精品解析：河南开封市杞县高中2025-2026学年下学期开学考试高二数学试卷

高二数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 2. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 3. 在等比数列中，，，则 A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】，所以，所以． 故选C． 4. 方程表示（ ） A. 通过点的所有直线 B. 通过点且不垂直于y轴的所有直线 C. 通过点且不垂直于x轴的所有直线 D. 通过点且除去x轴的所有直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程的知识确定正确答案. 【详解】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点． 故选：C 5. 若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断. 【详解】因为点在圆内， 所以， 设圆心到直线的距离为, 则， 圆的半径, 因为，所以直线与圆的位置关系为相离. 故选：. 6. 已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 7. 已知椭圆上任一点到两焦点的距离分别为，，焦距为，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件，结合椭圆的定义知：，由成等差数列，得到，由此能求出椭圆的离心率． 【详解】∵椭圆+=1（）上任意一点到两焦点的距离分别为， ∴由椭圆的定义知：，由成等差数列，得到，∴，即， ∴=． 故选：A． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解题时要注意椭圆定义和等差数列的性质的灵活运用，是基础题． 8. 如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设外接球球心为，列方程组求解球心，验证后可得外接球半径，即可求得答案. 【详解】以C为坐标原点，以所在直线为轴，以与垂直的棱为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则, 设四棱锥的外接球球心为，半径为R， 则， 解得，即外接球球心为，， 验证，符合题意， 即四棱锥的外接球，其表面积为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设切点坐标，利用导数求出切线斜率建立方程求出切点，即可得出切线方程. 【详解】设切点， 由知， 所以切线斜率，解得， 故或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故选：AB 10. 将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角为 C. 为等边三角形 D. 与平面所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】取中点为，连接，，根据线面垂直的性质定理判断A选项；建立空间直角坐标系，向量法求异面直线所成角判断B选项；由边长验证等边三角形判断C选项；易知即为直线与平面所成的角，求值判断D选项. 【详解】取中点为，连接，，由， 平面，可得平面，故，故A正确； 平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方形边长为， 则，，，， 故，. 所以，而异面直线夹角范围为，故异面直线，所成的角为，故B错误； 在直角三角形中，由，，得，故为等边三角形，故C正确； 易知即为直线与平面所成的角，易得，故D错误. 11. 已知抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于两点，是的中点，点在抛物线上，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题意得抛物线的方程为，先根据抛物线的定义判断C，再根据点差法判断AB，最后计算面积判断D. 【详解】因为抛物线的焦点， 所以，即，所以抛物线的方程为， 点是抛物线上的一点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，如图， 所以， 所以，当且仅当三点共线时取得最小值，故C正确； 设，，，则，， 所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，故A不正确； 所以直线的方程为，因为直线过点，所以，故B正确； 所以直线的方程为，所以， 由得， 所以，所以， 所以的面积为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数是单调递增函数，得恒成立，分离参数，得.通过求的最大值，求得的取值范围，从而得到的最小值. 【详解】函数的定义域为. . 因为函数是单调递增函数， 所以即恒成立， 由得，当且仅当即时等号成立. 所以，所以. 故的最小值是. 13. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率得出双曲线的渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆的半径可求弦长. 【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线为， 圆的圆心为，半径，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故答案为： 14. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由项与和的关系求得时，，从而求得，求得数列的通项，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式求得. 【详解】由，得 当时，. 两式作差得，所以 又，满足上式，所以. 所以. 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的基本量计算即可. （2）运用分组求和及等差数列求和公式、等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 据题意得，解得（舍）或， 故. 所以. 【小问2详解】 由题意知，， 故 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【小问1详解】 ，， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. 【小问2详解】 ①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 17. 如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）. （1）若为的中点，求证：平面. （2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 连接， 因为为中点，为的中点， 所以， 因为是正三棱台，， 所以， 于是有， 因此四边形是平行四边形， 所以平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 假设存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 因平面平面， 所以，而， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设， 设平面的法向量为， ， 所以有， 因为，，， 所以平面，所以平面的法向量为， 所以， 解得，舍去，即， ，即长度为. 18. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）过点作曲线的切线，求此切线方程. 【答案】（1）；和 （2） 【解析】 【分析】（1）由在处取得极值得到，求出，由得到的方程组，计算出的值，从而得到；解出的的范围是单调递增函数； （2）设切点为，求出，利用点斜式求出切线方程，将点代入切线方程得到的方程，计算出的值，将代入切点和斜率，利用点斜式得到切线方程. 【小问1详解】 在处取得极值，， ，， ，； ， ，即，即或， 在和上是单调递增函数； 【小问2详解】 设切点为，， 则切线方程为， 切线过点， ， ，， 切点为，， 切线方程为，即. 19. 已知椭圆离心率为，左右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与曲线交于不同的两点，（异于A，B两点），直线，分别交直线于，两点，当时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及顶点即可求解，进而可得， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，进而根据直线方程得的坐标，进而根据弦长列方程即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，所以， ， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程， 设，则 ， 直线的方程为：，令，则，所以， 直线的方程为：，令，则，所以， 因此，即， 化简得， 将代入得，进而， 所以，化简得，进而得， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则（ ） A 12 B. 8 C. 5 D. 1 2. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则 A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 4. 方程表示（ ） A. 通过点的所有直线 B. 通过点且不垂直于y轴的所有直线 C. 通过点且不垂直于x轴的所有直线 D. 通过点且除去x轴的所有直线 5. 若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 6. 已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知椭圆上任一点到两焦点的距离分别为，，焦距为，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（ ） A B. C D. 10. 将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角为 C. 为等边三角形 D. 与平面所成角为 11. 已知抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于两点，是的中点，点在抛物线上，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________. 13. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则______. 14. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 17. 如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）. （1）若为的中点，求证：平面. （2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数在处取得极值. （1）求函数解析式及其单调递增区间； （2）过点作曲线的切线，求此切线方程. 19. 已知椭圆离心率为，左右顶点，. （1）求椭圆方程； （2）过点作斜率为的直线与曲线交于不同的两点，（异于A，B两点），直线，分别交直线于，两点，当时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $