专题04 线段的垂直平分线与角平分线的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题04 线段的垂直平分线与角平分线的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、几何体展开图 类型二、利用展开图补齐几何体 类型三、点、棱、面之间关系 压轴专练 类型一、线段垂直平分线的性质求解 方法总结 1. 性质应用：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 2. 转化问题：将问题转化为寻找或证明点到线段两端点距离相等，从而利用垂直平分线性质求解。 解题技巧 1. 连接两端点：当遇到垂直平分线上一点时，连接该点与线段两端点，得到两条相等线段。 2. 构造垂直平分线：若需证某线是垂直平分线，需证两点距线段两端等距且连线垂直于线段。 例1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则根据等边对等角和角之间的关系可求出，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是的高， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式1-1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，根据作图痕迹， 度． 【答案】60 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据作图痕迹可知，垂直平分，进一步得，再利用等腰三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：根据作图痕迹可知，垂直平分， ， ． ， ． 故答案为：60． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，边的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是灵活应用相关性质定理． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得证； （2）根据等边对等角可得，，根据三角形内角和定理依次求得，的度数即可． 【详解】（1）证明：在中，边，的垂直平分线，相交于点， ，， ； （2）解：，， ，， ， ， ． 类型二、线段垂直平分线的判定定理 方法总结 1. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2. 应用逻辑：证明某点在垂直平分线上，只需证该点到线段两端点距离相等；证明某直线是垂直平分线，需证两点在该线上。 解题技巧 1. 找等距点：若要证明某线是垂直平分线，先在该线上取两点（通常取中点及另一点），分别证明这两点到线段端点等距。 2. 结合垂直：最终证明时，需同时满足“垂直”和“平分”，常与全等三角形结合证明垂直。 例2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 (2)若，求的度数． 【答案】(1)点在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）因为，根据“等边对等角”得，， 则可得，由三角形内角和可得的度数． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，如图． ，分别是，的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质可得，，， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即． 【变式2-2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图，在四边形中，，，，为上一点，连接交于点，且， (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（）证明点和点在线段的垂直平分线上即可求证； （）证明是等边三角形，得，进而由平行线的性质得，即得，即可求证； （）由等边三角形的性质得，进而由平行线的性质得，得到，即得到，再根据等边三角形的性质即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，， ∴点在的垂直平分线上， ， ， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线； （2）证明：， 是等边三角形， ， ∵， ， ∴， 是等边三角形； （3）解：由（）和（）知是等边三角形，且， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， 和是等边三角形， ∴，， ∴． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，四边形的对角线、相交于点E，，，，． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，请在上找出一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的最小值为3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等； （1）由线段垂直平分线的判定定理得点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即可得证； （2）结合等边三角形的性质及直角三角形的特征得，，即可求解； （3）连接，由线段垂直平分线的性质得，可得，由等边三角形的性质即可求解. 【详解】（1）解： ， 点在线段的垂直平分线上； ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：，垂直平分，， ，， ， ， ， ，， ； （3）解：连接交于点，则点即为所求； 连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 即的最小值为3． 类型三、利用角平分线的性质求解 方法总结 1. 性质应用：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 2. 作垂线段：过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用所得距离相等建立等量关系求解。 解题技巧 1. 遇角平分线作双垂：这是利用该性质的标准辅助线作法，可构造全等直角三角形。 2. 设距离为变量：常设垂线段长为h，结合其他条件（如面积、勾股定理）列方程求解。 例3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，平分交于点．若，的面积为9，则点到边的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质．利用三角形面积公式求得，再作交于点，结合角平分线的性质即可得到点到的距离即． 【详解】解：∵，，的面积为9， ∴，即， 解得， 作交于点， ，平分交于点， ， 即点到的距离为3． 故答案为：3． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，，平分交于点，分别是线段上的动点， （1）的度数为 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和角平分线的性质： （1）先根据等腰三角形的性质和内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出； （2）利用角平分线的性质，通过作辅助线将转化，根据垂线段最短求其最小值． 【详解】解：（1）， 是等腰三角形， ， ，且，， ， 解得 ， 平分， ． 故答案为：． （2）解：过点作于点，交于点，过点作于点． 平分，，， 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得， ． 对于任意的点和，根据垂线段最短可知，， 因此的最小值就是的长． 在中，，． ． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，平分，，在的延长线上截取，连接． (1)求证：； (2)若，． ①求线段的长； ②求点C到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①13；② 【分析】本题考查平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，通过等腰三角形将角度关系与线段关系进行转化是解题关键． （1）利用角平分线得到相等角，再利用已知的相等角，得到内错角相等，从而证明平行关系； （2）①利用等边对等角得到，从而求出，通过勾股定理求出； ②利用角平分线的性质，将求点C到直线的距离转化为求点C到直线的距离，利用面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴； （2）解：① ∵， ∴， 又， ∴， ； ②设点C到直线的距离为d．根据角平分线的性质可知点C到直线的距离等于d． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点C到直线的距离为． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，平分，交于点D． (1)如图1，E是上一点，且． （i）若，求证：． （ii）若，探究与的数量关系． (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． （1）（i）利用角平分线性质证明即可；（ii）利用角平分线性质得到，再证明即可得出结论； （2）在上截取，连接，先求出，过点D作的延长线于点G，作，再证明，得到，从而进一步求出结果． 【详解】（1）证明：（i）， ． ， ． 平分， ； （ii），理由如下： 如图1，过点D作于点M，于点N． 平分， ． ，， ，即． 在和中， ， ． （2）如图2，在上截取，连接． ， ． 平分， ． ， ． 过点D作的延长线于点G，作， 则有，， ， ． ， ， ， ， ． 类型四、角平分线的判定定理 方法总结 1. 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2. 应用逻辑：证明某点在角平分线上，只需证该点到角两边的垂线段长度相等；证明某射线是角平分线，需证其上两点均满足此条件。 解题技巧 1. 作垂线量距离：运用该判定时，必须先过该点向角的两边作垂线，再证明两条垂线段相等。 2. 结合全等证明：常通过证明两个直角三角形全等（HL或AAS），来得到垂线段相等。 例4．（25-26八年级上·云南保山·月考）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，求的大小； (2)点在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线的性质与判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用角平分线定义求出的度数，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，通过即可求解； （2）连接，过点作三条垂线段，先依据角平分线的性质得到垂线段相等的关系即，再利用角平分线的判定定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，证明平分，进而得出点在的平分线上． 【详解】（1）解：平分， ， 是的外角， ， 又， ； 答：； （2）证明：如图，连接，过点作于点于点于点， 平分， ， 平分， ， ， 又， 点在的平分线上． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，即，根据三角形外角的性质得到，即，则，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ； （3）解：∵点在的角平分线上， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴ ∵是的外角， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)26 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由为的角平分线，为的角平分线，可得，，再由，，可得，，再求解即可； （3）设，再根据求得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又点在的内部， 平分； （2）解：是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ，， ． （3）解：由（1）已得：， 设， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 先利用角平分线的性质确定，再通过线段长度计算，进而得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，（），， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，进而等量代换求解的周长即可． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为 ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，的外角，的平分线、交于点D，于E，于F，点P在上，，则下列结论中错误的是（    ） A．平分 B． C．若，则 D． 【答案】C 【分析】过点作于，由角平分线的性质得到，然后利用角平分线的判定定理即可得到平分，进而判断A；由结合三角形面积即可判断B；由角平分线的定义得到，，然后结合三角形外角的性质得到，然后由平分即可得到，即可判断C；证明出，得到，证明出，得到，然后等量代换即可判断D． 【详解】解：A．过点作于， ∵平分，， ∴， 又平分，，， ∴， ∴， 又，， ∴平分，故A正确； B．由①知， ，故B正确； C．∵平分平分， ∴，， ∴ ∴ ∵平分， ∴，故C错误； D．∵， ∴ ， ， 又∵，， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为，点是边的中点，点是上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接、，由线段垂直平分线的性质可得，则的周长，故当、、在同一直线上时，的周长最小，为，由等腰三角形的性质可得，，再根据三角形面积公式求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵边的垂直平分线为，点是上的动点， ∴， ∴的周长， ∴当、、在同一直线上时，的周长最小，为， ∵，点是边的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是： ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质等知识． 延长、交于点，可证明，得，推导出，则，；根据垂线段最短结合角平分线的性质求得的最小值为3；作于点，于点，利用全等三角形的性质求得，推出平分，即可判断②说法正确． 【详解】（1）解：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，①说法正确； ，④说法正确； 当时，有最小值， ∵，平分，， ∴， ∴的最小值为3，③说法正确； 作于点，于点， ∵， ∴， ∴平分， ∴，②说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 三、解答题 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，于点D，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质得到，得出，根据三线合一可知； （2）由（1）可知，，，根据等边对等角得到，，求出，根据三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ， 又∵， ； （2）解：由（1）可知，，， ，， ，， ， ， ． 8．（25-26八年级上·重庆万州·期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）过D作于E，过D作于F，过D作于G，由角平分线的性质定理得出，再结合计算得出，即可得出结果； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：过D作于E，过D作于F，过D作于G， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，D为中点，连接，垂直平分交于点E，交于点O，交于点F，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)； (2)见详解． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； （2）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，D为中点，， ∴平分， ∴， ∴； （2）证明∵，D为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴是等腰三角形 10．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)9 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的周长公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由垂直的定义可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答； （2）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为19，即，进而求得的长； （3）由线段垂直平分线的性质得、，即，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． （3）证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中,，点D在的右侧且满足，连接，其中． (1)求证：； (2)如备用图，延长至点M，使得． 求证：①平分； ②点M在线段的延长线上． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明，解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量关系证明共线． （1）利用等腰的内角和求出，结合已知，证得； （2）①作角两边的垂线，证得到距离相等，判定平分； ②证，结合角的和为，证明点M在的延长线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图1，过点A作，垂足分别为H，K， ∴， 在中，， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分； ②如图2，连接，设与交于点G， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， 由（1）知，且平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴A，M，B三点共线． ∴点M在线段的延长线上． 12．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分； (3)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证出，由线段垂直平分线的判定可得出结论； （2）由角平分线的判定可得出结论； （3）证出，．由（1）知垂直平分，则，由等边三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，点A，O在上， ∴垂直平分； （2）∵， ∴． 又∵，， 即，， ∴平分； （3）由（1）知． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 由（1）知垂直平分， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在中，平分交于，于，于．求证：； （2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与相交于两点，其他条件不变，请探究三条线段的等量关系．并加以证明； （3）如图3，在中，，平分交于，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）由角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明结论； （2）由（1）可知，，证明，得到，即可得出结论； （3）过点作于点，利用等角对等角，得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，从而求出，，同（1）理可证，，同（2）理可证明，得到，，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 由（1）可知，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 同（1）理可证，， ，， ， 同（2）理可证明， ，， ， 四边形的周长． 14．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点，已知的周长为． (1)求线段的长； (2)求证：点在线段的垂直平分线上； (3)①已知，则的度数为______； ②若，则______．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． （1）先根据相等垂直平分线的性质得，，再根据即可得出答案； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （3）①先根据相等垂直平分线的性质证明，，，进而得，．由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解； ②用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴； （2）证明：如图，连接，，． ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （3）解：①∵ ，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长，过点C作，，证，得到，即可得到平分． （2）延长至点N，连接，通过角度转化，得到，由得到，则，得到． （3）连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，，先证是等边三角形，得到，证，得到，，再证，得到，再证，得到 ，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长，过点C作，， ， ， 又， ， ， 平分． （2）如图，延长至点N，连接， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）如图，连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，， 由（1）可知，由（2）可知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，解得， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04线段的垂直平分线与角平分线的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、几何体展开图 类型二、利用展开图补齐几何体 类型三、点、棱、面之间关系 压轴专练 典例详解 类型一、线段垂直平分线的性质求解 方法总结 1. 性质应用：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 2.转化问题：将问题转化为寻找或证明点到线段两端点距离相等，从而利用垂直平分线性质求解。 解题技巧 1. 连接两端点：当遇到垂直平分线上一点时，连接该点与线段两端点，得到两条相等线段。 2.构造垂直平分线：若需证某线是垂直平分线，需证两点距线段两端等距且连线垂直于线段。 例1.(25-26八年级上陕西渭南期末)如图，ABC是等边三角形，AD是ABC的高，AB边的垂直平 分线分别交AD、AB于点E、F,若DE=3,则AE的长为 D 【变式1-1】(25-26八年级上河北唐山期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，根据作图痕 迹，∠BAD=」 度. 1/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-2】(25-26八年级上·安徽合肥月考)如图，在ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于 点M、D,边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E. M D E (1)若BC=12,求ADE的周长： (2)若∠BAC=110°，求∠DAE的度数， 【变式1-3】(25-26八年级上湖北黄石期末)如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线PD,PE相 交于点P, B (I)求证：PA=PB=PC; (2)若LBAP=30°，∠CAP=40°，求∠BPC的度数. 类型二、线段垂直平分线的判定定再 方法总结 1.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.应用逻辑：证明某点在垂直平分线上，只需证该点到线段两端点距离相等；证明某直线是垂直平分线， 需证两点在该线上。 解题技巧 1.找等距点：若要证明某线是垂直平分线，先在该线上取两点（通常取中点及另一点），分别证明这两 点到线段端点等距。 2.结合垂直：最终证明时，需同时满足“垂直”和“平分”，常与全等三角形结合证明垂直。 例2.(25-26八年级上福建三明期末)如图，在ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE1AB交 AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D (I)证明：AD垂直平分EF, (2)若ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长. 【变式2-1】(25-26八年级上·安徽安庆月考)如图，在ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于 点M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE相交于点O,连接BO,CO. M (1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； (2)若LBAC=105°，求∠B0C的度数. 【变式2-2】(25-26八年级上四川巴中期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠CDB=∠CBD, ∠ADB=60°，E为AD上一点，连接BD,CE交于点F,且CE∥BA, (I)连接AC,求证：直线AC是线段BD的垂直平分线； (②)求证：△EDF是等边三角形； (3)若AD=15,CE=10,求BF的长， 【变式2-3】(25-26七年级上山东烟台期末)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E, BA=BC=CA,∠CBD=30°，∠BAD=90°，AD=DC=2. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F (I)求证：BD垂直平分AC; (2)求BE的长： (3)若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P,使PC+PF的值最小，并求出PC+PF的最小值. 类型三、利用角平分线的性质求解 方法总结 1.性质应用：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 2.作垂线段：过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用所得距离相等建立等量关系求解。 解题技巧 1.遇角平分线作双垂：这是利用该性质的标准辅助线作法，可构造全等直角三角形。 2.设距离为变量：常设垂线段长为，结合其他条件（如面积、勾股定理）列方程求解。 例3.(25-26八年级上河北石家庄期末)如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D.若 BC=6,△BCD的面积为9，则点D到边AB的距离为· 【变式3-1】(25-26八年级上湖北咸宁·期末)如图，在ABC中，AC=BC=6,∠ACB=4LA,BD平分 ∠ABC交AC于点D,E,F分别是线段BD,BC上的动点， B (1)∠ABE的度数为； (2)CE+EF的最小值是 【变式3-2】(25-26八年级上·湖南株洲·期末)如图，AC平分∠BAD,∠DCA=∠CAD,在CD的延长线上 截取DE=DA,连接AE, 4/12 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)求证：AB∥CD; (2)若AE=5,AC=12. ①求线段CE的长； ②求点C到直线AB的距离. 【变式3-3】(25-26八年级上·安微合肥期末)在ABC中，∠A=,BD平分∠ABC,交AC于点D. E 图1 图2 (1)如图1，E是BC上一点，且∠BED=180°-a· (i)若a=90°，求证：AD=DE. (ii)若a≠90°，探究AD与DE的数量关系， (2)如图2，若AB=AC,a=100°，BD=5,AD=2,求BC的长. 类型四、角平分线的判定定理 方法总结 1.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2.应用逻辑：证明某点在角平分线上，只需证该点到角两边的垂线段长度相等；证明某射线是角平分线； 需证其上两点均满足此条件。 解题技巧 1.作垂线量距离：运用该判定时，必须先过该点向角的两边作垂线，再证明两条垂线段相等。 2.结合全等证明：常通过证明两个直角三角形全等（皿或AAS),来得到垂线段相等。 例4.(25-26八年级上：云南保山月考)如图，CE是ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线 于点E· 5/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 4 B D (1)若∠ACD=136°，∠B=36°，求∠E的大小： (②)点F在EC上，若AF平分∠EAC,求证：点F在∠ABC的平分线上. 【变式4-1】(25-26八年级上四川南充期末)如图，将ABC的边BA、BC延长到E、F,∠ABC、 ∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,连接CP,∠BPC=25°，过点P作BE、BF的垂线，垂足分别为M, B CF (I)求证：点P在∠ACF的角平分线上： (②)用等式表示AC、AM、CN的数量关系，并说明理由； (3)求∠CAP的度数， 【变式4-2】(25-26八年级上·安微六安期末)如图，在ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°， ∠ABC的平分线BE交AC于点E,过点E作BF⊥BA,交BA的延长线于点F,已知LAEF=55°，连接 DE B (I)求LCAD的度数； (2)求证：DE平分∠ADC; (3)若AB=12,AD=6,CD=14,且S△4CD=30,求△ABE的面积. 【变式4-3】(25-26八年级上·安微合肥期末)如图，ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的 角平分线BE交于点E,点F在边BA的延长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D,过点E作 EH⊥BD于点H. 6/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D (I)求证：AE平分∠CAF; (2)若LBAC=30°，求∠BEC的度数； (3)若AB=6,AC=5,CD=8,且SAABE=12,求△ACD的面积. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上吉林长春.期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8,AD是aABC的角平分线， DE⊥AB于点E,若BD=6,则DE的长为() E B A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26八年级上·湖北黄石·期末)如图，△ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点 D,交边AC于点E,则△BCE的周长为() A.10 B.11 C.12 D.13 3.(25-26八年级上山东德州月考)如图，ABC的外角∠ACN,∠MAC的平分线CD、AD交于点D, DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,点P在BN上，∠ADP+∠ABC=180°，则下列结论中错误的是() 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B CF PN A.BD平分∠ABC B.S.DAB S.DBC =AB BC C.若∠BDC=31°，则∠DAM=49 D.BP-2AE=AB 二、填空题 4.(25-26八年级上·重庆江津·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长度为半径 画弧，分别交AC,AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心，大于。MN的长为半径画弧，两弧交于 点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=氵，AB=10,则△ABD的面积二 M 5.(25-26八年级上福建厦门期末)如图，在ABC中，AB=BC,AC=4cm,SBc=8cm,边BC的 垂直平分线为I,点D是边AC的中点，点P是I上的动点，则△PCD的周长的最小值是 6.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨月考)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BE平分∠ABC, AE=3,CD⊥BE,与BE的延长线交于点D,连接AD,F为BC边上一点，连接EF,则以下结论： ①LACD=∠CBD;②∠ADC+∠ADE=180°；③EF的最小值为3；④BE=2CD,其中所有正确结论的序号 是： 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7.(25-26八年级上全国·期末)如图，在ABC中，AC的垂直平分线EF交BC于点E,交AC于点F, AD⊥BC于点D,连接AE,且AB=CE, (I)求证：DE=DB; (2)若∠BAD=18°，求∠C的度数 8.(25-26八年级上·重庆万州期末)如图，在ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点 D,射线BD交AC的延长线于点N,连接CD M B (1)若AB=14,BC=8,CN=12,△BCN的面积为20，求△ABD的面积； (2)若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数， 9.(25-26八年级上·云南昆明·期末)如图，在ABC中，AB=AC,D为BC中点，连接AD,EF垂直平 分AC交AB于点E,交AD于点O,交AC于点F,连接OB,OC. (I)若∠CAD=20°，求∠BEF的度数： (2)求证：AOB是等腰三角形 10.(25-26八年级上河北衡水·期中)如图，在ABC中，直线1垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D, E,连接BD. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)若BD⊥AC,求∠DBC的度数； (2)若△ABD的周长是19，AC=10,求AB的长； (③)在线段DE上有一点P,其恰好也在边AC的垂直平分线上，求证：点P在边AB的垂直平分线上. 11.(25-26八年级上福建厦门期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D在AC的右侧且满足 BC=BD,∠DBC=B,连接AD,CD,其中2a+B=180°. M 备用图 (I)求证：LBAC=∠BDC; (②)如备用图，延长CD至点M,使得CM=BC. 求证：①AD平分∠BDM; ②点M在线段BA的延长线上. 12.(24-25八年级上河北廊坊期末)如图，在ABC中，∠ABC=∠ACB,BD⊥AC于点D,E是BC上 一点，连接AE,与BD相交于点O,连接OC,DE,且OB=OC. (1)求证：AE垂直平分BC: (2)若∠OED=∠ODE,求证：CO平分∠ACB; (3)若LBAC=60°，求证：△CDE是等边三角形. 13.(24-25八年级上河北邯郸·期末)(1)如图1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于 E,DF⊥AC于F,求证：AE=AF; (2)如图2，在(1)的情况下，如果∠MDN=∠EDF,∠MDN的两边分别与AB,AC相交于M,N两点， 10/12