第3章 复数（专项训练）数学湘教版必修第二册

专题 复数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、复数代数形式的乘除法运算 题型二、复数相等的充要条件 题型三、复数的几何意义 题型四、复数模的综合问题 题型五、在复数范围内解方程 B综合攻坚・能力跃升 题型一、复数代数形式的乘除法运算 1．已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 2．若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 题型二、复数相等的充要条件 1、复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 2．已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，其中i是虚数单位，则（    ） A．20 B．12 C． D． 4、已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 5．已知复数是关于的二次方程的一个解，则（     ） A． B．1 C． D．2 题型三、复数的几何意义 1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 3．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（多选题）已知复数，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最小值为4 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 5．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．若复数满足，则或 B． C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 题型四、复数模的综合问题 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 2、复数，，则的最大值为（    ） A．5 B． C．6 D． 3、已知复数满足，且为实数，则______． 4．已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D． 5、已知复数、满足，且．求的值． 6．（多选题）设为复数，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型五、在复数范围内解方程 1．已知是方程的根，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（多选题）若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 6．已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 1． (2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 2．设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1 3．若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．25 4．已知i为虚数单位，复数z1＝(a－1)＋i(a∈R)为纯虚数，则z＝在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 6．(多选题)已知复数z＝，则下列各项正确的为(　　) A．复数z的虚部为i B．复数z－2为纯虚数 C．复数z的共轭复数对应点在第四象限 D．复数z的模为5 7．设i为虚数单位，则复数z＝的虚部为(　　) A． B．－ C． D．－ 8．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为 4＋3i(i是虚数单位)，则|z1|2＋|z2|2＝(　　) A．10 B．100 C．5 D．50 9．在复平面内，复数z对应的点是(－1,1)，则＝(　　) A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i 10．(多选题)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则(　　) A．z可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．z可能为2－i D．方程各根之积为－20 11. (多选题)设复数z＝(a∈R)，当a变化时，下列结论正确的是(　　) A．|z|＝||恒成立 B．z可能是纯虚数 C．z＋可能是实数 D．|z|的最大值为 12．已知复数z满足z(1－2i)＝－i2 023，则||＝____________. 13．若复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是________． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 复数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、复数代数形式的乘除法运算 题型二、复数相等的充要条件 题型三、复数的几何意义 题型四、复数模的综合问题 题型五、在复数范围内解方程 B综合攻坚・能力跃升 题型一、复数代数形式的乘除法运算 1．已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算及虚部概念求解. 【详解】因为， 所以z的虚部为1. 故选：B 2．若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义，求出，结合复数四则运算以及复数虚部定义求解即可 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则， 所以，则其虚部为4， 故选：B 3．已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据求出，求出，求出，求出. 【详解】由，有， ，， . 故选：B． 4．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解． 【详解】设，则， 根据，得， 根据，得， 由，解得，故， ， 由于 ， 同理得 ， 因此得． 故选：D 5．已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求出，根据复数的乘方运算即得结果. 【详解】由已知， 所以. 故选：D. 题型二、复数相等的充要条件 1、复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】要使复数为纯虚数，则， 若，则；若，则， 所以且． 故选：D． 2．已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等即可求解. 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 3．已知，且，其中i是虚数单位，则（    ） A．20 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算，再根据复数相等可列方程计算求得，进而利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得，， 所以. 故选：C. 4、已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】令，则分别带入，中得 当时，，或； 当时，解得； 综上：或或. 故选：A 5．已知复数是关于的二次方程的一个解，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数是方程，代入得，列出方程组，即可求解. 【详解】因为复数是方程， 代入得，可得， 可得，可得， 因为，所以. 故选：C. 题型三、复数的几何意义 1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算化简复数，进而得复数在复平面对应的点的坐标，即可得结果. 【详解】由题意， 则复数在复平面对应的点为，在第一象限. 故选：A. 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，则， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：A. 3．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先设出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求出，然后将与代入已知等式，根据复数相等的条件求出的实部与虚部，最后确定在复平面内所对应的点所在的象限． 【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知． 将，代入可得： 根据平方差公式，可得，则上式可化为： 因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组． 由，解得． 将代入，可得，解得， 由，，可得，在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限． 故选：A． 4．（多选题）已知复数，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最小值为4 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 【答案】BD 【分析】A,C通过举例进行判断，B由复数模及复数的乘法进行判断，D由向量加法和减法的几何意义进行判断. 【详解】对于A，设，则，，因此选项A错误； 对于B，设， 则 ， 又，则，因此选项B正确； 对于C，设，则，此时，因此选项C错误； 对于D，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确. 故选：BD. 5．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．若复数满足，则或 B． C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 【答案】CD 【分析】由复数模长的几何意义可判断A；由向量加法和减法的几何意义可判断BD；根据复数范围内，两个虚数根互为共轭复数可判断C. 【详解】解：对于，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心， 1为半径的圆，有无数个点与复数对应，故选项A错误； 对于B，设所对应的向量分别为， 由向量加法的几何意义可知，故选项B错误； 对于，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知， 两个虚数根互为共轭复数，所以若是方程的根， 则该方程的另一个根是，故选项C正确； 对于D，若，则复平面内以为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确， 故选：CD. 题型四、复数模的综合问题 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则， 故选：C. 2、复数，，则的最大值为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 3、已知复数满足，且为实数，则______． 【答案】或或． 【解析】设 化简得 解得或 将代入可得， （1）当时，即则有，此时 （2）当时，则，故有则有或 综上所述故或或． 故答案为： 或或． 4．已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断. 【详解】由已知可得的虚部为，故错误； ，故错误； ，故正确； 虚部不为0的复数不能比较大小，故错误. 故选：C. 5、已知复数、满足，且．求的值． 【解析】因为，所以．又， 所以， 所以，所以． 因为， 所以． 故答案为：. 6．（多选题）设为复数，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用复数的乘法、共轭复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD. 【详解】设， 对于A，，则， ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，取，，而，D错误. 故选：AB 题型五、在复数范围内解方程 1．已知是方程的根，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】代入方程，根据复数相等即可得出即可得解. 【详解】由题意，得，即， 所以，且，解得， 所以. 故选：A. 2．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解. 【详解】设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 3．已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实系数多项式虚根成对定理，即可求解． 【详解】复数满足， 则， 是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 故选：B． 4．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】将代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可. 【详解】因为是关于方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得， 故选：D 5．（多选题）若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断A选项；利用复数的除法可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用韦达定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，关于的方程的两虚根分别为、， 由韦达定理可得，可得，故，D对. 故选：ACD. 6．已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 【答案】D 【分析】先利用实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数求出，再利用韦达定理求出，可判断AB选项；再利用复数的乘法运算判断C；利用判断D选项. 【详解】由题可得，复数， 又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则， 则，， 则由韦达定理可知，， 所以，故A,B错误； 又，则且，故C错误； 由于，则与为方程的两根， 因为，则与也为方程的根，故D正确. 故选：D． 1． (2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i D　解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝6－2i. 2．设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1 A　解析：因为(1＋2i)a＋b＝2i，所以a＋b＋2ai＝2i，即解得 3．若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．25 B　解析：由i·z＝3－4i，得z＝＝－3i－4， 所以|z|＝＝＝＝5. 4．已知i为虚数单位，复数z1＝(a－1)＋i(a∈R)为纯虚数，则z＝在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　解析：因为z1＝(a－1)＋i(a∈R)为纯虚数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以z1＝i， 所以z＝＝＝＝－i， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限． 5．若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i C　解析：因为z＝－1＋i，所以z·＝|z|2＝2＝4， 则＝＝－＋i. 6．(多选题)已知复数z＝，则下列各项正确的为(　　) A．复数z的虚部为i B．复数z－2为纯虚数 C．复数z的共轭复数对应点在第四象限 D．复数z的模为5 BC　解析：z＝＝＝2＋i， 复数z的虚部为1，故A错误； 复数z－2＝2＋i－2＝i为纯虚数，故B正确； 复数z的共轭复数对应点(2，－1)在第四象限，故C正确；|z|＝＝，故D错误． 7．设i为虚数单位，则复数z＝的虚部为(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：z＝＝＝＝＝－i，所以复数z的虚部为－.故选B． 8．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i(i是虚数单位)，则|z1|2＋|z2|2＝(　　) A．10 B．100 C．5 D．50 B　解析：由|z1＋z2|＝|z1－z2|可知，⊥，故△OM1M2为直角三角形，故有|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝4||2＝100，故选B． 9．在复平面内，复数z对应的点是(－1,1)，则＝(　　) A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i C　解析：因为复数z对应的点是(－1,1)，所以z＝－1＋i，所以＝＝＝ ＝－1＋i. 10．(多选题)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则(　　) A．z可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．z可能为2－i D．方程各根之积为－20 BCD　解析：由(z2－4)(z2－4z＋5)＝0， 可得z2－4＝0或z2－4z＋5＝0， 由z2＝4，解得z＝±2， 由z2－4z＋5＝0，配方可得(z－2)2＝－1，解得z＝2±i. 11. (多选题)设复数z＝(a∈R)，当a变化时，下列结论正确的是(　　) A．|z|＝||恒成立 B．z可能是纯虚数 C．z＋可能是实数 D．|z|的最大值为 ABD　解析：z＝＝＝－i， 对于A，＝＋i， |z|＝||＝，故A正确； 对于B，z＝－i，当a＝0时，z＝－i是纯虚数，故B正确； 对于C，z＋＝－i＋a＋2i＝＋i， 令2－＝0，即a2＋3＝0无解，故C错误； 对于D，|z|2＝＋＝≤，当且仅当a＝0时，取等号， 所以|z|的最大值为，故D正确． 12．已知复数z满足z(1－2i)＝－i2 023，则||＝____________. 　解析：因为i2 023＝(i4)505·i3＝－i， 所以z(1－2i)＝－i2 023＝i， 所以z＝＝＝－＋i， 所以＝－－i， 所以||＝＝. 13．若复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是________． (－1,1)　解析：由题意得z＝＝＝，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以所以－1<a<1. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $