第三单元第4课时 公因数和最大公因数（2个知识点+3类热点题型精讲+自我检测）（分层作业）数学苏教版五年级下册

第三单元第4课时 公因数和最大公因数 知识点一公因数的意义 1、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。 知识点二求两个数的公因数及最大公因数 1、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。 2、求两个数的最大公因数的方法。 （1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 （2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 题型一公因数及最大公因数 1．已知A＝2×3×m，B＝3×5×m（m是非零自然数），如果A，B的最大公因数是21，那么m＝（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】两个数的最大公因数是这两个数公有的质因数的积，据此解答。 【解答】根据题中A、B的表达式，可知A、B的公有因数是3与m。 解： 故答案为：C 2．一个长方形纸板长是12cm，宽是8cm，剪成若干个面积相等的正方形（正方形的边长是整厘米数），不许有剩余，有（    ）种剪法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，剪成的正方形边长是原来长方形长12厘米和宽8厘米的公因数，12和8有几个公因数，就有几种剪法。据此解答。 【解答】12的因数有1、2、3、4、6、12；8的因数有1、2、4、8。12和8的公因数有：1、2、4。 所以一个长方形纸板长是12cm，宽是8cm，剪成若干个面积相等的正方形（正方形的边长是整厘米数），不许有剩余，有3种剪法。 故答案为：C 3．妙想准备把一张长24厘米，宽18厘米的长方形彩纸，剪成若干个大小相同的正方形纸片（边长为整厘米数）而且没有剩余，有（    ）种剪法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由题意可知，把长方形彩纸剪成若干个大小相同的正方形纸片（边长为整厘米数）而且没有剩余，则正方形的边长既是长方形长的因数，也是长方形宽的因数，说明正方形的边长是长方形长和宽的公因数，由此求出24和18的公因数，据此解答。 【解答】24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 18的因数有：1，2，3，6，9，18。 24和18的公因数有：1，2，3，6。 所以，正方形纸片的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米，有4种剪法。 故答案为：C 题型二求最大公因数 4．求下列各组数的最大公因数。 15和16                   28和36                  7和63 【答案】1；4；7 【分析】对于不同的数，可根据数的特点选择合适方法。一般可以通过列举法、分解质因数法等找出两个数公有的因数中最大的那个，就是它们的最大公因数。如果两个数是互质数（公因数只有1的两个非零自然数），那么它们的最大公因数就是1；如果两个数存在倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 【解答】（1）15的因数有1、3、5、15。 16的因数有1、2、4、8、16。 15和16的最大公因数是1； （2）28的因数有1、2、4、7、14、28。 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 28和36的最大公因数是4； （3）63÷7＝9 7和63的最大公因数是7。 5．找出下列每组数的最大公因数。 27和36    44和99 【答案】9；11 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【解答】27＝3×3×3 36＝2×2×3×3 3×3＝9 27和36的最大公因数是9； 44＝2×2×11 99＝3×3×11 44和99的最大公因数是11。 6．用短除法求下面每组数的最大公因数。 48和90    27和123    34和68 【答案】6；3；34 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，除以两个数的公因数，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。把所有的除数连乘起来就得到它们的最大公因数，把所有的除数和最后的两个商连乘起来就是它们的最小公倍数。 【解答】 48和90的最大公因数是：6 27和123的最大公因数是：3      34和68的最大公因数是：34 题型三用最大公因数解决实际问题 7．将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 【答案】6个 【分析】要将饼干和苹果平均分给小朋友，且没有剩余，小朋友的人数必须是24和42的公因数。每个小朋友都要分到饼干和苹果，这要求小朋友的人数不能超过24和42的最小值，但由于公因数对应的分得数量均为整数且大于等于1，因此所有公因数均满足条件。要求最多的小朋友人数，即求24和42的最大公因数，即可解答。 【解答】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 24和42的公因数有：1、2、3、6。 最大公因数是6。 答：最多能分给6个小朋友。 8．园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【答案】8棵 【分析】把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行数量相同且无剩余，求每行最多栽的棵数，即求56和72的最大公因数。采用分解质因数法求56和72的最大公因数，先分别把两个数分解成质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将共有的质因数相乘就能得到最大公因数，这个数就是每行最多能栽的树的数量。 【解答】56＝2×2×2×7 72＝2×2×2×3×3 共有的质因数：2×2×2 ＝4×2 ＝8 所以56和72的最大公因数是8。 答：每行最多能栽8棵树。 9．在六一儿童节的欢乐氛围中，红星小学六年级的孩子们即将告别属于他们的童年六一。学校为嘉奖表现优秀的学生，购置了38支刻有校园风景的钢笔和47支写有班级寄语的铅笔作为奖品。分配时发现：钢笔平均分后余2支，铅笔若全部平均分发，需补1支，获奖学生最多有多少人？ 【答案】12人 【分析】根据题意可知，钢笔平均分后余2支，即钢笔需要38－2＝36支；铅笔若全部平均分发，需补1支，即铅笔需要47＋1＝48支；获奖学生最多人数是36和48的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数，据此解答。 【解答】38－2＝36（支） 47＋1＝48（支） 36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48的最大公因数是2×2×3＝12，获奖学生最多12人。 答：获奖学生最多有12人。 一、选择题 1．自然数m是n的3倍，m和n的最大公因数是（    ）。 A．m B．n C．3 D．mn 2．“一个质数和一个合数的最大公因数一定是1。”要证明这句话是错误的，可以选择下面（    ）作为例子进行反驳。 A．2和6 B．7和8 C．5和12 D．4和9 3．一间厨房的长是30分米，宽是18分米，地面要铺正方形瓷砖，要求正好铺满（用的瓷砖是整块数）。下面几个规格的正方形瓷砖不能用的是边长（    ）分米。 A．1 B．2 C．4 D．6 4．学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 5．某社区组织居民自愿参加公益劳动，其中A小区有42人报名参加，B小区有48人报名参加。如果把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数都相同，每个小组最多有（    ）人。 A．2 B．3 C．6 D．8 二、填空题 6．14的全部因数有（ ），21的全部因数有（ ）；14和21的全部公因数有（ ），它们的最大公因数是（ ） 7．在小于80的自然数范围内，使得和有大于1的公因数的所有的可能值之和为（ ）。 8．将一块长25分米，宽10分米的布，裁成大小相同的正方形手绢（没有剩余），手绢的边长最长是（ ）分米，能裁（ ）块。 9．五年级同学分小组劳动，男生18人，女生24人，要使每组男、女生人数分别相等，最多分（ ）组，每组男生（ ）人，女生（ ）人。 10．王老师把24支铅笔和36块橡皮平均分给一些同学，保证每名同学分到同样多的铅笔和橡皮，并且没有剩余，最多能分给（ ）名同学。 三、计算题 11．用短除法求下面每组数的最大公因数。 27和72            44和77 四、解答题 12．有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 13．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班42人，乙班35人，丙班28人。把每个班的同学都分成若干小组，每个小组乘1条船，且使每条船上的人数相等。每条船最多乘多少人？最少需要租多少条船？ 14．将48本练习本和64支铅笔平均分给若干名同学。要保证分到练习本和铅笔的同学人数相同，最多能分给多少名同学？怎么分？ 15．“节分端午自谁言，万古传闻为屈原。”端午节是我国的传统节日。端午节前夕学校开展包粽子活动，手工社团的同学们包了24个板栗肉粽和32个蛋黄肉粽，把这些粽子扎成捆，两种粽子不能混扎且每捆的粽子数量要相等，每捆最多能扎几个粽子？一共可以扎成几捆？ 参考答案 1．B 【分析】几个数的公因数中最大的一个叫做最大公因数。成倍数关系的两个数，其最大公因数是较小的数。 【解答】根据分析，自然数m是n的3倍，则m和n的最大公因数是n。 故答案为：B 2．A 【分析】质数是指只能被1和它本身整除的数；合数是指除了能被1和它本身整除，还能被其他数整除的数。最大公因数是指两个数的公因数中最大的数。据此依次分析各个选项可得出答案。 【解答】A．2是质数，6是合数，则它们的公因数是1、2，最大公因数是2，此时与题意中的描述不符； B．7是质数，8是合数，则它们的公因数是1，最大公因数是1，此时与题意中的描述相符； C．5是质数，12是合数，则它们的公因数是1，最大公因数是1，此时与题意中的描述相符； D．4是合数，9是合数，则它们的公因数是1，最大公因数是1，语境与题意不相符。 则最能反驳“一个质数和一个合数的最大公因数一定是1。”的观点是2和6。 故答案为：A 3．C 【分析】由题意可知，正方形的边长同时是长方形长和宽的因数时，正方形瓷砖正好铺满厨房地面，并且用的瓷砖是整块数，求出30和18的公因数，即可找出不能用的正方形瓷砖的边长，据此解答。 【解答】30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。 18的因数有：1，2，3，6，9，18。 30和18的公因数有：1，2，3，6。 所以，选项中几个规格的正方形瓷砖不能用的是边长4分米。 故答案为：C 4．A 【分析】要将两根绳子截成等长且无剩余的跳绳，最长跳绳长度是两根绳子长度的最大公因数；利用分解质因数法求出最大公因数，再通过每根绳子长度除以最大公因数，得到各自的段数，相加即为总段数。 【解答】求最长跳绳长度（最大公因数）： 分解质因数：，，两者的公共质因数是2，因此最长跳绳长度是2m。 计算总段数：（根），（根）， 总段数：（根） 截成的跳绳最长是2m，此时一共能截成12根。 故答案为：A 5．C 【分析】根据题意，把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数相同，求每组的人数就是求两个小区报名的居民的公因数，因为求的是每组最多有多少人，所以就是求两个小区报名的居民的最大公因数，利用分解质因数的方法求解即可。 【解答】 所以48和42的最大公因数是 所以每个小组最多有6人。 故答案为：C 6．1，2，7，14 1，3，7，21 1，7 7 【分析】找一个数的因数要从1开始，一对一对地找，直到两个因数重复为止。 14的因数：1×14＝14，2×7＝14，所以14的因数有1，2，7，14。 21的因数：1×21＝21，3×7＝21，所以21的因数有1，3，7，21。 公因数就是找出它们因数中相同的数，所以14和21的公因数是1，7，其中最大的那个就是最大公因数，也就是7。 【解答】第①空：因为1×14＝14，2×7＝14 所以14的因数有1，2，7，14 第②空：因为1×21＝21，3×7＝21 所以21的因数有1，3，7，21 第③空：在14和21的所有因数中，相同的数是1和7，所以14和21的公因数有1，7 第④空：在14和21的公因数1和7中，7最大，所以14和21的最大公因数是7。 【点睛】掌握找一个数因数的成对列举法，以及如何从两个数的因数中找出公因数和最大公因数。 7．280 【分析】通过设公因数，对两个式子进行变形作差来找出公因数的值，再根据公因数确定的条件，最后在给定范围内找出n的值并求和。 【解答】解：设4n＋5和7n＋6的公因数为k，则和为整数， 为消去n，对乘7，对乘4，作差可得： 因为k<1，11是质数，所以k＝11，即公因数是11， 确定n满足的条件，计算可得， 因为公因数是11，所以为整数， 找出符合条件的n并求和：因为n<80且n为自然数，为整数 所以n＋4是11的倍数， 当n＋4＝111时，n＝7； 当n＋4＝112时，n＝18； 当n＋4＝113时，n＝29； 当n＋4＝114时，n＝40； 当n＋4＝115时，n＝51； 当n＋4＝116时，n＝62； 当n＋4＝117时，n＝73； 当n＋4＝118时，n＝84＞80，不合题意。 故n的可能值之和为：7＋18＋29＋40＋51＋62＋73＝280。 8．5 10 【分析】根据题意可知，正方形手绢的边长最长分米数为25和10的最大公因数，先求出25和10的最大公因数，再用25和10分别除以最大公因数，把求得的商相乘，积为能裁的块数，据此即可解答。 【解答】25＝5×5 10＝2×5 25和10的最大公因数为5。 （25÷5）×（10÷5） ＝5×2 ＝10（块） 手绢的边长最长是5分米，能裁10块。 9．6 3 4 【分析】由题意可知，分的组数既是男生人数的因数，也是女生人数的因数，求最多分几组就是求18和24的最大公因数，用短除法求出这两个数的最大公因数，每组的男生人数＝男生的总人数÷最多分的组数，每组的女生人数＝女生的总人数÷最多分的组数，据此解答。 【解答】 18和24的最大公因数：2×3＝6 所以，最多分6组。 18÷6＝3（人） 24÷6＝4（人） 所以，每组男生3人，女生4人。 10．12 【分析】每名同学分到同样多的铅笔和橡皮，并且没有剩余，最多能分给多少名同学，就是求24和36的最大公因数；先把24和36分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。据此解答。 【解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以24和36的最大公因数是2×2×3＝12。 所以最大能分给12名同学。 11．27和72的最大公因数是9；    44和77的最大公因数是11。 【分析】用短除法，写短除算式，分别分解各个数的质因数，然后用得出公共的质因数相乘即可求解最大公因数，据此求解。 【解答】（1）27和72 3×3＝9 27和72的最大公因数是9； （2）44和77 44和77的最大公因数是11。 12．12个 【分析】根据题意，要锯成最大的面积相等的小正方形木板且没有剩余，小正方形的边长必须是长方形的长和宽的最大公因数。因此，需要求出长80厘米和宽60厘米的最大公因数，作为小正方形的边长。然后，计算长边和宽边分别能锯成的段数，相乘即得总个数。据此解答。 【解答】80＝2×2×2×2×5 60＝2×2×3×5 所以80和60的最大公因数是： 2×2×5 ＝4×5 ＝20 （80÷20）×（60÷20） ＝4×3 ＝12（个） 答：可以锯成12个小正方形。 13．7人； 15条 【分析】要使需要的船数最少，就得使每条船上坐的人数最多，又因为每条船上人数相等，所以本题实质上要先求42、35、28三个数的最大公因数，即每条船上的人数，然后再用三个班总人数除以最大公因数即可。 【解答】 42，35和28的最大公因数是7。 （条） 答：每条船最多乘7人，最少需要租15条船。 14． 16名，每人分3本练习本和4支铅笔 【分析】将48本练习本和64支铅笔平均分给若干名同学且无剩余，需找出48和64的最大公因数。最大公因数对应最多能分给的同学人数，再分别计算每人分得的数量，据此可得出答案。 【解答】根据题意得：要保证这些练习本、铅笔分到的人数相同，即求出最大公因数。 48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 则48和64的公因数为：2×2×2×2＝16。即最多分给16名同学。 每人能分到练习本：48÷16＝3（本） 每人能分到铅笔：64÷16＝4（支） 答：最多能分给16名同学，每人分3本练习本和4支铅笔。 15．8个；7捆 【分析】要使两种粽子每捆数量相等且最多，就是求24和32的最大公因数，把24和32分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是24和32的最大公因数，然后用除法分别计算两种粽子按此数量扎捆的捆数，最后相加得到总捆数。 【解答】24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2     24和32的最大公因数是：2×2×2＝8，即每捆最多能扎8个粽子。 24÷8＋32÷8 ＝3＋4 ＝7（捆） 答：每捆最多能扎8个粽子，一共可以扎成7捆。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $