第三单元第5课时  公倍数和最小公倍数（2个知识点+3类热点题型精讲+自我检测）（分层作业）数学苏教版五年级下册

第三单元第5课时 公倍数和最小公倍数 知识点一公倍数的意义 1、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。 知识点二求两个数的公倍数及最小公倍数 1、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。 2、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。 （1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 （2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 题型一公倍数及最小公倍数 1．相邻两个偶数的和是14，这两个数的最小公倍数是（    ）。 A．2 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【分析】相邻两个偶数的和是14，，所以这两个连续的偶数为6，8。将6与8分解质因数，即可求出这两个数的最小公倍数。 【解答】，则这两个连续的偶数为6，8。 这两个数的最小公倍数是：。 故答案为：D 2．体育课上，48名同学面向老师站成一排，按1—48号编号。按如下步骤操作：编号是2的倍数的同学向后转，编号是3的倍数的同学向后转。经过两次操作后，面向老师的还有（    ）人。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】根据题目，第一次操作：编号是2的倍数的同学向后转。第二次操作：编号是3的倍数的同学向后转。如果一个同学既是2的倍数又是3的倍数，也就是6的倍数，他会被操作两次：第一次和第二次都转，所以转两次，相当于没转，仍然面向老师。因此，没有被操作：方向不变，面向老师。操作一次：方向改变，背对老师。操作两次：方向改变两次，相当于没变，面向老师。 【解答】48÷2＝24（人），第一次有24名同学向后转，此时背向老师的有24人，面向老师的有48−24＝24（人）； 48÷3＝16（人），有16名同学编号是3的倍数。 其中既是2的倍数又是3的倍数，在第一次操作时已经转过一次，第二次操作又会转回来。48÷6＝8（人），有8名同学既是2的倍数又是3的倍数。 16−8＝8（人） 对于这8人，他们在第一次操作后面向老师，第二次操作后背向老师；而那8名既是2的倍数又是3的倍数的同学，转了两次后又面向老师了。 所以现在背向老师的同学有24−8＋8＝24人。 48−24＝24（人） 面向老师的还有24人。 故答案为：C 3．疫情期间社区志愿者分口罩，每人发5个剩3个，每人发6个缺2个，口罩数量可能是（    ）。 A．23个 B．28个 C．33个 D．38个 【答案】B 【分析】每人发5个剩3个，相当于每人发5个缺5－3＝2（个）；每人发6个缺2个。即口罩的总数加上2个后，即是5的倍数，也是6的倍数。分析各选项数字加上2个后是否是5的倍数，也是6的倍数，即可得解。 【解答】5－3＝2（个），即每人发5个缺2个。每人发6个缺2个。 即口罩的总数加上2个后，既是5的倍数，也是6的倍数。 A．23＋2＝25（个），25是5的倍数，但不是6的倍数，不符合题意； B．28＋2＝30（个），30是5的倍数，也是6的倍数，符合题意； C．33＋2＝35（个），35是5的倍数，但不是6的倍数，不符合题意； D．38＋2＝40（个），40是5的倍数，但不是6的倍数，不符合题意。 故答案为：B 题型二求最小公倍数 4．求下面每组数的最小公倍数。 17和51       57和95            35和63 【答案】51；285；315 【分析】分析题目，分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把给出的每组数分解质因数；再根据两个数的最小公倍数是它们公有的因数和它们各自独有的因数的连乘积解答即可。 【解答】51＝3×17 17和51的最小公倍数是51； 57＝19×3，95＝19×5， 19×3×5＝285；        57和95的最小公倍数是285； 35＝5×7，63＝7×3×3， 5×7×3×3＝315；             35和63的最小公倍数是315。 17和51的最小公倍数是51； 57和95的最小公倍数是285；       35和63的最小公倍数是315。 5．写出下列每组数的公倍数和最小公倍数。 6和10        5和15 【答案】6和10的公倍数有30、60、90、120…；最小公倍数是30 5和15的公倍数有15、30、45、60…；最小公倍数是15 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。两数成倍数关系，最小公倍数是较大数。据此先求出最小公倍数，最小公倍数乘1、2、3、4…是每组数的公倍数。 【解答】6＝2×3、10＝2×5，2×3×5＝30 30×1＝30、30×2＝60、30×3＝90、30×4＝120… 6和10的公倍数有30、60、90、120…；最小公倍数是30； 15÷5＝3 15×1＝15、15×2＝30、15×3＝45、15×4＝60… 5和15的公倍数有15、30、45、60…；最小公倍数是15。 6．写出下列每组数的最小公倍数。 ①8和24        ②10和35 【答案】①24；②70 【分析】①两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数； ②先把10和35分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【解答】①因为24是8的倍数，所以8和24的最小公倍数是24。 ②因为，所以10和35的最小公倍数是。 题型三用最小公倍数解决实际问题 7．学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】48人 【分析】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。 【解答】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 8．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 【答案】57个 【分析】由题可知，4个4个拿多1个，即苹果数除以4余1；5个5个拿多2个，即除以5余2；6个6个拿多3个，即除以6余3。观察可知，若苹果数增加3个，则分别能被4、5、6整除，即苹果数是4、5、6的公倍数减3。据此解答。 【解答】  4的倍数有：4，16，20，24，28，32，36，40，44，48，60，64 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66 4，5，6的最小公倍数是60。 （个） 答：这一箱苹果至少有57个。 9．学校计划制作一种长15厘米，宽10厘米的校园明信片，制作材料用正方形卡纸裁剪而成。 （1）采购下面哪种规格的正方形卡纸最合适？请说明理由。（制作时材料没有剩余） （2）李老师采购了80张②号卡纸，可制作多少张这种明信片？ 【答案】（1）②；理由见详解 （2）1920张 【分析】（1）要使制作材料没有剩余，正方形卡纸的边长应是明信片长15厘米和宽10厘米的公倍数。先对15和10分解质因数：15＝3×5，10＝2×5，所以15和10的最小公倍数是2×3×5＝30。因为1分米＝10厘米，所以30厘米为30÷10＝3分米。①号边长5分米（50厘米）、②号边长6分米（60厘米）、③号边长7分米（70厘米）。60是30的倍数，所以采购②号规格（边长6分米）的正方形卡纸最合适，这样能保证制作时材料没有剩余。 （2）②号卡纸边长为6分米，即60厘米。卡纸的长边可以剪60÷15＝4（张）。卡纸的宽边可以剪60÷10＝6（张）。一张②号卡纸可制作4×6＝24（张）明信片。采购了80张②号卡纸，可制作24×80＝1920（张）。 【解答】（1）15＝3×5 10＝2×5 2×3×5＝30（厘米） 1分米＝10厘米 30÷10＝3（分米） ②号边长6分米是3的倍数。 答：采购②号规格（边长6分米）的正方形卡纸最合适，这样能保证制作时材料没有剩余。 （2）6×10＝60（厘米） 60÷15＝4（张） 60÷10＝6（张） 4×6＝24（张） 24×80＝1920（张） 答：80张②号卡纸可制作1920张这种明信片。 一、选择题 1．某地公交车1路和2路早上8时同时从公交车站出发。1路公交车每6分发一班车，2路公交车每8分发一班车，它们下次同时发车应是（    ）。 A．8时16分 B．8时24分 C．8时30分 D．8时48分 2．甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，已知甲是12，乙是（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．24 3．亮亮买来一盒积木，他3块3块地摆或5块5块地摆，都正好将积木摆完。这盒积木有（    ）。 A．42块 B．45块 C．48块 D．50块 4．如果一个自然数除以7余3，除以5也余3，那么这个自然数可能是（    ）。 A．18 B．31 C．73 D．35 5．水果店有80多个芒果，如果装进4个一排的包装盒中，正好装完。如果装进7个一排的包装盒中，也正好装完。水果店共有（    ）个芒果。 A．80 B．84 C．86 D．88 二、填空题 6．63是21的（ ）数，它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 7．一筐苹果，若6个6个地数，没有剩余；若8个8个地数，也没有剩余。筐中至少有（ ）个苹果。 8．过春节时，长辈会向晚辈发红包，红包又称压岁钱，寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。今年春节，爸爸给菲菲发了一个红包，红包里的钱数既是16的倍数，又是20的倍数，且比100元少。爸爸给菲菲发的红包是（ ）元。 9．五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生（ ）人。 10．端午节到了，奶奶做了40多个粽子，4个4个地数或6个6个地数都能正好数完没有剩余，奶奶一共做了（ ）个粽子。 三、计算题 11．找出下列每组数的最小公倍数。 8和10    6和15    6和9    4和15    1和7    4和10 四、解答题 12．文具店购进了一些气球，气球数量在30个至50个之间。每2个扎成一束、每4个扎成一束或每5个扎成一束，都没有剩余。这些气球一共有多少个？ 13．为参加学校举办的书画展，小英想购买几盒水墨材料。A品牌16元/盒，B品牌24元/盒，小英所带的钱不管买哪一种品牌都正好用完没有剩余，她至少带了多少钱？ 14．一块正方形布料，既可以裁成若干条边长是12厘米的方巾，也可以裁成若干条边长是10厘米的方巾，且都没有剩余。这块正方形布料的面积至少是多少平方米？ 15．为了打造书香校园，涵养师生文化自信。幸福小学在图书角新设计一个四层书架，方便学生随时阅读。根据下面对话，请你算一算这个书架最多可放多少本图书？ 参考答案 1．B 【分析】1路公交车每隔6分钟发一班车，2路公交车每隔8分钟发一班车。这两路车下一次同时发车的时间既是6的倍数，又是8的倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法。求出最小公倍数。再用出发时间加上经过时间就是下次一起发车的时间。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。所以它们下次同时发车在24分钟后。 8时＋24分＝8时24分，它们下次同时发车应是8时24分。 故答案为：B 2．C 【分析】用质因数分解法可以求两个数的最大公因数和最小公倍数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。据此分别求出12和选项中的数字的最大公因数和最小公倍数即可解答。 【解答】12＝2×2×3 A．6＝2×3，则12和6的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×2＝12，不符合题意； B．已知甲是12，则乙不是12，不符合题意； C．18＝2×3×3，则12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×2×3＝36，符合题意； D．24＝2×2×2×3，则12和24的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×3×2＝24，不符合题意。 故答案为：C 3．B 【分析】3块3块地摆或5块5块地摆，都正好将积木摆完，说明积木数量是3和5的公倍数，据此解答。 【解答】A．42÷3＝14，42÷5＝8……2，42是3的倍数但不是5的倍数，不符合要求； B．45÷3＝15，45÷5＝9，45既是3的倍数也是5的倍数，是3和5的公倍数，符合要求； C．48÷3＝16，48÷5＝9……3，48是3的倍数但不是5的倍数，不符合要求； D．50÷3＝16……2，50÷5＝10，50是5的倍数但不是3的倍数，不符合要求。 故答案为：B 4．C 【分析】一个自然数除以7余3，除以5也余3，说明这个自然数比7和5的公倍数多3，两数互质，最小公倍数是两数的积，据此求出7和5的最小公倍数，加3，如果没有对应选项，就用最小公倍数乘2，再加3，直至确定正确选项。 【解答】7×5＝35 35＋3＝38 35×2＋3 ＝70＋3 ＝73 这个自然数可能是73。 故答案为：C 5．B 【分析】装进4个一排和7个一排的包装盒中，都正好装完，则芒果的个数是4和7的公倍数。已知水果店有80多个芒果，据此先找出4和7的最小公倍数，再分别乘2、3、4…，找出符合的数即可。 【解答】通过分析可得： 4和7的最小公倍数是4×7＝28，则4和7的公倍数有：28、56、84、112…，那么水果店共有84个芒果。 故答案为：B 6．倍 21 63 【分析】63＝21×3，因此63是21的倍数；求两个数的最大公因数和最小公倍数，首先把这两个数分别分解质因数，公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，63和21的公有质因数的乘积是21，因此它们的最大公因数是21；两个数是倍数关系，较大的数是这两个数的最小公倍数，因此最小公倍数是63，据此解答。 【解答】63是21的倍数，它们的最大公因数是21，最小公倍数是63。 7．24 【分析】根据求最小公倍数的方法：几个数的公有的质因数与每一个独有质因数的连乘积，就是几个数的最小公倍数，如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的数；如果两个数为互质数，最小公倍数是几个数的乘积；根据题意可知，这筐苹果的数量就是6、8的最小公倍数，据此解答。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 所以，6、8的最小公倍数是：2×3×2×2＝24 则：一筐苹果，若6个6个地数，没有剩余；若8个8个地数，也没有剩余。筐中至少有24个苹果。 8．80 【分析】由题意可知，红包里的钱数是16和20的公倍数，先求出两个数的最小公倍数，再找出符合条件的公倍数，据此解答。 【解答】16＝2×2×2×2 20＝2×2×5 16和20的最小公倍数：2×2×2×2×5＝80 80×1＝80（元） 80×2＝160（元） 因为160元＞100元，不符合题意，所以爸爸给菲菲发的红包是80元。 9．48 【分析】“按3人一组或4人一组都刚好分完”，说明总人数是3和4的公倍数。互质的两个数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，即3×4＝12。因此，班级人数必然是12的倍数。根据“超过40人，接近50人”的条件，我们从12的倍数（12、24、36、48、60…）中筛选，只有48符合这个范围，所以班级人数是48人。 【解答】3×4＝12 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 40＜48＜50 所以这个班有学生48人。 10．48 【分析】根据题意，4个4个地数或6个6个地数都能正好数完没有剩余，那么粽子的总个数是4和6的公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再求最小公倍数在40～50以内的倍数，就是粽子的总个数。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 12×4＝48（个） 40＜48＜50 奶奶一共做了48个粽子。 11．40；30；18；60；7；20 【分析】两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数；其中最小的叫做它们的最小公倍数。 用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数：两个数公有的质因数与每个数独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数。 求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：①两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积；②两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数。 【解答】（1）8＝2×2×2 10＝2×5 8和10的最小公倍数是：2×2×2×5＝40 （2）6＝2×3 15＝3×5 6和15的最小公倍数是：2×3×5＝30 （3）6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数是：2×3×3＝18 （4）4和15是互质数，所以4和15的最小公倍数是：4×15＝60 （5）1和7是互质数，所以1和7的最小公倍数是：1×7＝7 （6）4＝2×2 10＝2×5 4和10的最小公倍数是：2×2×5＝20 12．40个 【分析】因为每2个，4个，5个扎成一束都没有剩余，所以气球数量是2、4、5的最小公倍数。先通过列举法找出这三个数的最小公倍数，即2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、······；4的倍数有：4、8、12、16、20、24、······；5的倍数有：5、10、15、20、25、······；所以2、4、5的最小公倍数是20。又已知气球数量在30个至50个之间，且是20的倍数，所以需要计算20的倍数，看哪个结果在30到50之间，即（个），20小于30，不符合；（个），40在30与50之间，符合要求；（个），60大于50，不符合要求；据此解答。 【解答】由分析可知，因为2，4，5的最小公倍数是20，所以2，4，5的公倍数都是20的倍数。30至50之间的数只有40符合条件。 答：这些气球一共有40个。 13．48元 【分析】小英带的钱买A品牌（16元/盒 ）或B品牌（24元/盒 ）都能正好用完，说明她带的钱数是16和24的公倍数 ，要求“至少带了多少钱”，也就是求16和24的最小公倍数；把16分解质因数，就是把16写成几个质数相乘的形式，16＝2×2×2×2 ，同样分解24，24＝2×2×2×3；求两个数的最小公倍数，是把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘，16和24公有的质因数是2、2、2，16独有的质因数是2，24独有的质因数是3，所以最小公倍数为2×2×2×2×3＝48 。 【解答】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最小公倍数是2×2×2×2×3＝48 答：她至少带了48元。 14．0.36平方米 【分析】根据题意，这块正方形布料的边长是12的倍数，也是10的倍数；这块正方形布料的面积至少是多少平方厘米，即先求得15和12的最小公倍数，再根据正方形面积公式计算面积，最后根据1平方米＝10000平方厘米，把单位转化为平方米即可。 【解答】 12和10的最小公倍数是：（厘米） 答：这块正方形布料的面积至少是0.36平方米。 15．192本 【分析】先求出6和8的最小公倍数，再找出不超过50的最大公倍数，即每层书架最多能放的图书本数，然后用每层书架最多能放的图书本数乘4，就能计算出四层书架最多可以放图书的数量。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 24×2＝48、24×3＝72、24×4＝96…… 48不超过50，所以每层最多放48本。 48×4＝192（本） 答：这个书架最多可放192本图书。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $