第3章 复数（复习讲义）数学湘教版必修第二册

该高中数学复数复习讲义通过系统梳理复数的概念、几何意义及运算模块，以知识框架形式呈现实部虚部、相等条件、四则运算等核心内容，突出代数形式与几何意义的内在联系，清晰分布重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如复数概念辨析、几何意义应用等题型配有例题及变式，结合i的周期性等常用结论培养数学思维，基础巩固与能力提升练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

第3章 复数（复习讲义） 1．理解复数的代数表示及其几何意义． 2．理解两个复数相等的含义． 3．掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 常用结论 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 4．|z|2＝||2＝z·. 题型一复数的有关概念 【例1】设a∈R且a≠0，若复数(1＋ai)3是实数，则a2＝(　　) A．9 B．6 C．3 D．2 C　解析：因为(1＋ai)3＝1＋3ai＋3(ai)2＋(ai)3＝1－3a2＋(3a－a3)i，所以3a－a3＝0，又a≠0，所以a2＝3.故选C． 【变式1-1】已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 B　解析：因为a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，a，b∈R，所以a＝－1，b＝3. 【变式1-2】设复数z＝，则z的虚部是(　　) A． B．i C．－ D．－i C　解析：z＝＝＝＝＝，所以z的虚部是－.故选C． 【变式1-3】若复数z＝2i(1－bi)(b∈R)的实部与虚部相等，则b的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 C　解析：因为z＝2i(1－bi)＝2b＋2i的实部与虚部相等，所以2b＝2，解得b＝1. 【变式1-3】(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)复数的虚部是(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C. D. D 解析：＝＝＝＋i，所以虚部为. 【变式1-4】满足i3·z＝1－3i的复数z的共轭复数是(　　) A．3－i B．－3－i C．3＋i D．－3＋i A 解析：由题意，得z＝＝＝＝3＋i，所以＝3－i，故选. 【变式1-5】若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 D 解析：通解：因为z＝1＋i，所以|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D. 光速解：因为z＝1＋i，所以|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D. 题型二复数的几何意义 【例2】复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　解析：＝＝＝＋i.故选A． 【变式2-1】设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. 2　解析：(方法一)设z1，z2在复平面内对应的向量为，，以，为邻边作平行四边形(图略)． 则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)， 所以|z1－z2|2＝2(22＋22)－4＝12，所以|z1－z2|＝2. (方法二)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4.又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，所以a＋c＝，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4， 所以8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4， 所以|z1－z2|＝＝＝＝2. 【变式2-2】设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，，则复数z1＋z2对应向量与复数z1对应向量的夹角等于________． 60°　解析：因为|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2， 所以由平行四边形法则知，复数z1与复数z1＋z2对应向量的夹角为60°. 【变式2-3】设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　) A．1＋i B．＋i C．1＋i D．1＋i B　解析：因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i. 【变式2-4】复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为(　　) A．1 B． C．3 D． C　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝1，所以复数z对应的点Z(x，y)在以A(2,0)为圆心，1为半径的圆上运动．由图可知当点Z位于点B(3,0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3.故选C． 【变式2-5】设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 C　解析:由已知条件，可得z＝x＋yi(x，y∈R)．因为|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1. 【变式2-6】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i A解析:因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5. 题型三 复数的乘法运算 【例3】已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　) A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i C　解析：因为z＝2－i，所以＝2＋i，则z(＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝4＋4i－2i＋2＝6＋2i.故选C． 【变式3-1】若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i A　解析：因为＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i. 【变式3-2】若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 D　解析：z＝1＋i，所以iz＋3＝i＋i2＋3(1－i)＝i－1＋3－3i＝2－2i， 则|iz＋3|＝＝2. 【变式3-3】设复数z＝(1－i)，则|z|＝(　　) A. B． C. D. B　解析： (2)方法一：|z|＝·|1－i|＝×＝. 方法二：因为z＝(1－i)＝＋i－＋1＝＋，所以|z|＝ ＝. 【变式3-4】已知复数z满足z－＝0，且z·＝4，则z＝(　　) A．2 B．2i C．±2 D．±2i C　解析：方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 由题意，得 即解得 所以z＝±2， 方法二：由z－＝0知复数z为实数．设z＝a(a∈R)，又z·＝|z|2＝4，所以a2＝4，解得a＝±2，所以z＝±2， 题型四 复数的除法运算 【例4】设iz＝4＋3i，则z＝(　　) A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i C　解析：方法一：因为iz＝4＋3i，所以i2z＝(4＋3i)·i＝－3＋4i，所以－z＝－3＋4i，则z＝3－4i.故选C． 方法二：由iz＝4＋3i，得z＝＝＝3－4i.故选C． 【变式4-1】若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　解析：由i(1－z)＝1，得1－z＝＝＝－i，所以z＝1＋i，则＝1－i， 所以z＋＝1＋i＋1－i＝2. 【变式4-2】 (多选题)下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 BD　解析：因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选BD． 【变式4-3】欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足(eiπ＋i)·z＝i，则|z|＝(　　) A．1 B． C． D． B　解析：由题意z＝＝＝＝＝＝－i， 所以＝＝.故选B． 【变式4-4】若z(1＋i)＝1－i，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－i D．i D　解析：因为z(1＋i)＝1－i，所以z＝＝＝－i，所以z＝i，故选D. 【变式4-5】＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i D 解析：选.方法一：＝＝＝－i，故选D. 方法二：利用i2＝－1进行替换，则＝＝＝＝－i，故选D. 基础巩固通关测 1．设z＝，则z的虚部为(　　) A．－1　　　　　　　 　　 B．1 C．－2 D．2 解析：选B.由已知得z＝＝＝＝i，所以z的虚部为1，故选B. 2．已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选D.z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(2＋a)i，因为z∈R，所以2＋a＝0，即a＝－2，故选D. 3．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A. B． C. D．2 解析：选B.因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝＝. 4．已知复数z＝(i为复数单位)，那么z的共轭复数为(　　) A.＋i B．－i C.＋i D.－i 解析：选B.由题意知z＝＝＝＋i，所以＝－i，故选B. 5．已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第三象限 C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上 解析：选C.z＝＝＝＝－1－i，所以＝－1＋i，则在复平面内对应的点为(－1，)，所以在复平面内对应的点在第二象限，排除A，B.又(－1，)满足方程y＝－x，所以在复平面内对应的点在直线y＝－x上，故选C. 6．复数z满足(1＋i)z＝|1－i|，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C.－i D.＋i 解析：选C.方法一：因为(1＋i)z＝|1－i|，所以z＝＝＝＝－i，故选C. 方法二：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，因为(1＋i)z＝|1－i|， 所以a－b＋(a＋b)i＝，所以 解得所以z＝－i，故选C. 7．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　) A．1＋i B．＋i C．1＋i D．1＋i 解析：选B.因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B. 8．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________． 解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0， 即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0， 即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0， 所以解得p＝12，q＝26，所以p＋q＝38. 答案：38 9．计算：(1)； (2)＋； (3). 解：(1)＝ ＝＝＝＋i. (2)＋＝＋＝＋＝－1. (3)＝＝＝ ＝－－i. 10．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位． (1)求复数z； (2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 解：(1)因为z＝bi(b∈R)， 所以＝＝ ＝＝＋i. 又因为是实数，所以＝0， 所以b＝－2，即z＝－2i. (2)因为z＝－2i，m∈R， 所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2 ＝(m2－4)－4mi， 又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m＜－2， 即m∈(－∞，－2)． 能力提升进阶练 1．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩(∁RB)为(　　) A．∅ B．{0} C．{x|－2<x<1} D．{x|－2<x<0或0<x<1} 解析：选D.由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci⇔解得因此A＝{x|－2<x<1}，B＝{0}，故A∩(∁RB)＝{x|－2<x<1}∩{x|x∈R，x≠0}＝{x|－2<x<0或0<x<1}． 2．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是(　　) A. B． C. D. 解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数， 所以y≠0， 又因为|(x－2)＋yi|＝， 所以(x－2)2＋y2＝3. 因为是复数x＋yi在复平面内对应点与原点连线的斜率， 所以＝tan∠AOB＝， 所以的最大值为. 3．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 解析：方法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝ ＝＝2. 方法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，则即所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4×(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2. 方法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，即|z1－z2|＝2. 方法四：设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2××2＝2. 答案：2 4．若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数； ②z＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋ ＝＋i. 因为z＋是实数，所以b－＝0. 又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①　　　　　　　　 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， 所以a＋3＋b＝0.②　　　　　　　　 由①②得 解得或 故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i. 5．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________． 解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 022＝4×505＋2， 所以z＝＝＝ ＝＝＝i，对应的点为(0，1)． 答案：(0，1) 6．已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限． (1)复数z＝____________； (2)设a∈R，且＝2，则实数a的值为____________． 解析：(1)设z＝c＋di(c＜0，d＜0)， 则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i， 所以解得或(舍去)． 所以z＝－2－i. (2)因为＝－2＋i， 所以＝＝＝＝i， 所以＝i2 021＝i2 020＋1＝i505×4＋1＝i， 所以|a＋i|＝＝2，所以a＝±. 答案：(1)－2－i　(2)± 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 复数（复习讲义） 1．理解复数的代数表示及其几何意义． 2．理解两个复数相等的含义． 3．掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是 ，虚部是 ． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔ (a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ； ④除法：＝＝＝ (c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1， (z1＋z2)＋z3＝ ． 常用结论 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 4．|z|2＝||2＝z·. 题型一复数的有关概念 【例1】设a∈R且a≠0，若复数(1＋ai)3是实数，则a2＝(　　) A．9 B．6 C．3 D．2 【变式1-1】已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 【变式1-2】设复数z＝，则z的虚部是(　　) A． B．i C．－ D．－i 【变式1-3】若复数z＝2i(1－bi)(b∈R)的实部与虚部相等，则b的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式1-3】(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)复数的虚部是(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C. D.. 【变式1-4】满足i3·z＝1－3i的复数z的共轭复数是(　　) A．3－i B．－3－i C．3＋i D．－3＋i 【变式1-5】若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 题型二复数的几何意义 【例2】复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. 【变式2-2】设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，，则复数z1＋z2对应向量与复数z1对应向量的夹角等于________． 【变式2-3】设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　) A．1＋i B．＋i C．1＋i D．1＋i 【变式2-4】复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为(　　) A．1 B． C．3 D． 【变式2-5】设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 【变式2-6】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 题型三 复数的乘法运算 【例3】已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　) A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i 【变式3-1】若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i 【变式3-2】若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 【变式3-3】设复数z＝(1－i)，则|z|＝(　　) A. B． C. D. 【变式3-4】已知复数z满足z－＝0，且z·＝4，则z＝(　　) A．2 B．2i C．±2 D．±2i 题型四 复数的除法运算 【例4】设iz＝4＋3i，则z＝(　　) A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 【变式4-1】若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式4-2】 (多选题)下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 【变式4-3】欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足(eiπ＋i)·z＝i，则|z|＝(　　) A．1 B． C． D． 【变式4-4】若z(1＋i)＝1－i，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－i D．i 【变式4-5】＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 基础巩固通关测 1．设z＝，则z的虚部为(　　) A．－1　　　　　　　 　　 B．1 C．－2 D．2 2．已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 3．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A. B． C. D．2 4．已知复数z＝(i为复数单位)，那么z的共轭复数为(　　) A.＋i B．－i C.＋i D.－i 5．已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第三象限 C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上 6．复数z满足(1＋i)z＝|1－i|，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C.－i D.＋i 7．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　) A．1＋i B．＋i C．1＋i D．1＋i 8．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________． 9．计算：(1)； (2)＋； (3). 10．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位． (1)求复数z； (2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 能力提升进阶练 1．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩(∁RB)为(　　) A．∅ B．{0} C．{x|－2<x<1} D．{x|－2<x<0或0<x<1} 2．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是(　　) A. B． C. D. 3．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 4．若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数； ②z＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 5．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________． 6．已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限． (1)复数z＝____________； (2)设a∈R，且＝2，则实数a的值为____________． 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $