专题6.1 圆的基本概念及性质（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题6.1 圆的基本概念及性质（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 圆的有关性质】 2 【题型1 圆的基本性质】 2 【题型2 利用垂径定理求值】 2 【题型3 垂径定理的应用】 4 【题型4 垂径定理与平行弦问题】 8 【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】 15 【题型6 圆周角定理】 22 【题型7 圆周角定理的推论】 25 【题型8 圆内接四边形】 30 【题型9 圆有关性质的计算与证明】 35 【考点二 与圆的有关性质的综合】 39 【题型10 圆的新定义问题】 44 【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】 44 【题型12 圆与函数综合问题】 53 【题型13 圆与最值问题】 66 【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】 78 【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】 84 【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】 90 【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】 99 【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】 108 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 圆的有关性质】 【题型1 圆的基本性质】 1．（2025福建莆田·模拟预测）A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径最大，一般弦，解答即可． 本题考查了圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：根据圆的性质，得最大是圆的直径，为12，最小是一般弦，大于零即． 故选C． 2．（2025黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】A 【分析】本题考查圆的相关知识，利用等弧的定义、切线的判定、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，故错误； （2）同圆或等圆中弦相等所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， （5）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．故错误； 正确的只有1个， 故选：A． 3．（2025·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 【答案】4 【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案． 【详解】解：设地球的半径为万里， 则， 解得， ∴火星的半径为万里， ∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为 万里． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 4．（2025·河北邯郸·二模）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 【答案】B 【分析】题目主要考查三角形三边关系及圆的基本性质，理解题意，根据题意得出，，然后再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵攀爬点都是某个圆的八等分点． ∴由图得，， ∴比较与的大小即可， 在中，， ∴嘉嘉的攀岩路程大于琪琪的攀岩路程， ∵他们同时出发且攀岩速度相同， ∴琪琪先完成， 故选：B． 【题型2 利用垂径定理求值】 5．（2025·广东·模拟预测）如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．根据垂径定理得出，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025四川成都·模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则 寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 7．（2025河南漯河·模拟预测）如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 8．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形性质和判定，掌握定理是解决问题的关键． （1）连接，先证明，可推出，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接，设，得出，表示出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为． 【题型3 垂径定理的应用】 9．（2025·云南昆明·一模）往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 【答案】圆柱形管道横截面的直径为 【分析】本题考查了垂径定理的应用及勾股定理．由题意可得，，根据垂径定理求得，设圆的半径为，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中， ∴， 解得：， ∴圆柱形管道横截面的直径为． 10．（2025安徽·模拟预测）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 11．（2025浙江杭州·模拟预测）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； (3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)该圆弧所在圆的半径10米 (3)①在抛物线型上时，货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，货船能顺利通过该桥；见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和垂径定理的应用以及勾股定理， 根据题意得，和，结合点A和点B设抛物线的解析式为，代入点C即可求得a； 设圆心为O，连接交于E点，连接，可得圆心距和半径之间关系，利用勾股定理即可求得半径； 当在抛物线型上时，当时，，由于，则判断货船不能顺利通过该桥；当在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，利用勾股定理求得，即可求得船顶距圆弧的距离，由于，则判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设圆心为O，连接交于E点，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则该圆弧所在圆的半径10米； （3）①在抛物线型上时，当时，， ∵， ∴货船不能顺利通过该桥； ②在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，如上图， 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴货船能顺利通过该桥． 12．（2025湖北武汉·模拟预测）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面． 经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．    (1)直接写出抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案） 【答案】(1)抛物线为：；的半径 (2) (3)6 【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． （1）根据已知抛物线顶点为，且过，，根据已知抛物线顶点为，且过，，代入求出的值即可；借助图形由垂径定理求出弧所在的半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【详解】（1）解：根据已知抛物线顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， 将代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 如图，圆心为，连接、，   ， 设，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； （2）解：锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 水面距离锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得：， 水面宽度为； （3）解：对于抛物线，如图所示：   ， 当时，， ； 对于，如图所示：   ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个． 【题型4 垂径定理与平行弦问题】 13．（2025·山东淄博·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE． 【详解】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC， ∵DE∥BC， ∴MN⊥BC，DG⊥DE， ∴四边形DMNG是矩形， ∴DG=MN， ∵OM⊥DE，ON⊥BC， ∴DM=EM=DE，BN=CN， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB． ∴CH=DH=CD=3， ∴OH==4， ∴BH=9， ∴BC==3， ∴BN=BC=， ∴ON=， ∵sin∠BCH=，即， ∴DG=， ∴MN=DG=， ∴OM=MN-ON=， ∴DM==， ∴DE=2DM=． 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 15．（2025安徽芜湖·模拟预测）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 16．（2025江苏泰州·模拟预测）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)的半径为或 (4) 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形； （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再根据在圆心位置分类讨论，画出图形求解即可； （4）利用（2）中规律得到，，再设，半径为，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （3）解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； （4）解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】 17．（2025湖北襄阳·模拟预测）如图，，是的直径，E是的中点，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一性质，弧与圆心角之间的关系，先由三线合一得到，再证明得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 18．如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到,再根据圆周角定理解答. 【详解】解：如图，连接, 点B是弧AC的中点， 由圆周角定理得，, 故选：D. 19．（2025·甘肃·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则___． 【答案】/10度 【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，直角三角形两锐角互余等知识． 如图所示，连接，首先由直径得到，然后求出，根据圆周角定理得到，进而求出，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵C是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 20．（2025·广东梅州·一模）如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是确定动点的运动轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，连接、，先由圆周角定理，得 ，为等腰直角三角形，得到，进而得到点D在点为圆心，为半径的上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、， ∵以为直径的，A为弧中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点为圆心，为半径的上运动， 在等腰直角中，同理得， 在中，， ∴， ∵ ∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为． 故答案为：． 【题型6 圆周角定理】 21．（2025山东青岛·模拟预测）如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得到，求出，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点A， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线的性质． 连接，如图，先根据切线的性质得，则利用互余可计算出，再根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____． 【答案】8 【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长． 【详解】连接AD， ∵∠ACB=90°， ∴AB是⊙O的直径． ∵∠ACB的角平分线交⊙O于D， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴AD=BD=5． ∵AB是⊙O的直径， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB==10． ∵AC=6， ∴BC==8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 24．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，证，得，再根据切线的性质得，据此即可得出结论； （2）连接，可得，则，在中根据，可得，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， , ； （2）解：连接，如图2所示： ， ， 又， ， ， 由（1）可知：； 在中，， ， ， 由勾股定理得：． 【题型7 圆周角定理的推论】 25．（2025·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 26．（2025新疆阿克苏·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为_______． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（2025·山东烟台·一模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由圆内接四边形性质得，由及同弧对的圆周角相等得，即平分，再结合已知即可得，问题得证； （2）由题意得是等边三角形，则得；再由平行得，利用含30度直角三角形的性质可分别求得，从而可求得半径． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是圆的直径； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴圆的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，同弧或等弧对的圆周角相等，直角对的弦为直径，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形性质等知识，掌握这些知识是关键． 28．（2025·江西景德镇·二模）如图是一个由小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹： (1)在图1中，在圆上找一点D，使得； (2)在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题通过作图考查了圆周角定理和垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是正确作图的关键． （1）连接交于，可知为直径，则，点即为所求； （2）取格点，，连接交于，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：由图可知，，，， ∴， ∴， 又∵经过A，B，C三个格点， ∴为的直径， 连接交于，可知为直径，则， 如图所示，点即为所求； （2）取格点，，连接交于，交于， 由图可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴直径， ∴， 即：点即为所求． 【题型8 圆内接四边形】 29．（2025云南昆明·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 30．（2025吉林长春·模拟预测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 31．（2025广东佛山·模拟预测）如图，四边形内接于，，延长至，，则的度数为___．    【答案】/65度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，解题的关键是能熟记圆内接四边形的对角互补． 根据邻补角互补求出，根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 32．（2025·安徽·模拟预测）如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理得到，则，利用圆内接四边形的性质得到，利用平角的定义得到，再利用等量代换即可证明； （2）连接、，利用垂径定理得到，，进而证出是等边三角形，则，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，利用圆周角定理求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型9 圆有关性质的计算与证明】 33．（2025·陕西西安·一模）如图，点均在上，连接，且经过圆心，延长交的切线于点，切点是． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质和圆周角定理及推论，相似三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，即可得到，然后根据圆周角定理的推论得到，即可得到结论； （2）根据两角相等得到，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 34．（2025·江苏南京·二模）如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证； （）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证； 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴都在的垂直平分线上， ∴． 35．（2025·福建福州·一模）如图，为的直径，弦，连接，E为上一点，，连接并延长交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，推出可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵是直径，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（2025安徽蚌埠·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键； （1）连接并延长，交于点E，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接交于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点E，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵与的边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接交于点F，如图所示： 由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【考点二 与圆的有关性质的综合】 【题型10 圆的新定义问题】 37．（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 38．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ． (2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形． (3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据新定义，分类讨论：①当和互余时，②当与互余时，逐个分析求解即可； （2）先推导出，则，即可解答； （3）将绕点B逆时针旋转得到连接则≌，，推导出是等边三角形，得到，继而证明，则，得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是对余四边形， 当和互余时， ， 当与互余时， ， 则， 故答案为：或； （2）解：连接OB， 是的直径，点A、B、C在上， ∴，， ， 即， 四边形是对余四边形． （3）解：猜想：线段、和之间的数量关系为 理由如下：， 将绕点B逆时针旋转得到连接，如图， 则≌，， ，，， 为等边三角形， ， ， 。 ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查新定义，互余，圆周角，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，掌握知识点是解题的关键． 39．（2025·河南·三模）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角， (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD． 求证：______． 证明： (2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)弦CE的长为21 【分析】（1）过点，作，根据垂径定理和圆周角定理可得，根据切线的性质可得，即可得，进而即可证明； （2）过点作，勾股定理 的长，在中，勾股定理求得，进而即可求得的长． 【详解】（1）求证： 证明：如图，过点作， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， （2）如图，过点作， AB为⊙O的切线，CD⊥AB， 四边形是矩形， ， 在中， 设圆的半径为，则， 在中， 即 解得 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理以及切线的性质是解题的关键． 40．（2025湖南长沙·模拟预测）新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 【答案】(1)③④ (2)都是“勤业三角形”，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“勤业三角形”的定义进行计算，即可一一判定； （2）如图，连接，设．，可证得，可得，结合，可得，即可判定和都是“勤业三角形”； （3）如图，过点G作交于点I，可得，可证得，设，则，利用，可求得，，从而可得答案． 【详解】（1）解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形”； ②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”； ③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形”； ④如图：中，，过点A作于点D， ， 设，则， ， ， 含角的等腰三角形是“勤业三角形”； 故答案为：③④； （2）解：和都是“勤业三角形”， 证明如下： 如图：连接，设， ， ， ， 又， ，即， ， 又， ， ， ， ， ， ，， 和都是“勤业三角形”； （3）解：如图：过点G作交于点I， ， ， ， ， ， ， 设， 由（2）知，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了新定义问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理等有关知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】 41．（2025·湖南长沙·模拟预测）对凸四边形我们进行约定：若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． (1)判断下列说法是否正确（正确的请在题后括号内打“”，错误的打“”）． 所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形；（  ） 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形；（  ） 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形．（  ） (2)如图，在中，，于点，分别为的中点． 四边形为“___________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； 若和的面积分别为和，求四边形的面积； (3)如图，在中，已知是的弦，作，，分别交于点和点，连接． 求证：四边形是“线垂且等”四边形； 如图，已知且对角线与交于点，若的半径为，到的距离为，求弦的长度． 【答案】(1)；； (2)线等不垂； ； (3)见解析； ． 【分析】（）根据题中定义即可判断； （）如图，连接，，交于点，由中位线定理得，，根据直角三角形斜边上的中线性质，，，由，则有，从而即可判断； 根据三角形中线的定义和面积和差即可求解； （）连接，，与相交于点，再根据“线垂且等”四边形的定义即可求证； 过点作于点，证明，则，即，再根据到的距离为，即，设，则，然后代入求出，再证明，则，故，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形，此说法错误； 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形，此说法正确； 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形，此说法正确； 故答案为：，，； （2）如图，连接，，交于点， ∵分别为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为“线等不垂”四边形， 故答案为：线等不垂； ∵，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接，，与相交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是“线垂且等”四边形； 解：如图，∵，， ∴， 由知，， ∴， 过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵到的距离为，即， 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，解一元二次方程、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 42．（2025·四川泸州·三模）如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于． (1)求证：． (2)设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）． （2.1）求证：． （2.2）求证：． 【答案】(1)见详解； (2)（2.1）见详解；（2.2）见详解 【分析】（1）通过连接并延长，交于，连接，，，，利用垂径定理和圆周角定理、圆心角定理及三角形中位线的性质来证明． （2）（2.1）构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，再通过相似三角形的性质来证明，进而可得． （2.2），根据圆内接四边形的性质得到，进而证明，得，同法可证明 ，得，从而得出． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ； （2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为， ； （2.2）证明：根据题意作图如下： 连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 于，于， ， ， ， 于， 于， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要涉及圆内接四边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识．准确作出辅助线找到线段、角之间的关系是正确解答此题的关键． 43．（2025·江苏泰州·一模）已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点． (1)如图1，若经过圆心． ①求的长； ②求的度数； (2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①8；② (2)不变，见解析 (3) 【分析】（1）①根据勾股定理可得答案； ②根据“弧，弦，圆心角的关系”得，然后根据得出答案； （2）连接，并延长交于点F，连接，根据勾股定理求出， 可得，进而得，，然后根据可得答案； （3）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，然后根据可得部分取值范围，接下来根据当点H，O，G三点共线时最大，结合面积公式得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意可知， ∵是的直径，且， ∴， 根据勾股定理，得； ②∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 如图所示，连接，并延长交于点F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点O作，交于点G，H， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 即． 当点H，O，G三点共线时最大， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了“弧，弦，圆心角的关系”，圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键． 44．（2025陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，内接于半径为的，点A是上的动点，且点A，位于两侧． ①弦的最大值为______；（用含的代数式表示） ②连接，．若的半径为，，求点A到距离的最大值． 【问题解决】 （2）如图②，是一个公园的平面示意图，，，，为了人们能更好的放松娱乐，现要扩大公园使其成为一个四边形，根据设计要求，需使，是否可以建一个满足要求的面积最大的四边形公园？若可以，求出满足要求的四边形的最大面积；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②9；（2） 【分析】（1）①利用直径是圆中最长的弦的性质解答即可； ②连结、，过点A作于点，过点作于点，并反向延长，交于点，连接，利用圆周角定理和垂径定理解答即可； （2）作的垂直平分线，在上取一点，连接，，使，可得点A，D，C，M在同一个圆上，作出该圆，则圆心在上，连接，，直线交于点，连接，，利用前面的结论可知：当点D，重合时，的面积最大；利用圆周角定理，等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】解：（1）①直径是圆中最长的弦， 当为圆的直径时， 取得最大值， 的最大值为， 故答案为：； ②如图1，连接，，过点A作于点，过点作于点，并反向延长，交于点，连接． 由题易知四边形为的内接四边形， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴点A到距离的最大值为9． （2）可以建一个满足要求的面积最大的四边形公园． 理由如下： ∵，，， ∴． ∴的面积一定，若使四边形的面积最大，则的面积最大即可． 如图2，作的垂直平分线，在上取一点，连接，，使． ∵， ∴． ∴点A，，，在同一个圆上． 作出该圆，则圆心在上，连接，，直线交于点，连接，． 由（1）的结论可知当点，重合时，的面积最大，为． ∵， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形的最大面积 ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，直径是圆中最长的弦，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 【题型12 圆与函数综合问题】 45．（2025安徽安庆·模拟预测）如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，二次函数关系式，中位线定理，勾股定理的应用，由为边的中点，，则，从而得知点在以为圆心，长度为半径的圆上，由垂径定理得出，，则，，再由中位线性质得，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为边的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， 在和中， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴选项图象符合题意， 故选：． 46．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，弧是直径所对的半圆弧，是弧上一定点，是弧上一动点，连接，已知，设D，A两点间的距离为两点间的距离为，两点间的距离为． 小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． (1)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 m 0 0 则表中m的值为______； (2)在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题（结果均精确到）： ①当时，的长为______； ②连接，当是等腰三角形时，的长度约为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)① ②或 【分析】（1）根据题意，得，根据勾股定理，得，当时，解答即可； （2）根据描点法画图象解答即可； （3）①过点作于点G，设，当，则，根据勾股定理，圆的性质，三角函数解答即可； ②利用等腰三角形的定义进行分类，结合勾股定理，垂径定理解答即可． 本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的定义，三角形中位线定理，描点法画图象，熟练掌握圆的性质，垂径定理，勾股定理等是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵弧是直径所对的半圆弧， ∴， ∵， ∴， ∴当时， ， 故答案为：． （2）解：根据描点法画图象，画图如下： （3）解：①过点作于点G，设，当， 则， 根据题意，当点D与点B重合时，，， 此时， ∵弧是直径所对的半圆弧， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， 故， 整理，得， 解得或（舍去）， 故， 故， 故答案为：； ②解：当时，连接，交于点P， 根据垂径定理的推论，得，且， 又， 故， 故是的中位线， 故， 设，则，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故； 当时，连接，交于点R， 根据垂径定理的推论，得，且， 又， 故， 故， 故， 根据勾股定理，得， 当时，三角形不存在； 综上所述，的长度约为或． 47．（2025·上海杨浦·二模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． (1)如图1，当点G与点O重合时，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据弧、圆心角的关系，以及对顶角的性质得出，结合平角定义求出，根据余弦定义求出，即可求解； （2）连接，，，，设与相交于H，根据垂径定理得出，根据弧、弦、圆心角的关系得出，，结合（1）可得，，结合平角定义求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据垂径定理、垂直平分线的性质得出，进而求出，然后证明，得出，证明是等腰三角形，得出，则可化简为，最后解方程即可； （3）分情况讨论：当C在上时，连接，，，过F作与于H，证明 ，得出，证明，得出，在和中，根据勾股定理得出，则可求出即可求出y关于x的函数解析式；当C在上时，同理求解即可． 【详解】（1）解∶连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F是弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，，，设与相交于H， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得（负值舍去）； （3）解：当C在上时，连接，，，过F作与于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 化简得， ∴（负值舍去）， ∴； 当C在上时，连接，，，过F作与于H， 同理可求出， ， 解得 ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 48．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)弦的长度是定值．弦的长为6 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可； （3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）弦的长度是定值．理由如下： 如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：， 设点的坐标为，则． ， ∴． ， ． ， ， ∴弦的长度为定值． （3）证明：设直线的解析式为， 直线过点， ，解得：， ∴； 设，则且， ， ， ． ①当时，点在对称轴左侧，如图2， ． ， 的坐标为， ，又， 三角形是等边三角形． ②当时，在对称轴右侧，如图3， ， ， 的坐标为， ， ，又， 三角形是等边三角形． 【题型13 圆与最值问题】 49．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 50．（2025江西景德镇·模拟预测）如图，为半圆弧的中点，为弧上任意一点，且与交于点，连接． 若，则的最小值为_________ 【答案】 【分析】设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，先根据正方形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后判断出点四点共圆，且所在圆的圆心为点，由此可得，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得． 【详解】解：如图，设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接， 为半圆弧的中点， ， 又， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形，， 由圆周角定理得：， ，即， ， ， 又， 点四点共圆，且所在圆的圆心为点， ， 由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：，即，当且仅当点共线时，等号成立， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、圆心角定理等知识点，通过作辅助线，构造出点四点共圆是解题关键． 51．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基础知识，弦心距的计算，线段最大值的计算，掌握直径所对圆周角是直角，弦心距的计算，点的运动及线段最大值的计算是关键． 如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 52．（2025·江苏无锡·一模）如图，等腰三角形内接于圆，，，点是边上一动点，连接并延长交圆于点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】过作于点，过作交延长线于点，连接，，，证明，则，由，则，然后证明是等边三角形，故有，设，然后由勾股定理可得：，所以最大，则有最大，则为中点时，最大，即点三点共线，再求出，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，过作于点，过作交延长线于点，连接，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 设， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴最大，则有最大， ∴当为中点时，最大，即点三点共线， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆的有关性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】 53．（2025湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 54．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在菱形中，过三点的交于点，过点作的切线分别交于点，连结交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质，得出，，，再证明，根据平行线分线段成比例，列出比例式，从而可求得，设，可用分别表示出，，进而表示出，，从而可表示出，，再利用垂径定理，得到关于的方程求解，再求出． 【详解】解：连结， ∵四边形是菱形，，是对角线，， ∴，，， ∵过点作的切线分别交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：或（舍去）， ∴． 故答案：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，由平行截线求相关线段的长或比值，垂径定理，切线的性质等知识点，解题关键是利用垂径定理得到关于未知数的方程． 55．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，的直径，弦，且于点，连接，以，为边作平行四边形，连接，交于点，则______． 【答案】 【分析】过点作于点，交的延长线于点，连接，由勾股定理得 由平行四边形的性质得，，再证明四边形是矩形得进而求得 再证明，利用相似三角形的性质即可得解。 【详解】解：过点作于点，交的延长线于点，连接， ∵，是的直径，，， ∴，， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，矩形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 56．（2025重庆开州·模拟预测）如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____，_____． 【答案】 【分析】过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，，证明，得到，设，则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴，， ∵为圆O直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点O作于H，连接， 则，， 在中，， ∴， ∵是的直径， ∴， 由中位线定理可得， ∵切于D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（舍去）； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题． 【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】 57．（2025·浙江杭州·一模）如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于_______． 【答案】 【分析】本题考查折叠圆问题，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据折叠得到等圆，结合所对的弧不同得到即，再结合和圆周角定理得到，即可得到，，，代入得到，解得，最后计算即可． 【详解】解：连接，，设半径为， ∵， ∴设，， ∵将圆形纸片沿着折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为直径的， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 58．（2025重庆沙坪坝·模拟预测）如图，四边形内接于⊙，为直径，直线交过点的切线于点，交的延长线于点．若，，则的长是_____，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，连接，可得，即得，得到，即可得到；延长交的延长线于点，连接，由得，即得，得到，再由得，进而可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 延长交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12，． 59．（2025·上海·二模）如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先由三角形中位线定理求得，再由垂径定理结合同圆中等弧对等弦得到，则，而，那么，故，再由三角形的外角性质即可证明； （2）可得，则，由圆周角定理得到，故，则点共圆，那么，可证明，则，再等量代换求证即可． 【详解】（1）证明：如图： ∵是直径， ∴， ∵分别为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧与弦的关系，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 60．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知为的切线，点B 为上一点，连接、，与交于点D，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2， 过O点作 于G交于点E，交于点K，连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点M，交于点P，点N为中点，连接，若 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接、、，设，，由圆周角定理得出，再由圆切线定义以及三角形内角和定理得出，再结合已知条件和三角形外角的定义和性质可得出，进而可得出，根据等角对等边即可得出． （2）连接，，先得出，由全等三角形的性质得出，进而可得出，由等弧所对的圆周角相等得出，由三角形外角的定义和性质结合（1）即可得出，进而可得出． （3）连接交与H、连接、、，先证明 四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，由弧和角的关系以及解直角三角形的相关计算进一步得出，再根据等角三角形三线合一的性质以及三角形内角和定理得出，最后解直角三角形即可求出． 【详解】（1）解：如图连接、、， 设，， ∵， ∴ ∵与相切，且 ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：连接，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， 由（1）知， ∴ ∴． （3）解∶ 连接交与H、连接、、， 由（1）和（2）可知： ∴ ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 又∵N是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得：，（负值舍去） ∴ 【点睛】本题主要考查了弧和圆心角的关系，垂径定理，圆切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大． 【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】 61．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直交于，连接，F为上一点，连接，过作交于点，交于点，若则的长度为_____；连接，则长度为_____． 【答案】 4 【分析】连接，设 在中，，解得：，即，则，连接，根据求出，在中求出，由求出，由得到，即可求出． 【详解】解：连接， 设 ， ， ∴，， 在中，， ∴， 解得：，即，则， 连接， ， ， 即， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：①；②． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键． 62．（2025·浙江绍兴·三模）如图，点C是为直径的半圆上一点（O为圆心），以为边向上作正方形和正方形，点P是的中点．若，，则多边形的面积是________ 【答案】82 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，完全平方公式的变形求值，圆的性质，连接，过点B作交于M，取的中点N，连接，可证明，由正方形的性质可得 ，则可证明三点共线，三点共线，则，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明四边形是平行四边形，得到；由三角形中位线定理得到，则可证明三点共线，可推出，进而得到，由勾股定理得，则可求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点B作交于M，取的中点N，连接， ∵为半圆的直径， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴三点共线，三点共线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵N、P分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵点O和点N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：82． 63．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质得到，结合得到，根据圆周角定理求出，进而证明，即可证明； （2）连接，证明，根据得到，证明，得到，求出，﹒再依次求出，，，即可求出的半径为﹒ 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵与相切于点E， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴﹒ ∴， ∴； （2）解：连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴的半径为﹒ 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，综合性强，难度较大﹒ 64．（2025·广西桂林·二模）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可； （3）由圆周角定理得到，再根据菱形的性质得到，解直角三角形求出，由（1）知，进而推出，，进而求出，再根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵是的直径，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理、不规则图形的面积、菱形的性质和解直角三角形．掌握切线的性质，圆的基本性质，解直角三角形是解题的关键． 【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】 65．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，是的中点，是边上任意一点（不与端点重合）连结交于点，过三点的圆交于点（异于两点），连结． (1)若，，求的度数． (2)若是的中点，求的值． (3)求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 【分析】（1）首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进一步解得，即可求出的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）过E作交于点H，证明，∴设，得到，设，则，，则，那么； （3）过A作，交的延长线于点K，在作，利用平行线截线段成比例得出，证明，由全等三角形的性质得出，，再推出，即可得出． 【详解】（1）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接与圆， ∴ （2）解：∵为中点， ∴， 过点交于点， ∴， ∴，， ∴设， ∵为中点， ∴， ∴， ∴ 设，则，， ∴， ∴； （3）证明：过A作，交的延长线于点K，在作， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形、直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 66．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，四边形内接于，对角线与交于点E，平分． (1)求证：； (2)过点D作于点H，求证：； (3)在（2）的条件下，，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据弧、弦、圆周角的关系即可求证； （2）延长至点K，使，连接，证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求证； （3）过A作于点G，在上截取，连接，作直径，连接，根据以及圆周角定理可得，设，则，可得，然后等腰三角形的性质可得，，从而得到，然后根据，可求出，再由勾股定理可得，再根据，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至点K，使，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过A作于点G，在上截取，连接，作直径，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ，解得：， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题主要查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 67．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，是的中点，是边上任意一点（不与端点重合）．连接交于点，的外接圆交于点（异于，两点），连接． (1)若，，求的度数． (2)若，求的值（用含的代数式表示）． (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进一步解得，即可求出的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）过E作交于点H，利用平行线截线段成比例得出，再利用平行线截线段成比例即可求出 （3）过A作，交的延长线于点K，在作，利用平行线截线段成比例得出，证明，由全等三角形的性质得出，，再推出，即可得出 【详解】（1）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接与圆， ∴ （2）解：如图，过E作交于点H， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）证明：过A作，交的延长线于点K，在作， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形内接与圆， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形、直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 68．（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求解即可； （2）连接，由直径可得，再结合等边对等角的性质，推出，则，即可证明结论； （3）连接、、、．延长、交于点，根据垂直平分线的判定定理，推出是的直径，证明，得到，再证明，得到，证明，设，，，，得出，进而得出，再根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是四边形的外接圆， ， ， ； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ，即， ， ∵为半径， ∴直线是的切线； （3）解：如图，连接、、、．延长、交于点， ∵点是劣弧的中点， ∴劣弧劣弧， ∴， ∵，， ∴、、三点都在的垂直平分线上， ∴是的直径， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵、为直径， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，，，， ， ， ， ， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】 69．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：在中，都是直径，E、F分别在上，且，连接、 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于H，G在上，连接，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于N，连接交于M，若M为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）证明，再证明，即可得出； （3）连接，证明，得出，设，则，得出，求出，作于L，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 为直径 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接， 是的直径， ， 由（2）知， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， 作于L， ，， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，考查了圆周角定理及其推论，弧弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键． 70．（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7，则线段的最大值为__________； 【问题探究】 （2）如图②，以正方形的边为直径作半圆，圆心为，为半圆上一动点，若正方形的边长为2，求长度的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某植物园有一块圆形游览区，经测量，的直径为8km，通道km．为方便游客游玩过程中休息，计划建造一块三角形休息区，并设立一些茶点铺．按规划设计要求，点为优弧上一点，，与通道的延长线交于点，为充分满足高峰期游客需求，要求休息区的面积尽可能大．请问，是否存在符合要求的休息区？若存在，求出休息区面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，休息区面积的最大值为 【分析】本题属于圆的综合题，涉及圆的基本知识，正方形的性质，勾股定理等知识． （1）当过圆心即可求解； （2）连接，，由正方形得到，，则，再根据，得到当在上时，取得最大值； （3）连接过的直径，连接，，则，以为边作等边三角形，再以为圆心长为半径画，则，先求出，得到，则，点在上运动，，当交于时，面积的最大，求出最大高，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7， ∴，， 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变，可知此时最大， ∴最大值， 故答案为：12； （2）连接，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵以正方形的边为直径作半圆，圆心为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当在上时，取得最大值； （3）连接过的直径，连接，，则，以为边作等边三角形，再以为圆心长为半径画，则， 由题意可得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动，， ∴当交于时，面积的最大， 此时，， ∴， ∴， ∴存在，休息区面积的最大值为． 71．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，、、、四点内接于圆，且对角线与垂直，满足． (1)求证：； (2)过点作于，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，结合，即可证明； （2）作直径，连接、，和交于点，根据垂径定理可知，推出是的中位线，得到；然后根据直径所对圆周角为直角和可证的，结合四边形是圆的内接四边形，可推出，得到，进而得到，即，得证． 【详解】（1）证明：， ， 和为所对圆周角， ， ． （2）证明：作直径，连接、，和交于点，如图所示， 则， 又， ， 是的中位线， ； 为直径，为圆上的一点， ， ， ， ， ， 又四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，圆的内接四边形的性质，三角形的中位线的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判断与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 72．（2025广东佛山·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，．D是半径上一点（不与点A重合），连接．把沿翻折得到，与交于点F．连接． (1)如图1，当与相切时，求证：是等腰三角形； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，勾股定理，折叠的性质，三角形中位线定理，正确作出辅助线和熟知折叠的性质是解题的关键。 （1）根据是的直径得，则，根据切线的性质得，推出，根据折叠的性质得，继而得到，即可得证； （2）如图，过点C作于点H，设，根据勾股定理，根据，得，根据折叠的性质得，推出，求出，再根据，可求得，即可得出结论； （3）如图，过点C作于点H，连接交于点G，根据题意得，根据折叠的性质得，推出垂直平分，由推出，则最后根据三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的外接圆，是的直径， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴，即， ∵把沿翻折得到， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图，过点C作于点H，设， ∵是的外接圆，是的直径， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵把沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 即的值为； （3）解：如图，过点C作于点H，连接交于点G， 由（2）知，， ∵点D与点O重合， ∴， ∵把沿翻折得到， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，根据等边对等角得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，是的直径，弦于点，，的半径为，则弦的长为(    )    A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理．先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解： ， ， ， ，， ， ， 的半径为，即， ， ， ． 故选：C 3．（2025·北京石景山·一模）如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、圆心角的关系，先根据圆周角定理求出的度数，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·四川广安·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，的直径为，则弧的长为 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求弧长，圆周角定理，垂径定理的推论，根据圆周角定理可得，进而可得，根据已知得出，利用垂径定理的推论得出，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵的直径为， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴， ∴弧的长为， 故选：C． 5．（2025·重庆沙坪坝·一模）如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 6．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 _______． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了圆有关的概念，切线的性质，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．由优弧，弦，圆周角的概念及切线的性质可得出答案． 【详解】解：由图可知圆上及圆上是优弧，故①②正确， 由弦的定义可知线段是弦，故③正确； ∵切圆O于点D， ∴不是圆周角， 故④错误； ∵A，C是圆上的点， ∴是圆心角，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 7．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 8．（2025·湖北黄冈·中考模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 【答案】28 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，半圆O中，过点O且，点C，D分别是的三等分点，连接，交于点E，则图中阴影部分的面积为__________．    【答案】 【分析】如图，连接交于，连接，由C，D分别是的三等分点，可得，，，由圆周角定理得，，由，，可得，，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接交于，连接，    ∵C，D分别是的三等分点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形的面积，正切，等边对等角，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．（2025·江苏苏州·二模）如图，已知等腰中，，点D、E分别为边上任意点，以为直径作圆正好经过点C，与交于点F，则面积最大值为________．    【答案】 【分析】连接，利用圆内接四边形的性质求得，证明，推出，设，则，，作交延长线于点G，利用三角形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：连接，    由题意得，四边形是圆内接四边形， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， 作交延长线于点G，则， ∴， ∴， ∵， ∴当即时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，证明是解题的关键． 三、解答题 11．如图，已知为的直径，过上点C的切线交的延长线于点E，于点D．且交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质首先得出，再利用平行线的判定得出，进而利用圆周角、圆心角定理得出； （2）首先求出，进而得出r的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出． 12．（2025·宁夏吴忠·二模）如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据，则，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）根据，垂径定理，得，连接，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，根据，则，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．即的直径为6. 13．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题． 【答案】直径的长为寸 【分析】连接，设的半径为r，利用垂径定理得到寸，再利用勾股定理求解即可． 【详解】接：连接，设的半径为r， ∵是的直径，， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∴，解得， ∴，即直径的长为寸． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 14．（2025·山东济南·三模）如图，⊙O是的外接圆，是⊙O的直径，点D在⊙O上，，连接，延长交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答； （2）根据等边对等角可得，由四边形是的内接四边形，可得，进而可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后再证，利用相似三角形的性质可求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ； （2）解：与相切于点， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的长为． 15．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，点在的边上，过点、、的切于点，直径交于点，连接、，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用切线的性质、三角形的内角和定理、等量代换及直径所对的圆周角为直角进行证明即可； （2）过C作于H，交的延长线于G，利用角的互余关系及已知条件可得，进而得出，从而；利用勾股定理求得、，然后得出、的长，进而由等腰三角形的三线合一性质得出的值，然后利用求得答案即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：过C作于H，交的延长线于G，如图： ∵， ∴， 又∵； ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形与解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． B组 培优提升练 一、单选题 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键． 先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选：C． 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在中，，直径于点是上一点，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图所示，由弦与弧的关系得到，再由垂径定理得到，利用特殊角的三角函数值解得，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    ， ， 直径， ， 在中，，则，解得， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及弦与弧的关系、垂径定理、特殊角的三角函数及圆周角定理等知识，熟记圆的性质及特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（　　） A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，连接并延长交于，连接，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，求出，再由圆内接四边形的性质可得，即可得出，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接， ∵是直径， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， 故选：D． 4．如图，A，P，B，C是上的四点，．若四边形面积为，且，则的半径为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作于，由圆内接四边形对角互补，等弧所对的圆周角相等、弦长相等，可证是等边三角形，，如图，连接，过作于，则，，设，则，，，，在中，由勾股定理求的值，根据 ，计算求解满足要求的值，进而可求的值． 【详解】解：如图，过作于， 由题意知，，，，， ∴，是等边三角形，， 如图，连接，过作于， ∴，， 设，则，，，， 在中，由勾股定理得，， ∵ ， ∴， 解得，，（不合题意，舍去） ∴． ∴， ∴半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，等弧所对的圆周角相等、弦长相等，等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，特殊角的三角函数值，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．如图，等边三角形的边长为，半圆的直径为1，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（    ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值；结论Ⅱ：使得的值有两个； 结论Ⅲ：点运动的路径长为． A．Ⅰ对Ⅱ对 B．Ⅱ错Ⅲ对 C．Ⅰ对Ⅲ错 D．Ⅰ错Ⅲ对 【答案】B 【分析】求出即可得判断结论Ⅰ；先根据圆周角定理求出，从而可得，由此即可得判断结论Ⅱ；取点的运动轨迹所在圆上一点，先根据圆内接四边形的性质可得，根据圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可得． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 的长与的长之和为定值，结论Ⅰ正确； 由圆周角定理得：， ，为定值， 则使得的值有无数个，结论Ⅱ错误； 点的运动轨迹是一段弧， 如图，取点的运动轨迹所在圆上一点，则， ， 如图，连接，则，（等腰三角形的三线合一）， 半圆的直径为1， ， ， 点运动的路径长为，结论Ⅲ正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、解直角三角形等知识点，正确得出点的运动轨迹是解题关键． 二、填空题 6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为___________m． 【答案】/ 【分析】根据垂径定理可得设圆的半径为x，则在Rt中，根据勾股定理列方程即可求出x的值. 【详解】∵点C是 的中点 ∴，且 设圆O的半径为x，则 在Rt△中， 解得（舍去) ∴   故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及一元二次方程.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.熟练掌握垂径定理是解题的关键. 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图， 的两条弦、的延长线交于C点，的平分线过点O，请直接写出图中一对相等的线段：____________． 【答案】（或或） 【分析】根据圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线；角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线结合进行判断．此题关键是根据图形的对称性，分析可以重合的线段． 【详解】这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线，根据轴对称的性质，得或或． 故答案为：（或或）． 8．（2025·黑龙江·一模）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 _______ 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·黑龙江·一模）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，连接，可得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，，进而根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为________． 【答案】或/或1 【分析】求出直线的解析式为：，求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点C作于H，连接，则，得出，说明要想最小，则要使最大，根据的最小值为8，得出的最小值为4，求出，根据当点H与点重合时，最大，得出，解方程即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点C作于H，连接，则， ∴， ∴要想最小，则要使最大， ∵的最小值为8，即的最小值为4， ∴， 当点H与点重合时，最大， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元二次方程，一次函数与几何综合等，正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键． 三、解答题 11．图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理： （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 12．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据得到，再根据圆周角定理得出，进而得到，即可求证； （2）由题意可得，，证明，得到，进而得到，再证明，推出，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合问题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，找到边长之间的关系以及角之间的关系是解题的关键． 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，，，，分别为上一点，连，，，，，垂直于于，，连并延长交于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长交于点，交于点，如图，先由得到，则根据垂径定理得到，再根据等角的余角相等得到，接着根据圆周角定理得到，所以，从而得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再计算出，接着证明，然后利用相似比求出，从而得到的半径． 【详解】（1）证明：延长交于点，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， 在中，， 为直径， ， ，， ∴， ，即， 解得， 的半径为 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质． 14．（2025·天津河西·三模）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，延长，交于点F，与交于点G． （Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求的度数； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键． （Ⅰ）先求出弧的度数，再根据圆周角定理可得，由此即可得； （Ⅱ）连接，先求出，从而可得，再根据垂径定理可得，然后设的半径为，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（Ⅰ）∵为的直径，点为的中点，点为的中点， ∴， ∴弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，连接， ∵为的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 15．（2025·江苏常州·一模）如图，点是中边上一点，以为直径的与相切于点，连接． (1)判断与是否相似？并说明理由． (2)若的半径为3，，求的长度． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)4 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质，等角的余角相等和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理，相似三角形的性质定理得到，设，则，，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：与相似，理由： 连接，如图， 为的切线， ， ． 为直径， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ． ， ． 的半径为3， ． 设，则，， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 圆的基本概念及性质（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 圆的有关性质】 2 【题型1 圆的基本性质】 2 【题型2 利用垂径定理求值】 2 【题型3 垂径定理的应用】 2 【题型4 垂径定理与平行弦问题】 4 【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】 5 【题型6 圆周角定理】 6 【题型7 圆周角定理的推论】 7 【题型8 圆内接四边形】 9 【题型9 圆有关性质的计算与证明】 10 【考点二 与圆的有关性质的综合】 11 【题型10 圆的新定义问题】 12 【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】 12 【题型12 圆与函数综合问题】 14 【题型13 圆与最值问题】 16 【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】 18 【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】 20 【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】 21 【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】 22 【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】 23 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 圆的有关性质】 【题型1 圆的基本性质】 1．（2025福建莆田·模拟预测）A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 3．（2025·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 4．（2025·河北邯郸·二模）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点．嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图1，图2所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点，则下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉先完成 B．琪琪先完成 C．嘉嘉、琪琪同时完成 D．无法判断 【题型2 利用垂径定理求值】 5．（2025·广东·模拟预测）如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 6．（2025四川成都·模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 7．（2025河南漯河·模拟预测）如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【题型3 垂径定理的应用】 9．（2025·云南昆明·一模）往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 10．（2025安徽·模拟预测）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 11．（2025浙江杭州·模拟预测）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； (3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 12．（2025湖北武汉·模拟预测）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面． 经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．    (1)直接写出抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案） 【题型4 垂径定理与平行弦问题】 13．（2025·山东淄博·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （   ） A． B． C．6 D． 14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 15．（2025安徽芜湖·模拟预测）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 16．（2025江苏泰州·模拟预测）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】 17．（2025湖北襄阳·模拟预测）如图，，是的直径，E是的中点，，的度数是（   ） A． B． C． D． 18．如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 19．（2025·甘肃·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则___． 20．（2025·广东梅州·一模）如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为_____． 【题型6 圆周角定理】 21．（2025山东青岛·模拟预测）如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____． 24．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型7 圆周角定理的推论】 25．（2025·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 26．（2025新疆阿克苏·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为_______． 27．（2025·山东烟台·一模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长． 28．（2025·江西景德镇·二模）如图是一个由小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹： (1)在图1中，在圆上找一点D，使得； (2)在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧的中点． 【题型8 圆内接四边形】 29．（2025云南昆明·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 30．（2025吉林长春·模拟预测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．（2025广东佛山·模拟预测）如图，四边形内接于，，延长至，，则的度数为___．    32．（2025·安徽·模拟预测）如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，． (1)求证：； (2)若，，F为的中点，求的长． 【题型9 圆有关性质的计算与证明】 33．（2025·陕西西安·一模）如图，点均在上，连接，且经过圆心，延长交的切线于点，切点是． (1)求证：； (2)若，求的长． 34．（2025·江苏南京·二模）如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 35．（2025·福建福州·一模）如图，为的直径，弦，连接，E为上一点，，连接并延长交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求． 36．（2025安徽蚌埠·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若平分，连接，求证：． 【考点二 与圆的有关性质的综合】 【题型10 圆的新定义问题】 37．（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 38．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ． (2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形． (3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 39．（2025·河南·三模）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角， (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD． 求证：______． 证明： (2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2，求弦CE的长． 40．（2025湖南长沙·模拟预测）新定义：有两边之比为的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是的内接三角形，为直径，D为上一点，且，作，交线段于点F，交于点E，连接交于点G．试判断和是否是“勤业三角形”并证明． (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值 【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】 41．（2025·湖南长沙·模拟预测）对凸四边形我们进行约定：若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． (1)判断下列说法是否正确（正确的请在题后括号内打“”，错误的打“”）． 所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形；（  ） 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形；（  ） 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形．（  ） (2)如图，在中，，于点，分别为的中点． 四边形为“___________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； 若和的面积分别为和，求四边形的面积； (3)如图，在中，已知是的弦，作，，分别交于点和点，连接． 求证：四边形是“线垂且等”四边形； 如图，已知且对角线与交于点，若的半径为，到的距离为，求弦的长度． 42．（2025·四川泸州·三模）如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于． (1)求证：． (2)设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）． （2.1）求证：． （2.2）求证：． 43．（2025·江苏泰州·一模）已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点． (1)如图1，若经过圆心． ①求的长； ②求的度数； (2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围． 44．（2025陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，内接于半径为的，点A是上的动点，且点A，位于两侧． ①弦的最大值为______；（用含的代数式表示） ②连接，．若的半径为，，求点A到距离的最大值． 【问题解决】 （2）如图②，是一个公园的平面示意图，，，，为了人们能更好的放松娱乐，现要扩大公园使其成为一个四边形，根据设计要求，需使，是否可以建一个满足要求的面积最大的四边形公园？若可以，求出满足要求的四边形的最大面积；若不可以，请说明理由． 【题型12 圆与函数综合问题】 45．（2025安徽安庆·模拟预测）如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（        ） A． B． C． D． 46．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，弧是直径所对的半圆弧，是弧上一定点，是弧上一动点，连接，已知，设D，A两点间的距离为两点间的距离为，两点间的距离为． 小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． (1)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 m 0 0 则表中m的值为______； (2)在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题（结果均精确到）： ①当时，的长为______； ②连接，当是等腰三角形时，的长度约为______． 47．（2025·上海杨浦·二模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． (1)如图1，当点G与点O重合时，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 48．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【题型13 圆与最值问题】 49．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 50．（2025江西景德镇·模拟预测）如图，为半圆弧的中点，为弧上任意一点，且与交于点，连接． 若，则的最小值为_________ 51．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 52．（2025·江苏无锡·一模）如图，等腰三角形内接于圆，，，点是边上一动点，连接并延长交圆于点，则的最大值为______． 【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】 53．（2025湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为_____ ． 54．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在菱形中，过三点的交于点，过点作的切线分别交于点，连结交于点．若，则的长为__________． 55．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，的直径，弦，且于点，连接，以，为边作平行四边形，连接，交于点，则______． 56．（2025重庆开州·模拟预测）如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____，_____． 【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】 57．（2025·浙江杭州·一模）如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于_______． 58．（2025重庆沙坪坝·模拟预测）如图，四边形内接于⊙，为直径，直线交过点的切线于点，交的延长线于点．若，，则的长是_____，的值是_____． 59．（2025·上海·二模）如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 60．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知为的切线，点B 为上一点，连接、，与交于点D，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2， 过O点作 于G交于点E，交于点K，连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点M，交于点P，点N为中点，连接，若 ，，求的长． 【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】 61．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直交于，连接，F为上一点，连接，过作交于点，交于点，若则的长度为_____；连接，则长度为_____． 62．（2025·浙江绍兴·三模）如图，点C是为直径的半圆上一点（O为圆心），以为边向上作正方形和正方形，点P是的中点．若，，则多边形的面积是________ 63．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 64．（2025·广西桂林·二模）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】 65．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，是的中点，是边上任意一点（不与端点重合）连结交于点，过三点的圆交于点（异于两点），连结． (1)若，，求的度数． (2)若是的中点，求的值． (3)求证：． 66．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，四边形内接于，对角线与交于点E，平分． (1)求证：； (2)过点D作于点H，求证：； (3)在（2）的条件下，，，，求的半径． 67．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，是的中点，是边上任意一点（不与端点重合）．连接交于点，的外接圆交于点（异于，两点），连接． (1)若，，求的度数． (2)若，求的值（用含的代数式表示）． (3)求证：． 68．（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】 69．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：在中，都是直径，E、F分别在上，且，连接、 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于H，G在上，连接，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于N，连接交于M，若M为的中点，，求线段的长． 70．（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7，则线段的最大值为__________； 【问题探究】 （2）如图②，以正方形的边为直径作半圆，圆心为，为半圆上一动点，若正方形的边长为2，求长度的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某植物园有一块圆形游览区，经测量，的直径为8km，通道km．为方便游客游玩过程中休息，计划建造一块三角形休息区，并设立一些茶点铺．按规划设计要求，点为优弧上一点，，与通道的延长线交于点，为充分满足高峰期游客需求，要求休息区的面积尽可能大．请问，是否存在符合要求的休息区？若存在，求出休息区面积的最大值；若不存在，请说明理由． 71．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，、、、四点内接于圆，且对角线与垂直，满足． (1)求证：； (2)过点作于，求证： 72．（2025广东佛山·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，．D是半径上一点（不与点A重合），连接．把沿翻折得到，与交于点F．连接． (1)如图1，当与相切时，求证：是等腰三角形； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦于点，，的半径为，则弦的长为(    )    A．3 B． C． D．9 3．（2025·北京石景山·一模）如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广安·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，的直径为，则弧的长为 （      ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆沙坪坝·一模）如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 二、填空题 6．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 _______． 7．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____． 8．（2025·湖北黄冈·中考模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是______°． 9．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，半圆O中，过点O且，点C，D分别是的三等分点，连接，交于点E，则图中阴影部分的面积为__________．    10．（2025·江苏苏州·二模）如图，已知等腰中，，点D、E分别为边上任意点，以为直径作圆正好经过点C，与交于点F，则面积最大值为________．    三、解答题 11．如图，已知为的直径，过上点C的切线交的延长线于点E，于点D．且交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（2025·宁夏吴忠·二模）如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 13．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题． 14．（2025·山东济南·三模）如图，⊙O是的外接圆，是⊙O的直径，点D在⊙O上，，连接，延长交过点C的切线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，点在的边上，过点、、的切于点，直径交于点，连接、，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． B组 培优提升练 一、单选题 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在中，，直径于点是上一点，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（　　） A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 4．如图，A，P，B，C是上的四点，．若四边形面积为，且，则的半径为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，等边三角形的边长为，半圆的直径为1，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（    ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值；结论Ⅱ：使得的值有两个； 结论Ⅲ：点运动的路径长为． A．Ⅰ对Ⅱ对 B．Ⅱ错Ⅲ对 C．Ⅰ对Ⅲ错 D．Ⅰ错Ⅲ对 二、填空题 6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为___________m． 7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图， 的两条弦、的延长线交于C点，的平分线过点O，请直接写出图中一对相等的线段：____________． 8．（2025·黑龙江·一模）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 _______ 9．（2025·黑龙江·一模）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为______． 10．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为________． 三、解答题 11．图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的直径． 12．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，，，，分别为上一点，连，，，，，垂直于于，，连并延长交于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 14．（2025·天津河西·三模）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，延长，交于点F，与交于点G． （Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求的度数； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． 15．（2025·江苏常州·一模）如图，点是中边上一点，以为直径的与相切于点，连接． (1)判断与是否相似？并说明理由． (2)若的半径为3，，求的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $