第三单元第1课时  解决问题的策略（2个知识点+4类热点题型精讲+自我检测）（分层作业）数学苏教版六年级下册

第三单元第1课时 解决问题的策略 知识点一用画图和转化的策略解决问题 用一在解决实际问题时，借助图示分析题中的数量关系，能使数量关系更直观、更清楚；将已 知条件进行转化(即分数转化成比)，能使解题方法简单，易懂。 知识点二用画图、列举、假设的策略解决问题 1、画图、列举、假设都是解决问题的有效策略，同一个问题可以用不同的策略解决，要根据具体问题灵活选择解题策略。 2、在用假设法解题时，可以先作适当的分析，从接近实际结果的数据开始假设。 题型一用画图和转化法解决分数问题 1．甲、乙、丙三个工程队一起修一条公路，甲队修的长度是乙、丙两队总和的，乙队修的长度是甲、丙两队总和的。已知甲队比乙队多修4.8km，丙队修了多少千米？ 【答案】33.6千米 【分析】甲队修的长度是乙、丙两队总和的，所以甲队修的长度占总长度的，乙队修的长度是甲、丙两队总和的，所以乙队修的长度占总长度的。 甲队比乙队多修了总长度的，即总长度×＝4.8km，单位“1”未知，用除法计算； 总长度是单位“1”，丙队修的长度是总长度的，据此解答即可。 【解答】总长度：（千米） 丙队：（千米） 答：丙队修了33.6千米。 2．某电子厂现在生产一批电脑，按3∶2∶1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间。已知甲车间要生产270台，则乙、丙两个车间分别要生产多少台？（先画图表示题意，再解答） 【答案】图见详解 乙：180台；丙：90台 【分析】一批电脑，按3：2：1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间，即甲车间3份、乙车间2份、丙车间1份，已知甲车间要生产270台，对应分配的3份，因此把甲车间平均分成3份，乙车间生产2份、丙车间生产1份，据此画图并解答。 【解答】 1份：（台） 乙：（台） 丙：（台） 答：乙车间生产180台，丙车间生产90台。 3．甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 【答案】180千米 【分析】货车的速度是客车的，即货车与客车的速度比是2∶3，由于时间一定，所以相遇时，货车与客车的路程比也是2∶3，即把总路程平均分成2＋3＝5份，货车行驶了这样的2份，客车行驶了这样的3份，已知甲、乙两地间的铁路长300千米，除以5计算出1份的长度，再乘3计算出3份的长度，即相遇时客车行驶的路程。 【解答】 2＋3＝5 300÷5×3 ＝60×3 ＝180（千米） 答：相遇时客车行驶了180千米。 题型二列表法解鸡兔同笼 4．体育馆有12张乒乓球桌，有38名同学正在练习单打和双打。正在练习单打和双打的各有多少名同学？（用列表法解答） 【答案】单打10名；双打28名 【分析】单打每桌需2名同学，双打每桌需4名同学。共12张乒乓球桌，假设6张乒乓球桌单打，6张乒乓球桌双打，计算对应的总学生数为2×6＋4×6 ＝36名，比38名少2名，需将单打乒乓球桌数往小调整，双打乒乓球桌数往大调整，即5张乒乓球桌单打，7张乒乓球桌双打，求出总人数为2×5＋4×7＝38名，符合要求。 【解答】 单打乒乓球桌数/张 单打总人数/名 双打乒乓球桌数/张 双打总人数/名 总人数/名 6 2×6＝12 6 4×6＝24 12＋24＝36 （少2名） 5 2×5＝10 7 4×7＝28 10＋28＝38 （正好） 答：正在练习单打的有10名同学，练习双打的有28名同学。 5．如今，绿色出行成为社会新风尚，新能源共享汽车和共享单车受到越来越多人的喜爱。在某停车场停着新能源共享汽车和共享单车一共20辆，共有56个轮子。新能源共享汽车和共享单车各有多少辆？（请你用列表的方法解决这个问题） 【答案】新能源共享汽车有8辆；共享单车有12辆 【分析】解答这道题的关键是明确已知两种车的总数（20辆）和总轮子数（56个），新能源共享汽车有4个轮子，共享单车有2个轮子，要求用列表枚举法来求解两种车的数量，核心是通过逐步调整两种车的数量，找到符合轮子总数的组合。还须满足如下数量关系：新能源共享汽车数量＋共享单车数量＝20辆；新能源共享汽车数量×4＋共享单车数量×2＝56个轮子。据此列表解答。 【解答】根据分析： 从假设全是共享单车开始，逐步增加新能源共享汽车的数量，来枚举验证： 共享单车 新能源共享汽车 轮子总数 20 0 40 19 1 42 18 2 44 17 3 46 16 4 48 15 5 50 14 6 52 13 7 54 12 8 56 由表中数据可知，当新能源共享汽车数量为8辆，共享单车为12辆时总轮子数为56个，符合题意。 答：新能源共享汽车有8辆，共享单车有12辆。 6．2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱：6组；双人合唱：12组 【分析】分析题目，单人独唱组组数＋双人合唱组组数＝18，单人独唱组的组数×1＋双人合唱组的组数×2＝总人数，据此列出表格，找出总人数为30的方法即为所求。 【解答】 单人独唱组/组 9 8 7 6 双人合唱组/组 9 10 11 12 总人数/人 27 28 29 30 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 题型三假设法解鸡兔同笼 7．一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子。车棚里放着自行车和三轮车共8辆，数数车轮共有18个。问：自行车有几辆，三轮车有几辆？ 【答案】自行车6辆，三轮车2辆。 【分析】假设8辆都是自行车，应该有2×8＝16（个）轮子，原来有18个轮子，现在少了（18－16）个轮子。把一辆三轮车看成一辆自行车少了（3－2）个轮子。那么用少的轮子总数除以一辆少的个数，就是有几辆三轮车。再用一共的辆数减去三轮车的辆数，就是自行车有几辆。 【解答】假设8辆都是自行车。 2×8＝16（个） 18－16＝2（个） 3－2＝1（个） 2÷1＝2（辆） 8－2＝6（辆） 答：自行车6辆，三轮车2辆。 【点睛】本题关键是假设都是某一种车辆，这样轮子的总数发生变化，再根据变化的数除以每辆变化的数，由此得出某种车的辆数。 8．某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有（ ）间大宿舍。 【答案】24 【分析】假设30间全是小宿舍，每间住 4 人，则总人数为：（人），实际住了 168 人，比假设的总人数多：（人）； 每间大宿舍比小宿舍多住：（人），多出来的 48 人，需要通过大宿舍来补足，因此大宿舍数量为：（间） 【解答】由分析可得： 某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有24间大宿舍。 9．中国植树造林的历史悠久，可以追溯到几千年前。3月12日，红星小学有老师和学生共40人一起去参加义务植树活动，每位老师植树5棵，每位学生植树2棵，一共植树92棵。老师和学生分别多少人？（    ） A．2，38 B．3，37 C．5，35 D．4，36 【答案】D 【分析】假设参加植树的全部是学生，则应该植树棵数为40×2＝80（棵），比实际植树棵数少92－80＝12（棵），是因为每名老师比每名学生多植树5－2＝3（棵），用比实际植树棵数少的棵数除以每名老师比每名学生多植树的棵数即可求出老师的人数，用植树的总人数减去老师的人数即是学生的人数。 【解答】40×2＝80（棵） 92－80＝12（棵） 5－2＝3（棵） 12÷3＝4（人） 40－4＝36（人） 老师有4人，学生有36人。 故答案为：D 题型四方程法解鸡兔同笼 10．淘气的压岁钱里20元和50元的纸币共27张，总值840元。20元和50元的纸币各有多少张？ 【答案】20元纸币有17张，50元纸币有10张。 【分析】设50元有x张，则20元有（27－x）张；x张50元是50x元；（27－x）张20元是20×（27－x）元，总值840元，列方程：50x＋20×（27－x）＝840，解方程，即可解答。 【解答】解：设50元有x张，则20元有（27－x）张。 50x＋20×（27－x）＝840 50x＋20×27－20x＝840 30x＋540＝840 30x＋540－540＝840－540 30x＝300 30x÷30＝300÷30 x＝10 27－x＝27－10＝17（张） 答：20元纸币有17张，50元纸币有10张。 11．鸡兔同笼是我国古代数学名著《孙子算经》中的经典趣题。笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有16个头；从下面数，有52只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】兔10只；鸡6只 【分析】这是一道经典的鸡兔同笼问题，用方程求解的关键在于找到合适的等量关系。 我们知道鸡有2只脚，兔有4只脚，从题目条件可知两个重要信息：头的总数为16个，这意味着鸡和兔的总数量是16只；脚的总数为52只。 我们可以设兔的数量为x只，那么鸡的数量就是（16－x）只。因为兔脚的总数是4x只，鸡脚的总数是2×（16－x）只，而脚的总数是52只，所以可以根据“兔脚总数＋鸡脚总数＝总脚数”这个等量关系来列方程求解，即4x＋2×（16－x）＝52，解方程即可。 【解答】解：设兔有x只，则鸡有（16－x）只。 4x＋2×（16－x）＝52 4x＋2×16－2x＝52 4x＋32－2x＝52 4x－2x＋32＝52 2x＋32＝52 2x＋32－32＝52－32 2x＝20 2x÷2＝20÷2 x＝10 16－x＝16－10＝6 答：兔有10只，鸡有6只。 12．运动公园出租两人自行车和四人自行车供游客骑行观光。五年级有70名同学到公园秋游，租用了两种自行车共25辆，所有座位恰好坐满，两种自行车各租了多少辆？ 【答案】两人：15辆；四人：10辆 【分析】设四人自行车租了x辆，两人自行车租了（25－x）辆；x辆四人自行车有4x人；（25－x）辆两人自行车有2×（25－x）人，一共有70名同学，列方程：4x＋2×（25－x）＝70，解方程，即可解答。 【解答】解：设四人自行车租了x辆，则两人自行车租了（25－x）辆。 4x＋2×（25－x）＝70 4x＋2×25－2x＝70 2x＋50＝70 2x＝70－50 2x＝20 x＝20÷2 x＝10 两人自行车：25－10＝15（辆） 答：两人自行车租了15辆，四人自行车租了10辆。 一、选择题 1．张老师买了3瓶墨水和5支钢笔，一共花了58元，一支钢笔比一瓶墨水贵2元，钢笔和墨水的单价分别是多少？如果列式为：（58＋3×2）÷（3＋5），求出的是（    ）。 A．钢笔的单价 B．墨水的单价 C．钢笔和墨水的单价之和 D．5支钢笔比3瓶墨水多多少元 2．我国乒乓球发展历经百年。在某乒乓球训练场里，有20张训练桌，一共有62人在进行训练，全部参加单打训练或双打训练，没有一个闲着的人，也没有空桌，一共有（    ）张球桌在进行双打训练。 A．8 B．9 C．11 D．12 3．学校举行数学竞赛，每做对一道题得9分，做错一道题倒扣3分，共有12道题，王强都做了，得了84分，王强做错了（    ）道题。 A．2 B．4 C．10 D．5 4．一套课桌椅的价格是320元，其中椅子的价格是课桌的，课桌的价格是（    ）元。 A．120 B．192 C．128 D．200 5．停车场有小汽车和自行车共20辆，它们共有56个轮子。其中自行车有（    ）辆。 A．12 B．8 C．14 D．6 二、填空题 6．3辆大卡车和5辆小卡车共运货33吨，每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨。大卡车的载质量是（ ）吨，小卡车的载质量是（ ）吨。 7．某电动车展厅里，停放着两轮电动车和三轮电动车共53辆，这些车一共有124个轮子。那么停放的三轮电动车有（ ）辆。 8．如下图，六年级一班男生与女生的人数比是（    ），男生人数占全班人数的。已知女生有20人，六年级一班共有（    ）人。 9．有一本诗选集，其中五言绝句和七言绝句共10首，总字数是248个字（不含题目）。两种诗各多少首？五言绝句有（ ）首，七言绝句有（ ）首。 10．插座有的是两孔的，有的是三孔的。乐乐数了一下，家里有15个插座共36个孔。根据表中的数据接着填一填。 两孔插座个数 三孔插座个数 孔的总个数 与36个比较 7 8 7×2＋8×3＝38 多2个 两孔插座有（    ）个，三孔插座有（    ）个。 三、解答题 11．甲、乙两书架共有书108本，乙、丙两书架共有书148本，甲、丙两书架上书的本数比是3∶8，乙书架有书多少本？ 12．米脂是陕北地区唯一荣获“中国千年古县”称号的县区，文化积淀深厚，旅游资源丰富。王导游用960元买了20张景点门票，其中一部分是半价的儿童票，一部分是60元一张（全价）的成人票。成人票和儿童票各有多少张？ 13．五（1）班同学去植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，第一小组8人一共种了21棵树，这个小组男生和女生各有几人？ 14．某工厂委托搬运公司运送500只花瓶，每只花瓶的运费是0.5元，如果损坏一只，搬运公司不仅得不到这只花瓶的运费，还需要赔偿陶瓷工厂损失费5.5元。已知搬运公司最终获得运费238元，则搬运公司在运送过程中损坏了几只花瓶？ 参考答案 1．A 【分析】根据题意，本题可使用假设法来解题，可假设全部买钢笔或者全部买墨水，再根据墨水和钢笔的差价补差，列式计算解答。 【解答】A．假设全部买钢笔，一支钢笔比一瓶墨水贵2元，把3瓶墨水替换3支钢笔，一共贵3个2元，买（3＋5）支钢笔一共需要（58＋3×2）元，可列式为：（58＋3×2）÷（3＋5），求出的是钢笔的单价。 B．假设全部买墨水，一瓶墨水比一支钢笔便宜2元，把5支钢笔替换5瓶墨水，一共便宜5个2元，买（3＋5）瓶墨水一共需要（58－5×2）元，可列式为：（58－5×2）÷（3＋5），求出的是墨水的单价。 C．假设全部买墨水，一瓶墨水比一支钢笔便宜2元，把5支钢笔替换5瓶墨水，一共便宜5个2元，买（3＋5）瓶墨水一共需要（58－5×2）元，可列式为：（58－5×2）÷（3＋5），再加上2元就是钢笔的单价，求钢笔和墨水的单价之和列式为：（58－5×2）÷（3＋5）＋2＋（58－5×2）÷（3＋5）。 D．求5支钢笔比3瓶墨水多多少元，列式为[（58＋3×2）÷（3＋5）]×5－[（58－5×2）÷（3＋5）]×3。 所以（58＋3×2）÷（3＋5），求出的是钢笔的单价。 2．C 【分析】先假设20张球桌全是单打，算出总人数，再算出比实际的人数少了的人数；每张双打桌的人数比单打桌的人数多2人，用比实际人数少了的人数除以每张桌多的2人，就是在进行双打训练球桌的张数。 【解答】假设20张训练桌全是单打 （人） （人） （人） （张） 一共有11张球桌在进行双打训练。 故答案为：C 【点睛】这道题是典型的 “鸡兔同笼” 类应用题，重点考查运用假设法解决实际问题，关键是 “假设全为一种情况” 来找到数量差，再结合两种情况的单位差，从而推算出另一种情况的数量。 3．A 【分析】解答这道题的核心是通过假设全部做对，求出与实际得分的差值，进而求出做错的题数。题目中已知总题数为12道，做对一道得9分，做错一道倒扣3分，实际得分84分。明确“做错一道题”不仅得不到9分，还会扣3分，因此每错一道题会与做对的情况产生分的差值。据此解答。 【解答】根据分析： 假设全部都做对。 （分） 与实际得分的差值： （分） 求做对与做错的差值： （分） 求做错的题数： （道） 所以，王强做错了2道题。 故答案为：A 4．D 【分析】椅子的价格是课桌的，那么椅子和课桌的价格之比是3∶5，一套桌椅价格对应的份数是（3＋5）份。将一套桌椅价格除以对应的份数，求出一份的价格。将一份的价格乘课桌价格的份数5份，求出课桌的实际价格。 【解答】根据题意，椅子和课桌的价格之比是3∶5， 320÷（3＋5） ＝320÷8 ＝40（元） 40×5＝200（元） 课桌的价格是200元。 故答案为：D 5．A 【分析】已知一辆小汽车有4个轮子，一辆自行车有2个轮子，则一辆小汽车比一辆自行车多出了4－2＝2个轮子，小汽车和自行车共20辆，它们共有56个轮子，假设这些车全是自行车，则轮子数应该有2×20个，实际上有56个轮子，则多出的56－2×20个轮子就应该是小汽车多出来的，由于一辆小汽车比一辆自行车多2个轮子，则用多出的轮子个数除以2即可得到小汽车的数量，再用20减去小汽车的数量，剩下的就是自行车的数量。 【解答】一辆小汽车比一辆自行车多轮子：4－2＝2（个） 20×2＝40（个） 56－40＝16（个） 则小汽车数量为：16÷2＝8（辆） 自行车数量为：20－8＝12（辆） 故自行车有12辆。 故答案为：A 6．6 3 【分析】每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨，大卡车有3辆，用求出3辆大卡车总共比小卡车多运多少吨；用算出卡车总辆数，假设辆车都是小卡车，用求全部小卡车运货的总吨数，再除以得到每辆小卡车的载质量，将每辆小卡车的载质量加上3得到每辆大卡车的载质量。 【解答】 所以大卡车的载质量是6吨，小卡车的载质量是3吨。 7．18 【分析】假设全是两轮电动车，则应该有2×53＝106（个）轮子，比实际少124－106＝18（个）轮子，因为每辆两轮电动车比每辆三轮电动车少3－2＝1（个）轮子，所以三轮电动车有18÷1＝18（辆）。 【解答】假设全是两轮电动车。 （124－2×53）÷（3－2） ＝（124－106）÷1 ＝18÷1 ＝18（辆） 停放的三轮电动车有18辆。 8．6：5；；44 【分析】通过线段图分析男女生人数比例，并结合已知女生人数求解全班人数。从线段图中可以看出，男生对应的线段被平均分成了6份，女生对应的线段被平均分成了5份，那么总人数有份，由此可求出六年级一班男生与女生的人数和男生人数占全班人数的几分之几。已知女生有20人，且女生人数对应的份数是5份，先求出1份对应的人数，再求班级总人数。 【解答】由分析可知，六年级一班男生与女生的人数比是，男生人数占全班人数的。 （人） 六年级一班共有44人。 9．4 6 【分析】先用乘法分别求出1首五言绝句、1首七言绝句共有多少个字；假设10首全是七言绝句，用10首七言绝句的字数减去248，求出的差除以（1首七言绝句的字数－1首五言绝句的字数），这时求出的商就是五言绝句的首数，最后用10减去五言绝句的首数，求出七言绝句的首数。 【解答】假设全是七言绝句； 5×4＝20（个） 7×4＝28（个） （28×10－248）÷（28－20） ＝（280－248）÷8 ＝32÷8 ＝4（首） 10－4＝6（首） 所以五言绝句有4首，七言绝句有6首。 10． 两孔插座个数 三孔插座个数 孔的总个数 与36个比较 7 8 7×2＋8×3＝38 多2个 8 7 多1个 9 6 相等 两孔插座：9个；三孔插座：6个 【分析】根据孔的总个数比36个多，要想孔的总个数减少，只能减少三孔插座的个数，增加两孔插座的个数，直到找到孔的总个数和36个相等为止，据此解答。 【解答】 两孔插座个数 三孔插座个数 孔的总个数 与36个比较 7 8 7×2＋8×3＝38 多2个 8 7 多1个 9 6 相等 两孔插座：9个；三孔插座：6个 11．84本 【分析】已知甲、丙两书架上书的本数比是3∶8，设甲书架上的书有3份，则丙书架上的书有8份，丙书架比甲书架的书多8－3＝5份；甲、乙两书架共有书108本，乙、丙两书架共有书148本，用148减去108即为丙书架的书比甲书架多的本数；用多的本数除以多的份数计算出1份的本数，再乘3计算出甲书架书的本数；最后用甲、乙两书架共有书的本数减去甲书架书的本数即为乙书架书的本数。 【解答】（148－108）÷（8－3） ＝40÷5 ＝8（本） 108－8×3 ＝108－24 ＝84（本） 答：乙书架有书84本。 12． 成人票12张；儿童票8张 【分析】已知一张成人票60元，一张儿童票是成人票的半价，即60÷2＝30元。 王导游用960元买了20张景点门票，假设10张成人票，10张儿童票，共需60×10＋30×10＝900元，少于960元，需将成人票数调多，儿童票数调少； 假设11张成人票，9张儿童票，共需60×11＋30×9＝930元，少于960元，仍需将成人票数调多，儿童票数调少； 假设12张成人票，8张儿童票，共需60×12＋30×8＝960元，正好等于960元。据此解答。 【解答】60÷2＝30（元） 60×10＋30×10 ＝600＋300 ＝900（元） 60×11＋30×9 ＝660＋270 ＝930（元） 60×12＋30×8 ＝720＋240 ＝960（元） 成人票/张 儿童票/张 总钱数 10 10 60×10＋30×10＝900（元） 11 9 60×11＋30×9＝930（元） 12 8 60×12＋30×8＝960（元） 答：成人票有12张，儿童票有8张。 13．5人；3人 【分析】假设都是男生，则一共可以种8×3＝24（棵），实际比假设少了：24－21＝3（棵），一名女生比一名男生少种（3－2）棵，所以用实际比假设少的数量÷一名女生比一名男生少种的棵树即为女生的人数，用8减去女生人数可得男生人数。 【解答】假设都是男生； （8×3－21）÷（3－2） ＝（24－21）÷（3－2） ＝3÷1 ＝3（人） 男生：8－3＝5（人） 答：这个小组男生有5人，女生有3人。 14．2只 【分析】总共有500只花瓶，设损坏的花瓶数量为x只，则完好搬运的花瓶数量就是（500－x）只。根据完好每只赚运费0.5元，损坏每只赔5.5元，最终实际获得运费238元。建立等量关系：最终获得的运费＝完好花瓶的总运费－损坏花瓶的总赔偿费。其中，完好花瓶总运费＝0.5×（500－x），损坏花瓶总赔偿费＝5.5x，由此可列出方程：0.5×（500－x）－5.5x＝238，解出x的值，即为损坏的花瓶数量。 【解答】解：设损坏的花瓶数量为x只，则完好搬运的花瓶数量就是（500－x）只。 0.5×（500－x）－5.5x＝238 250－0.5x－5.5x＝238 250－6x＝238 250－6x＋6x＝238＋6x 250＝238＋6x 238＋6x＝250 238＋6x－238＝250－238 6x＝12 6x÷6＝12÷6 x＝2 答：搬运公司在运送过程中损坏了2只花瓶。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $