH∥AC，且GH＝AC. ∵＝＝，∴EF∥AC，且EF＝AC. ∴GH∥EF，且GH≠EF. ∴EH与FG相交，设交点为P. ∵P∈EH，EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD. 同理P∈平面BCD. 又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD. ∴直线EH，BD，FG相交于一点. 17．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. (1)解：由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. ∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝， 故cos∠DAP＝＝. ∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为. (2)证明：∵AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC， ∴AD⊥PD. 又∵BC∥AD，∴PD⊥BC， 又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， ∴PD⊥平面PBC. (3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. ∵PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， ∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，可得BF＝AD＝1. 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝. ∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 18．（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M. 求证：(1)EN∥平面PDC； (2)BC⊥平面PEB； (3)平面PBC⊥平面ADMN. 证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC， 又∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC， ∴AD∥平面PBC. ∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，AD⊂平面ADMN， ∴AD∥MN. ∴MN∥BC. 又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点， ∴MN＝BC. ∵E为AD的中点，∴DE＝AD＝BC＝MN， ∴DE∥MN且DE＝MN， ∴四边形DENM为平行四边形，∴EN∥DM. 又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC， ∴EN∥平面PDC. (2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点， ∴BE⊥AD. 又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，PE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PEB. ∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB. (3)由(2)知AD⊥PB. 又∵PA＝AD＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB. ∵AD∩AN＝A，AD，AN⊂平面ADMN， ∴PB⊥平面ADMN. 又∵PB⊂平面PBC， ∴平面PBC⊥平面ADMN. 19．（17分）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD′⊥BE； (2)求四棱锥D′－ABCE的体积； (3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由. (1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°， ∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE. ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE， ∴BE⊥平面D′AE， ∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE. (2)解：取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE，且D′F＝. ∵平面D′AE⊥平面ABCE， 且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F⊂平面D′AE，∴D′F⊥平面ABCE， ∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝. (3)解：如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ. ∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ， ∴D′B∥PQ， ∴在△EBD′中，＝. ∵△CEQ∽△ABQ， ∴＝＝， ∴＝＝，即EP＝ED′， ∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′， 使得D′B∥平面PAC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期必修二立体几何初步单元测试试卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．（5分）如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　) A.　　　　　　 B.1 C. D. 2．（5分）将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　) A.cm B.6 cm C.cm D.cm 3．（5分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4．（5分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 5．（5分）如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　) ①DF∥平面PBC； ②AB⊥平面PDC； ③平面PEF⊥平面ABC； ④平面PAE⊥平面PBC. A.3 B.2 C.1 D.0 6．（5分）已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β D．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，m∥β，n∥α，则m∥n 7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，F为BB1的中点，过A1作平面α满足条件，D1F⊥α，则α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面为（　　） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 8．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝4，PA＝2，则平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积是（　　） A． B． C．12π D．36 π 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的是(　　) A.AE⊥CE B.BE⊥DE C.DE⊥平面CEB D.平面ADE⊥平面BCE 第9题图 第10题图 （多选）10．（6分）如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的是(　　) A.DF∥平面PBC B.AB⊥平面PDC； C.平面PEF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面PBC （多选）11．（6分）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为1：2，且底面边长均为，若该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则（　　） A．球O的体积为 B．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为20 C．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为 D．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________. 13．（5分）空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________. 14．（5分）在平面五边形ABCDE中，∠A＝60°，，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC＝DE＝6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的体积为　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r． （1）以r为变量，表示圆柱的表面积S柱和体积V柱； （2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 16．（15分）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且. 求证：直线EH，BD，FG相交于一点. 17．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 18．（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M. 求证：(1)EN∥平面PDC； (2)BC⊥平面PEB； (3)平面PBC⊥平面ADMN. 19．（17分）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD′⊥BE； (2)求四棱锥D′－ABCE的体积； (3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $