八年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：第16章 二次根式～第17章 一元二次方程及其应用）

八年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第16章 二次根式~第17章 一元二次方程及其应用 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在解关于x的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 4．（25-26八年级上·上海青浦·期末）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 7．（24-25九年级下·云南昆明·月考）一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知m，n是方程的两个实数根，若，则c的值是（    ） A．2 B． C． D．3 9．（2024·天津·模拟预测）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山东济宁·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知，满足，则的值为______． 13．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……，若三角点阵中前行的点数之和是66，则___________． 14．（25-26九年级上·全国·期末）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 15．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：，则的值为_________． 16．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·上海·期中）化简： (1)m； (2)． 18．（6分）（2023·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 19．（8分）（25-26八年级上·广东茂名·期中）可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化． 例如：， (1)分母有理化的结果是_____，分母有理化的结果是_____；分母有理化的结果是_________； (2)利用以上知识计算：． 20．（8分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 21．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 23．（12分）（25-26九年级上·湖南郴州·月考）阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转/分，三档风是转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为元/件，售价为元/件，每天可售件．当每降价元时，可多售件． 根据以上材料，解决下列问题： (1)求一档至三档转速的平均增长率； (2)该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 24．（12分）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在解关于x的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先根据看错系数后的方程有两个相等实数根，利用判别式求出的值，再代入原方程，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积． 【详解】解：∵佳佳将二次项系数“”看成“”，得到方程，且该方程有两个相等实数根， ∴判别式， 即，解得， 将代入原方程，得， 设原方程的两根分别为， ∴两根之积． 3．（25-26八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期末）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程与三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键． 先解方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断出符合条件的第三边长，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为2时，，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，舍去， 当第三边长为4时，且，满足三角形三边关系， ∴三角形的周长为． 故选：D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键． 根据流程图的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意，当输入时，， ∵， ∴循环计算； 当输入时，， ∵， ∴输出的结果为． 故选：C． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和作差法比较大小，通过代入和化简得到定值，从而确定大小关系．将代入方程得到关系式，然后计算，利用代入化简比较大小． 【详解】解： 是方程 )的根， ，即 ． ， ， ． 故选：A． 7．（24-25九年级下·云南昆明·月考）一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两方面分析数据的排列特征． 观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式． 【详解】将数据统一化为二次根式形式： 第1项：； 第2项：； 第3项：； 第4项：； 由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n， ∴这组数据的第n项是． 故选：C． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知m，n是方程的两个实数根，若，则c的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，代入已知等式求解． 【详解】解：∵m，n是方程的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（2024·天津·模拟预测）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化、无理数的大小估计，先将二次根式分母有理化，判断无理数部分的范围，然后根据不等式的性质，求出整个式子值的范围，求出其整数部分，最后即可求出其小数部分得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0，小数部分为， 故选：A． 10．（25-26九年级上·山东济宁·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知，满足，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得，得出，进而求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 13．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……，若三角点阵中前行的点数之和是66，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—图形的变化类，解一元二次方程； 根据图形得出，然后解方程即可． 【详解】解：由题意得：，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·全国·期末）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 【答案】20，20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 15．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，设，，则，利用平方差公式，，计算的值，再代入已知条件求解即可． 【详解】解：， 设，，则． ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 16．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是_______． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·上海·期中）化简： (1)m； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可； （2）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 18．（6分）（2023·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 19．（8分）（25-26八年级上·广东茂名·期中）可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化． 例如：， (1)分母有理化的结果是_____，分母有理化的结果是_____；分母有理化的结果是_________； (2)利用以上知识计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分母有理化的定义进行计算； （2）先进行分母有理化，然后合并计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得， 依题意， ． 20．（8分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，． (1)求证：的值为定值； (2)若，同号，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键； （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：由，，（）， ∴，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ∴的值为定值； （2）解：由（1）知，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∵，同号， ∴，解得：． 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 21．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据定义代入解题即可求解； （2）先把代入原方程得：，再由得，联立两个式子消掉，得，再根据韦达定理，即可求解； （3）先根据韦达定理得，，再由得，通过变形得，再将代入即可求解． 【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 23．（12分）（25-26九年级上·湖南郴州·月考）阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转/分，三档风是转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为元/件，售价为元/件，每天可售件．当每降价元时，可多售件． 根据以上材料，解决下列问题： (1)求一档至三档转速的平均增长率； (2)该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 【答案】(1)一档至三档转速的平均增长率为 (2)要尽快清理库存且使该电器每天的利润达到元，应降价元 【分析】（1）根据“一档转速×(1+增长率)² =三档转速”列一元二次方程，舍去负根，得到平均增长率； （2）根据“每件利润×销量=总利润”列一元二次方程，得到两个解，根据“尽快清理库存”的要求选择销量更高的方案． 【详解】（1）解：设一档至三档转速的平均增长率为，根据题意得方程： ，解得：，（舍去）， 答：一档至三档转速的平均增长率为． （2）解：设应降价元，根据题意得方程：， 方程整理得：，解得：，， 当时，销量为（台）， 当时，销量为（台）， 为了尽快清理库存，则应选择销售量高的方案，故应降价元． 答：要尽快清理库存且使该电器每天的利润达到元，应降价元． 24．（12分）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $