第三单元第3课时  质数和合数（2个知识点+4类热点题型精讲+自我检测）（分层作业）数学苏教版五年级下册

第三单元第3课时 质数和合数 知识点一质数与合数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。一个数除了1和它 本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数， 知识点二分解质因数 1、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 题型一质数与合数的认识 1．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【答案】C 【分析】先明确哥德巴赫猜想的条件：大于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每个选项中的和是否为大于2的偶数，以及两个加数是否为质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 【解答】A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 2．下列诗句中，所含数字都是合数的诗句是（    ）。 A．可怜九月初三夜，露似真珠月似弓。 B．两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天 C．毕竟西湖六月中，风光不与四时同。 D．绿阴不减来时路，添得黄鹂四五声。 【答案】C 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数，这样的数叫做合数。只有1和它本身两个因数的数，这样的数叫做质数。1既不是质数也不是合数。 【解答】A．诗句中的数字是9和3，9是合数，3是质数，并非都是合数。 B．诗句中的数字是2和1，2是质数，1既不是质数也不是合数，并非都是合数。 C．诗句中的数字是6和4，6和4都是合数，符合题目要求。 D．诗句中的数字是4和5，4是合数，5是质数，并非都是合数。 故答案为：C 3．下面几组数中，全是质数的是（    ）。 A．1，5，17 B．2，15，31 C．3，19，61 D．11，91，81 【答案】C 【分析】质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数的数。1不是质数也不是合数。据此逐项分析解答。 【解答】A．1不是质数；5只能被1和5整除，是质数；17只能被1和17整除，是质数，所以选项A不符合要求。 B．2是质数；15可以分解为3×5，除了1和15外还有其他因数，是合数；31只能被1和31整除，是质数，所以选项B不符合要求。 C．3只能被1和3整除，是质数；19只能被1和19整除，是质数；61只能被1和61整除，是质数，所以选项C符合要求。 D．11只能被1和11整除，是质数；91可以分解为7×13，除了1和91外还有其他因数，是合数；81可以分解为9×9，除了1和81外还有其他因数，是合数，所以选项D不符合要求。 故答案为：C 题型二质数与合数的综合应用 4．美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【答案】6平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝周长÷2，据此求出长方形纸的长与宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出和是5分米的两个质数，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出这张长方形纸的面积。 【解答】10÷2＝5（分米） 和是5的两个质数是3和2，长方形纸的长是3分米，宽是2分米。 3×2＝6（平方分米） 答：这张长方形纸的面积是6平方分米。 5．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【答案】8和7，2，3不同；理由见详解 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【解答】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 6．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 题型三质因数的含义 7．下列哪个数字同时含有质因数3、5。（    ） A．365 B．3840 C．215 D．528 【答案】B 【分析】把一个合数用质数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。这里的质数即为这个合数的质因数。那么每个选项中的数既要是3的倍数，也要是5的倍数，同时是3、5的倍数的特征是：个位上是0或5，且各个数位上数字的和是3的倍数的数。据此判断。 【解答】A．365个位是5，是5的倍数；3＋6＋5＝14，14不是3的倍数，所以365不是3的倍数，不符合。 B．3840个位是0，是5的倍数；3＋8＋4＋0＝15，15是3的倍数，所以3840也是3的倍数，符合。 C．215个位是5，是5的倍数；2＋1＋5＝8，8不是3的倍数，所以215不是3的倍数，不符合。 D．528个位是8，不是5的倍数，不符合。 故答案为：B 8．210的质因数共有（    ）。 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】先找出210所有的因数，再找出所有因数属于质数的数即可。 【解答】210的因数：1、2、3、5、6、7、10、14、15、21、30、35、42、70、105、210； 其中质因数有：2、3、5、7，一共有4个。 故答案为：A 9．一个数只有质因数3，这个数比50大，比100小，这个数是（    ）。 【答案】81 【分析】一个数只有质因数3，则这个数可以写成几个3相乘的形式，写出几个3相乘并算出结果，看是否比50大比100小即可。 【解答】由题可知，这个数比50大，比100小， 3×3×3 ＝9×3 ＝27 3×3×3×3 ＝27×3 ＝81 3×3×3×3×3 ＝81×3 ＝243 只有50＜81＜100，所以这个数是81。 题型四分解质因数 10．把下面各数分解质因数。 32         55          87 【答案】32＝2×2×2×2×2；55＝5×11；87＝3×29 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，分解质因数就是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】32＝2×2×2×2×2                  55＝5×11                  87＝3×29                                         11．用短除法将下面各数分解质因数。 34       60        84 【答案】见详解 【分析】把一个合数分解质因数，就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。 【解答】；34＝2×17； ；60＝2×2×3×5； ；84＝2×2×3×7。 12．用短除法把下面各数分解质因数。 20             36                78               65 【答案】20＝2×2×5；36＝2×2×3×3；78＝2×3×13；65＝5×13 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质差不多。分解质因数只针对合数。据此解答。 【解答】 20＝2×2×5 36＝2×2×3×3 78＝2×3×13 65＝5×13 一、选择题 1．把分别写着1－9的9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出一张，摸到（    ）的可能性最大。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 2．著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”。猜想认为：任何大于2的偶数都可以表示成两个质数（素数）之和。下列4个算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 3．学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 4．36有（    ）个质因数。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．用下面各式表示分解质因数，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 6．既是2、3的倍数，又是5的倍数的最大两位数是（ ），把它分解质因数是（ ）。 7．在3×9＝27中，（ ）和（ ）都是27的因数，其中（ ）是27的质因数。把18分解质因数（ ）。 8．一个四位数，同时是2、3、5的倍数，它的十位是最小的质数，百位上的数既不是质数也不是合数，千位上是10以内最大的奇数，这个数的最小倍数是（ ）。 9．陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝（ ）×（ ）＋（ ）；24＝（ ）＋（ ）×（ ）。 10．你知道它们代表的数各是多少吗？ （ ）  （ ）  （ ）  （ ）  （ ）  （ ） 三、解答题 11．王阿姨按以下规则给自己的手机设置了四位数的锁屏密码（都是非0自然数）。王阿姨的手机密码是多少？ 12．用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？ 13．下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？ 班级 一班 二班 三班 四班 人数 39 41 40 43 14．判断分析并说明理由。 下面是学校特色社团参加体育展演的人数统计表 社团 健美操 篮球 武术 田径 人数 42 29 37 50 哪几个社团的人数可以排成方队？为什么？ 参考答案 1．C 【分析】1－9的9个数字，其中的质数是2、3、5、7，合数是4、6、8、9，奇数是1、3、5、7、9，偶数是2、4、6、8。9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出一张，摸出任意一类数字的可能性都有，哪一类数字的个数多，则摸出哪一类数字的可能性就大，据此解答。 【解答】根据分析可知，9个数字中质数有4个，合数有4个，奇数有5个，偶数有4个，5＞4，所以摸出奇数数字卡片的可能性大。 故答案为：C 2．B 【分析】根据“哥德巴赫猜想”，分析各选项的式子的和是否是偶数，两个加数是否是质数，从中找出符合这个猜想的式子即可。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【解答】A．4＝1＋3中，1既不是质数也不是合数，不符合这个猜想； B．10＝3＋7中，10是偶数，3和7都是质数，符合这个猜想； C．13＝2＋11中，13是奇数，不是偶数，不符合这个猜想； D．20＝9＋11中，9是合数，不是质数，不符合这个猜想； 故答案为：B 3．B 【分析】由于种向日葵是若干行（不止一行）且每行的棵数都相等，因此总棵数应为：行数×每行棵数，即总棵数需要时合数（能分解两个大于1的整数的乘积）；据此判断判断53、57、59是否为合数；53和59是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；57是合数，符合条件。因此小亮数对了。 【解答】53只有1和53两个因数，59只有1和59两个因数，53和59都是质数，无法能分解两个大于1的整数的乘积，所以小悦和小明都数错了。    57有1、3、19、57四个因数，所以57是合数，能分解两个大于1的整数的乘积，所以小亮数对了。 故正确答案为：B 4．B 【分析】把36分解质因数，进而找出质因数的个数。 【解答】36＝2×2×3×3，所以36的质因数是2、3，有2个质因数。 故答案为：B 【点睛】此题考查了质因数的认识，学会分解质因数是解题关键。 5．B 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。 【解答】A．，所以原题分解质因数错误；     B．，2、3、5都是质数，所以原题分解质因数正确；     C．，所以原题分解质因数错误；     D．，其中1不是质数，所以原题分解质因数错误； 故答案为：B 6．90 90＝2×3×3×5 【分析】根据题意，2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 【解答】根据分析可知： 既是2和5的倍数，同时又是3的倍数的最大两位数是（90），把它分解质因数是（90＝2×5×3×3）。 7．3 9 3 18＝2×3×3 【分析】一个整数（a）能被另一个整数（b）整除，此时，b就是a的因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。 【解答】在3×9＝27中，3和9都是27的因数，其中3是27的质因数。把18分解质因数18＝2×3×3。 8．9120 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个数的最小倍数是它本身，据此确定这个数。 【解答】一个四位数，同时是2、3、5的倍数，个位一定是0；它的十位是最小的质数，最小的质数是2；百位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是1；千位上是10以内最大的奇数，千位上的数是9，这个数是9120，这个数的最小倍数是9120。 9．3 5 3 2 2 11 【分析】首先要明确质数的定义（大于1的自然数，除了1和自身外无其他因数），枚举出质数如下：2、3、5、7、11、13等。 （1）找到三个质数a、b、c，使得18＝a×b＋c。 若c＝3，则a×b＝18－3＝15，而15＝3×5（3和5均为质数），满足定理，即18＝3×5＋3。 若c＝2，则a×b＝18－2＝16，16可拆为2×8（8不是质数）、4×4（4不是质数），均不满足。 若c＝5，则a×b＝18－5＝13，13是质数，只能拆为1×13（1不是质数），不满足。 （2）找到三个质数m、n、p，使得24＝m＋n×p。 若m＝2，则n×p＝24－2＝22，22＝2×11（2和11均为质数），满足定理，即24＝2＋2×11。 若m＝3，则n×p＝24－3＝21，21＝3×7（3和7均为质数），满足定理，即24＝3＋3×7。 若m＝5，则n×p＝24－5＝19，19是质数，拆为1×19（1不是质数），不满足。 【解答】根据分析可知： 陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝3×5＋3；24＝2＋2×11（或24＝3＋3×7）。 10．4 13 8 10 5 7 【分析】根据质数和合数的含义：在大于1的自然数中，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数；合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。1既不属于质数也不属于合数。结合题意分析即可。 【解答】根据已知条件，质数和合数的和为17，则他们分别小于17，小于17的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，小于17的质数有2、3、5、7、11、13，所以4＋13＝17，6＋11＝17，10＋7＝17，12＋5＝17，14＋3＝17，15＋2＝17，因为它们的积是52，4×13＝52，，所以这两个数为4和13。 两个合数的和为18，则这两个数是小于18的合数，小于18的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，所以4＋14＝18，6＋12＝18，8＋10＝18，9＋9＝18，因为这两个合数的差为2，10－8＝2，所以这两个数为8和10。 两个质数的和是12，则这两个数是小于12的质数，小于12的质数有2，、3、5、7、11，所以5＋7＝12，因为它们的积为35，5×7＝35，所以这两个数为5和7。 即它们代表的数各是4、13、8、10、5、7 11．2149 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。最小的偶数是0，没有最大的偶数，最小的奇数是1，也没有最大的奇数； 只有1和它本身两个因数的数叫做质数，除了1和它本身外，还有其他因数的数叫做合数； 第一个数：既是质数又是偶数的数只有2；第二个数：最小的奇数为1；第三个数：最小的合数为4；第四个数：9的因数（1、3、9）中，合数只有9。 【解答】第一个数是2、第二个数是1、第三个数是4、第四个数是9。 答：王阿姨的手机密码是2149。 12．55平方厘米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长＋宽＝周长÷2，据此求出长与宽的和，再根据质数的意义确定长、宽，然后根据长方形面积＝长×宽，把数据代入公式解答。 【解答】32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13＝5＋11 13×3＝39（平方厘米） 11×5＝55（平方厘米） 55＞39 答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。 13．一班和三班可以平均分成人数相同的小组，二班和四班不可以平均分成人数相同的小组。因为39和40是合数，可以平均分成人数相同的小组；41和43是质数，不可以平均分成人数相同的小组。 【分析】根据质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数；班级人数是合数的可平均分成人数相同的几个小组，班级人数是质数的则不可平均分成人数相同的小组。 【解答】一班和三班可以平均分成人数相同的小组，二班和四班不可以平均分成人数相同的小组。因为39和40是合数，可以平均分成人数相同的小组；41和43是质数，不可以平均分成人数相同的小组。 14．见详解 【分析】方队是指排成正方形的队伍，总人数等于方队一条边上的人数的平方，据此解答。 【解答】42＋29＋50 ＝71＋50 ＝121（人） 121＝11×11 答：健美操、篮球、田径社团的人数可以排成方队。因为121人可以排成11行、11列。 【点睛】理解方队的意义。同学们排成的行数和列数相等，这样数量人数就能排成方队。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $