第3章 复数（单元自测·基础卷）数学湘教版必修第二册

高一数学单元自测卷 第3章 复数·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D B D B A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AB ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 1 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.(本小题满分13分) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实部为零，虚部不为零列式计算； （2）根据第四象限的点得实部大于零，虚部小于零列不等式求解. 【详解】（1）若为纯虚数，则，4分 解得；6分 （2）若在复平面内对应的点在第四象限，则，10分 解得. 13分 16．(本小题满分15分) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【详解】（1）．6分 （2）把代入，得，8分 整理得，10分 所以，13分 解得.15分 17.(本小题满分15分) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入，利用复数相等求解； （2）设，先化简，再利用复数的几何意义求解． (1)解：设， 则， 即，2分 所以，解得，5分 则， 从而；7分 (2)设， 则．10分 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，14分 解得.15分 18.(本小题满分17分) 【答案】（1）1－i；（2）. 【解析】（1）， 所以复数z1的共轭复数为1－i. 6分 （2）由（1）得z3＝1＋2i，，8分 所以复数对应点坐标为，它在第三象限，10分 则，13分 又，解得15分 综上所述，实数m的取值范围为．17分 19.(本小题满分17分) （1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据乘方的周期性计算即可； （2）根据配方法即可得到答案； （3）假设，根据复数形式的代数运算即可. 【详解】（1）因为，且周期为4， 原式 . 5分 （2）由 ，得 ， ，. 9分 （3）设，， ，10分 ， .12分 又，所以，，14分 ， ， .17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高一数学单元自测卷 第3章 复数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2. 若，则（   ） A． B． C． D． 3．设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 5．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 6．如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 7．已知为实数，i为虚数单位，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．－1 8．如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．实数x，y满足，设，则（    ）． A．z在复平面内对应的点在第一象限 B． C．z的虚部是 D． 10．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．复数对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C．复数的模长等于 D．的共轭复数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 13．在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积 ． 14．如果都是实数，关于的方程有一个根，则 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 16．（15分）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 17．（15分）已知复数满足 (1)求； (2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围． 18．（17分）已知复数，z2＝m－3i(m∈R)． （1）求复数z1的共轭复数； （2）若复数z3＝z1＋i，复数在复平面内对应的点在第三象限，且|z2|≥5，求实数m的取值范围． 19．（17分） （1）计算：的值； （2）在复数范围内解关于的方程：； （3）设复数，满足，，求的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第3章 复数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2. 若，则（   ） A． B． C． D． 3．设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 5．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 6．如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 7．已知为实数，i为虚数单位，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．－1 8．如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．实数x，y满足，设，则（    ）． A．z在复平面内对应的点在第一象限 B． C．z的虚部是 D． 10．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．复数对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C．复数的模长等于 D．的共轭复数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 13．在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积 ． 14．如果都是实数，关于的方程有一个根，则 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 16．（15分）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 17．（15分）已知复数满足 (1)求； (2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围． 18．（17分）已知复数，z2＝m－3i(m∈R)． （1）求复数z1的共轭复数； （2）若复数z3＝z1＋i，复数在复平面内对应的点在第三象限，且|z2|≥5，求实数m的取值范围． 19．（17分） （1）计算：的值； （2）在复数范围内解关于的方程：； （3）设复数，满足，，求的值. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第3章 复数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的虚部概念求解. 【详解】z的虚部是. 故选：B. 2. 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其共轭复数. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：D 3．设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解. 【详解】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 4．复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可得到答案. 【详解】，则其共轭复数为， 则点即为点. 故选：B. 5．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求出复数值，然后结合复数性质逐一分析每个选项 【详解】， ，A选项错误， 的虚部是，B选项错误； ，C选项错误， 在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确. 故选：D 6．如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 7．已知为实数，i为虚数单位，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．－1 【答案】A 【分析】根据虚数不能比较大小，可以求出m，进而再用复数的除法运算求解即可. 【详解】因为，所以为实数，且解得． 故． 故选：A. 8．如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．实数x，y满足，设，则（    ）． A．z在复平面内对应的点在第一象限 B． C．z的虚部是 D． 【答案】BCD 【分析】利用复数相等求出复数，再逐项分析计算作答. 【详解】由，得，而，则，解得，即， 对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，z的虚部是，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．复数对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C．复数的模长等于 D．的共轭复数为 【答案】ABC 【分析】利用欧拉公式把选项A，B，D化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A，，因，即，复数对应的点位于第二象限，A正确； 对于B，，为纯虚数，B正确； 对于C，， 于是得，C正确； 对于D，，其共轭复数为，D不正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 13．在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积 ． 【答案】或 【分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出、，进而分类讨论当与反向、线段在的内部时的面积，即可求解. 【详解】由题意知，， 由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理， 得，即， ，即， 当与反向，；    当线段在的内部时，，    所以的面积为或. 故答案为:或. 14．如果都是实数，关于的方程有一个根，则 【答案】 【分析】根据实系数方程根的特征可知为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得，进而求解. 【详解】因为为关于的方程的一个根， 所以为关于的方程的一个根， 所以，解得，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实部为零，虚部不为零列式计算； （2）根据第四象限的点得实部大于零，虚部小于零列不等式求解. 【详解】（1）若为纯虚数，则，4分 解得；6分 （2）若在复平面内对应的点在第四象限，则，10分 解得. 13分 16．（15分）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【详解】（1）．6分 （2）把代入，得，8分 整理得，10分 所以，13分 解得.15分 17．（15分）已知复数满足 (1)求； (2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入，利用复数相等求解； （2）设，先化简，再利用复数的几何意义求解． (1)解：设， 则， 即，2分 所以，解得，5分 则， 从而；7分 (2)设， 则．10分 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，14分 解得.15分 18．（17分）已知复数，z2＝m－3i(m∈R)． （1）求复数z1的共轭复数； （2）若复数z3＝z1＋i，复数在复平面内对应的点在第三象限，且|z2|≥5，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1－i；（2）. 【解析】（1）， 所以复数z1的共轭复数为1－i. 6分 （2）由（1）得z3＝1＋2i，，8分 所以复数对应点坐标为，它在第三象限，10分 则，13分 又，解得15分 综上所述，实数m的取值范围为．17分 19．（17分） （1）计算：的值； （2）在复数范围内解关于的方程：； （3）设复数，满足，，求的值. （1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据乘方的周期性计算即可； （2）根据配方法即可得到答案； （3）假设，根据复数形式的代数运算即可. 【详解】（1）因为，且周期为4， 原式 . 5分 （2）由 ，得 ， ，. 9分 （3）设，， ，10分 ， .12分 又，所以，，14分 ， ， .17分 学科网（北京）股份有限公司10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $