专题6.1 圆的基本概念及性质（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）
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精品
内容正文：
专题6.1 圆的基本概念及性质（举一反三复习讲义）
【6个知识点+2大考点+18个题型】
【考点一 圆的有关性质】 2
【题型1 圆的基本性质】 2
【题型2 利用垂径定理求值】 8
【题型3 垂径定理的应用】 12
【题型4 垂径定理与平行弦问题】 16
【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】 21
【题型6 圆周角定理】 25
【题型7 圆周角定理的推论】 28
【题型8 圆内接四边形】 33
【题型9 圆有关性质的计算与证明】 36
【考点二 与圆的有关性质的综合】 45
【题型10 圆的新定义问题】 45
【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】 53
【题型12 圆与函数综合问题】 64
【题型13 圆与最值问题】 71
【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】 76
【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】 81
【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】 86
【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】 95
【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】 103
中考考点要求
近年考情分析
核心解题策略
掌握圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合）、圆心、半径、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、圆心角、圆周角等基本概念；理解圆的对称性（轴对称、中心对称、旋转不变性）；掌握垂径定理及其推论（垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧）；理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系。
本部分内容以选择题、填空题为主，是后续学习圆与其他图形综合的基础。垂径定理是核心考点，常结合勾股定理求弦长、半径或圆心到弦的距离。圆心角、圆周角的关系（如同弧所对圆周角是圆心角的一半）也是常考知识点，难度中等偏下。
遇弦的问题，优先作垂直于弦的直径（或半径），构造直角三角形，利用勾股定理求解。计算角度时，牢记“同弧所对圆周角相等”及“圆周角是圆心角一半”的关系。注意利用圆的对称性，分析图形中隐含的等量关系，将圆中问题转化为直角三角形或等腰三角形问题解决。
【考点一 圆的有关性质】
知识点1 圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
确定一个圆需要两个要素
2. 圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
3. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；
（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点2 圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．
2. 弧、半圆、劣弧、优弧
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（3）弧
3. 等圆与等弧
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
同圆或等圆的半径相等.
知识点3 垂直于弦的直径
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
③AMBM
⑤
①CD是直径
②CDAB
如图，
④
⇒
3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
①CD是直径
如上图，②AMBM
（AB不是直径）
③CDAB
⑤
④
⇒
由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
知识点4 弧、弦、圆心角
1. 圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 圆的旋转对称性
将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心．
3. 圆心角及其所对的弧、弦的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
如图，①=
⇒
②
③ABCD
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，②
⇒
①=
③ABCD
（2） 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD
⇒
①=
和
由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”．
知识点5 圆周角
1. 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=．
3. 圆周角定理的推论
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=．
（2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径．
（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4. 圆周角与圆心角的区别
圆心角
圆周角
区别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的
在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个
联系
两边都与圆相交
知识点6 圆内接多边形
1. 圆内接多边形的定义
（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
2. 圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
【题型1 圆的基本性质】
【例1】（2025·辽宁·模拟预测）下列命题中错误的有（ ）
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．根据圆的弦、弧的概念判断即可．
【详解】解：①弦是圆上任意两点之间的线段，故原说法错误；
②半径不是弦，故原说法错误；
③直径是一个圆中最长的弦，说法正确；
④弧不一定是半圆，半圆是弧，故原说法错误，
故选：C．
【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【详解】解：弦为、、．
故选：B．
【变式1-2】（2025·江苏·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示）
【答案】/
【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键．
【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：，
∴自身转动的圈数是，
故答案为：．
【变式1-3】（2025·贵州·模拟预测）如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦，
，
圆的半径为5，，
，
，
过的最长的弦是圆的直径是10，
经过点的弦的长，
过点的弦的长度最短为8．
故选：B．
【题型2 利用垂径定理求值】
【例2】（2025·广东·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ）
A． B． C．10 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【变式2-1】（2025·山西·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径地理，圆周角定理，根据垂直得到，由圆周角定理得到，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设于点，
∴，
∵，
∴，
∵所对圆周角为，所对圆心角为，
∴，
故选：D ．
【变式2-2】（2025·湖北·模拟预测）如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心点，点为弧的中点，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先结合题意，得出，，，则，再证明，故图中阴影部分的面积为，即可作答．
【详解】解：连接，与的交点为，连接,
∵将弧沿弦翻折恰好过圆心点，
∴，
∵点为弧的中点，
∴，
∴，，，
即，
∴，
∴，
故图中阴影部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了求不规则的面积，解直角三角形的相关性质，扇形面积，全等三角形的判定与性质，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式2-3】（2025·江苏·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则的长为_______cm．
【答案】
【分析】本题主要考查弧长计算公式，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，设圆心为O，过点O作于点C，连接，，先求出，得出，然后求出，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点C，连接，，如图所示：
∵，O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型3 垂径定理的应用】
【例3】（2025湖北武汉·模拟预测）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设该拱门的半径，
根据题意得在的直径上，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中利用勾股定理，得，
∴，
∴，
∴该拱门的半径是，
故答案为：．
【变式3-1】（2025·陕西榆林·三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．2米
【答案】C
【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
点O为所在圆的圆心，连接，根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接，
由题意得：，，，
设，则，
根据题意可得：，
即，
解得：，（舍去），
即米．
故选：C．
【变式3-2】（2025宁夏石嘴山·模拟预测）如图，我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备直径多大的管道？
【答案】修理工人应准备直径为的管道．
【分析】连接，作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
【详解】解：如图，过O作于C，连接，设圆的半径为x，
∴，，
在中，，
∴，
解得．
∴直径为．
答：修理工人应准备直径为的管道．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【变式3-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
【答案】(1)
(2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答；
（2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可．
【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，
由题意得，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
桥拱圆弧所在圆的半径为．
（2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，
由题意得，四边形是矩形，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过，
，
需要提前增加货物，
由题意得，至少需要增加吨，
答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨．
【题型4 垂径定理与平行弦问题】
【例4】（2025黑龙江绥化·模拟预测）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______．
【答案】或
【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可．
【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，，
，
，
，，
，，
的半径为，
，
，,
，，
；
如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，，
，
，
，，
，，
的半径为，
，
，
，，
；
综上所述，两弦之间的距离为或，
故答案为：或．
【变式4-1】（2025·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式4-2】（2025河北秦皇岛·模拟预测）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确；
如图所示，过点O作于D，连接，
∴，
∴，
∵，
∴点B到的距离为，故淇淇说法错误，
故选：A．
【变式4-3】（2025·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径；
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可；
（2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可．
【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1，
点为所作；
（2）连接，如图2，
点为劣弧的中点，
，，
的面积为6，
，
解得，
设的半径，则，，
在中，，
解得，
即的半径为10．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】
【例5】（2025天津西青·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据弧、弦的关系及等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式5-1】（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定，
根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则A正确，C正确；
∵，
∴，
∴，则D正确．
不一定相等，则B不正确
故选：B．
【变式5-2】（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键．
由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
是的直径，
，
，
，
则的半径为，
故选：B．
【变式5-3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，，则_______．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；
（2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证；
（3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
由（2）知：四边形为菱形，
∴设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得；
∴．
【题型6 圆周角定理】
【例6】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．
只要证明，求出即可．
【详解】解：连接，如图，
是的弦，，
，
，
，
和所对的弧都为，
，
，
设，
，，
，，
，
．
故选：B．
【变式6-1】（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键．
直接运用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【变式6-2】（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式6-3】（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为__________．
【答案】6
【分析】由矩形的性质得，根据圆周角定理，可求得，根据，可推出为直角，从点为中点，可推出，接着再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
为所对的圆周角，所对的圆心角为，
，
将线段绕点顺时针旋转至，
，
，
，
，
，
又，
∴，
∴，
点为中点，
，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查矩形的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【题型7 圆周角定理的推论】
【例7】（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
【变式7-1】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
【变式7-2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数：
（1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明；
（2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又 ，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
【变式7-3】（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（1）线段的长为____________；
（2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．
【答案】 见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出．
【详解】解：（1）由勾股定理得，
故答案为：；
（2）如图所示，点即为所求，
作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求．
理由：∵，
∴为圆的直径，
∵为正方形的对角线，
∴,
∴垂直平分线段，
∴点为圆的圆心，
∴，
又，
，
，
平分，
∴点为线段的中点，
由网格可知点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点为线段的中点，
∵，
，
，
∴，
又，
∴，
,
即，
延长交于点，
∵，
∴,
，
∴
∵为圆的切线，
∴，
，
,
∴，
即，
∵，
，
∴为等腰三角形，
∴，
∴点即为所求．
【题型8 圆内接四边形】
【例8】（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．
根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式8-1】（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴且，
∴，
故选：C．
【变式8-2】（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
【详解】解：如图，连接，，
∵分别与相切于两点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故选：D
【变式8-3】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使．
(2)在图②中找一个格点E，画出，使．
【答案】(1)见解析（答案不唯一）
(2)见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质．
（1）取格点，连接，根据得到；
（2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到．
【详解】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
【题型9 圆有关性质的计算与证明】
【例9】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．
(1)求证：平分；
(2)设，求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键．
（1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可；
（2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可；
（3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
由题意，得与相切于点E，
∴，
又，
∴，
∴，
∵和都是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1），得，
∵点F在上，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，即，
设，则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴；
（3）解：由圆周角定理，得，
如图，过点O作平分，交于点M，连接
由（2），得，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴在中，，
∴，
∴．
【变式9-1】（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的半径
【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径．
【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键．
【变式9-2】（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接．
(1)设，则 ；（用含的式子表示）
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可；
（2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可；
（3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可．
本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点D是的内心，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）证明：连接，
∵点D是的内心，
∴，，
∵，，
，
∴，
∴．
（3）解：设，根据题意，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得．
故的长为．
【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：；
(3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等；
（2）利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系；
（3）先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积．
【详解】（1）证明：为的直径，
．
设．
，
，
，
．
．
．
．
（2）证明：连接，，并延长交于点．
，
垂直平分，
，，
是的切线，
．
是的直径，
，
四边形是矩形，
，
．
（3）解：如图，连接，，并延长交于点，
为的中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴≌，
，
，
设，则．
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数及三角形的面积等知识点，关键是灵活应用知识点解决问题．
【考点二 与圆的有关性质的综合】
【题型10 圆的新定义问题】
【例10】（2025·江苏南京·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形．
(1)如图，已知四边形内接于，D是的中点．
①求证：四边形是等补四边形；
②过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．求证：．
(2)下列结论：
a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形；
b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形；
c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形；
d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形．
其中所有正确结论前的字母代号是 ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)bc
【分析】（1）①由圆内接四边形性质结合等补四边形的定义即可证明；②连接，则，连接交于点G，由垂径定理推论可得，从而得，证明，即可证得结论；
（2）连接和交于点H，显然，此时四边形不论怎么分，无法分成两个全等的三角形，可判断a错误；有，可判断b正确；显然，从剪开，得到和，两者能拼成等腰三角形，可判断c正确；当圆内接等补四边形有一条对角线是直径时，可得直径所对的两个内角为直角，但无法证明其为正方形．可判断d．
【详解】（1）①证明：∵四边形内接于，
由圆内接四边形性质可得，
又∵，
∴，
∴四边形是等补四边形．
②证明：连接，连接交于点G，如图1，则，
∵，过圆心，
由垂径定理推论可得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即．
（2）解：如图2，连接和交于点H，
显然，只有一定是等腰三角形，
此时四边形不论怎么分，无法分成两个全等的三角形，故a错误；
由题意可知，，
∴，，，，，，故b正确；
，
则沿被剪开的两个三角形中，有一组边相等，一组角相等，
∴两者能拼成等腰三角形，故c正确；
当圆内接等补四边形有一条对角线是直径时，可得直径所对的两个内角为直角，
则圆内接四边形不一定为正方形．
故答案为：bc．
【变式10-1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为_______ ．
【答案】
【分析】由直径所对的圆周角为出发，因为，所以点D必定在以直径的圆上．作出圆后，找到符合要求的横坐标最大的点即可．
【详解】解：如图，以为直径作圆， 设中点为点E，点O关于点E的对称点为点F，
，
由题意可知，点A坐标为，点B坐标为，
由勾股定理可知，，
∵点E为中点，
∴点E坐标为，
∵，
∴点O在上，
∵点O与点F关于点E的对称，
∴点F也在上，
∵点是弦的“可及点”，
∴，
∴点是在上，
∵点关于的对称点在上或其内部，
∴点是在弧上（不与点A和点B重合），
当轴时，点的横坐标最大，
∵，
∴点D坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理和勾股定理，掌握好圆的基本性质是解题关键．
【变式10-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：对角线相垂直的四边形为“优秀四边形”．
(1)已知外接圆为为直径．将沿翻折得，恰好在上，连接交于为中点，．证明四边形为优秀四边形．
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质.
（1）由翻折知，进而得到，即可证明；
（2）由翻折知，将化为，根据三角形面积公式计算即可
【详解】（1）∵将沿翻折得，恰好在上，
∴
∴，
∴，
∴四边形为优秀四边形；
（2）∵将沿翻折得，恰好在上，
∴
即
∵，
∴成立.
【变式10-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”．
(1)如图1，点D在的延长线上，是中的“张望角”，求证：；
(2)如图2，内接于，点D在的延长线上，点E在上，连接，连接，点F在上，，连接，连接并延长交的延长线于点I，求证：是中的“张望角”；
(3)如图3，在（2）的条件下，若是的直径，过点I作的垂线，点G为垂足，交于点H，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题中“张望角”的定义和角平分线的定义得到，结合三角形的外角性质可得结论；
（2）先根据圆周角定理和角平分线定义可得平分，再根据圆周角定理，结合圆内接四边形的性质可证明平分，进而根据“张望角”的定义可得结论；
（3）连接，，先证明得到，进而证明得到，过F作于M，在上截取，连接，，证明，求得， ，，过I作于K， ，在中，由勾股定理求得，进而可求解．
【详解】（1）证明：是中的“张望角”，
∴分别是，的平分线
；
（2）证明：，
，
，
即平分，
，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
即平分，
是中的“张望角”；
（3）解：连接，，
是中的“张望角”，
∴，
∵，
∴，又，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，又，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，又，
∴，即，
∴，
∴，
过F作于M，在上截取，连接，，则垂直平分，
∴，
∴，
设，则，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
设，又，
∴，解得（负值已舍去），
∴，
∴，
由得，则；
∵，
∴，
∴，
过I作于K，则是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，由得，
解得（负值已舍去），即，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键．
【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】
【例11】（2025·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为．
(1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标；
(2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分．
(3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是定值4
【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质，圆的综合知识，构造全等三角形是解题的关键．
（1）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出G点坐标；
（2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分；
（3）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形，求得为定值．
【详解】（1）解：连接，
∵A点的坐标为，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
又∴，
∵，
∴；
（2）证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图，
则,
∵是的切线，
∴，
在和中，
∴，
∴∴,
同理可证：，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，即，
∴，
∴
∴平分．
（3）解：的值是定值为，
在上取点V，使，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，，即；
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
又，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
【变式11-1】（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形．
(1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
莱洛三角形是轴对称图形；
莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等；
莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为；
莱洛三角形的面积等于．
(2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值；
(3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)点在以的中点R为圆心，以为半径的圆心角为的弧上
【分析】（）根据莱洛三角形的定义，结合轴对称图形的判断圆的相关性质直接判断即可；
（）分当在上方时，当在下方时，两种情况分析即可；
（）连接，，，，，取、的中点，连接，，，再证明，得出即可确定轨迹．
【详解】（1）解：因为以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形，
所以莱洛三角形是轴对称图形，正确；
三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等，故莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，不正确；
等边三角形的每一个内角都是，故莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为，正确；
莱洛三角形的面积等于三个弓形的面积加上等边三角形的面积，即，不正确；
故答案为：；
（2）解：如图，当在上方时，过作于点，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴设，则，，
∵且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
当在下方时，
同理：∵，
∴设，则，，
由勾股定理得：，
∴；
综上可得：的正切值为或；
（3）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，，
∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、的中点为，的中点为，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，，
故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上；
【点睛】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理．
【变式11-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可．
【详解】解：连接，过于H，则，，
∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，则，
在中，，
∴矩形的面积等于，
故选：D．
【变式11-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图1，在菱形中，，的半径为，与菱形的两边相切于点E，F，交菱形的两边于点M，N，延长交于点D，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求的面积；
(3)如图2，连接并延长，交延长线于点P，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）连接，证明，得到，即可得证；
（2）证明，进而得到的面积等于的面积，进而求出的面积即可；
（3）勾股定理求出的长，连接，利用圆周角定理，结合角的和差关系，推出，进而推出，利用相似三角形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，，，
∴，，
∴，
∴，
连接，由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
【题型12 圆与函数综合问题】
【例12】（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，圆周角定理，函数解析式，弧长公式等知识点，难度较大，解题的关键注意分类讨论思想的应用．
连接，根据相切两圆的连心线经过切点得到共线，然后分三种情况讨论，利用弧长公式建立函数关系式，即可判断．
【详解】解：连接
∵半圆经过点，且分别与圆切于点，圆的半径为2，
∴共线，半圆的半径为1，
当点在半圆上时，
∵的度数为
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，,
当时，随的增大而减小；
当点在半圆上时，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而减小；
当点在下半圆上，
则，
∴
∴当时，随的增大而增大，
综上可得：关于的函数解析式为，
故选：B．
【变式12-1】（2025湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】轴于C，交于D，作于E，连接，由于，，易得D点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】作轴于C，交于D，作于E，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，，
把代入得，
∴D点坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴也为等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键．
【变式12-2】（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，，，，点O为边上一点，切边于点D，设，的半径为y．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求在边上截得的线段的长．
【答案】（1）；（2）8
【分析】（1）证明△AOD∽△ABC，得到，列得，求解即可；
（2）先由y=5求出x=3，作于点H，连结，利用垂径定理及勾股定理求出EH即可得到EF．
【详解】解：（1）连结，
切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）当时，，
，即，
作于点H，则，
，
连结，在中，，
．
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握圆的知识点是解题的关键．
【变式12-3】（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）是的直径，得到，，再进一步得到，根据切线的判定定理即可得出结论；
(2)连接证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出，即可解答．
【详解】（1）证明：如图所示
∵是的直径，
∴，
∴，
∵由题意得：，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
【题型13 圆与最值问题】
【例13】（2025·四川绵阳·三模）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．42 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数定义等知识，过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，再由垂径定理和锐角三角函数即可求解．解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．
【详解】解：如图，过作关于直线的对称点，连接，
由轴对称的性质可知即为的最小值，
连接，，，
关于直线对称，
，
，
，，
，
过作于，
则，
，
，
在中，，
，
即的最小值，
故选：D．
【变式13-1】（2025·河南洛阳·一模）如图，D是以为直径的半圆O的中点，，E是直径上一个动点，已知，则图中阴影部分周长的最小值是___________．
【答案】
【分析】取点C连关于对称的点 ，连接交于点E，当D、E、三点在同一直线上时最小．
【详解】解：作图如下：
取点C连关于对称的点 ，连接交于点E，
即为 的最小值，
过点D作 交延长线于F
，
，
，
，
图中阴影部分周长的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的核心原理在于两点之间的线段最短和垂线段最短，通常在求最值的时候我们会借助于几何三大变化，轴对称、平移、旋转变换进行线段的转移，从而转换成两大核心原理进行求解．
【变式13-2】（2025·江苏扬州·二模）如图，点和点在半圆上，与交于点，若是的中点，则的最大值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线的性质，求角的正弦值，直角三角形的性质，垂径定理，取中点F，连接，由垂径定理可得，则，据此可得点E在以F为圆心，半径为的圆上运动，故当与相切时，最大，即此时最大，再由，的最大值即为的最大值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，取中点F，连接，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴点E在以F为圆心，半径为的圆上运动，
∴当与相切时，最大，即此时最大，
由切线的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∵，
∴，
∴的最大值即为的最大值，
∴的最大值为，
故答案为：．
【变式13-3】（2025江西赣州·模拟预测）如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为，则点到距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值等于，解直角三角形即可得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作于，延长交于，
则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值等于，
∵，， 的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴点到距离的最大值是，
故选：．
【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】
【例14】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可．
【详解】解：点D是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，连接，设的半径为r，设，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
故选：A．
【变式14-1】（2025浙江温州·模拟预测）如图，已知的半径为5，弦与弦位于圆心O的异侧，，，在上取点E，连结并延长交于点F．若，则的长为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，，根据，可得，即可得到，进而求得、的长度，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，，作于点N，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
【变式14-2】（2025·四川绵阳·一模）如图，D是的外接圆上的一点，是的弦，且经过的中点P．若，则的长的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，根据已知条件得到是等边三角形，求得，得到，求得，当时，连接，由勾股定理得到，由垂径定理得，当是过点的直径时，，于是得到结论．
【详解】解：连接，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∵经过的中点P，
，
当时，连接，
，
，
当是过点的直径时，，
的长的取值范围是，
故答案为：．
【变式14-3】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知是的直径，E为上一点，连接，平分交于点C，于点D，连接交于点G，，连接．若，，则________________ ，__________________ ．
【答案】
【分析】连接，设，证明点为内心，进而证明为等腰三角形，设，由，可知，由垂径定理可得，即有，在中，结合勾股定理解得的值，即可确定的值；确定，的长度，再证明为等腰三角形，可设，则，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
设，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，即平分，
又∵平分，
∴，点为内心，
∴平分，即，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，解得或（舍去），
∴，，
∵，
∴，即，
解得，
∴在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，解得，即，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了三角形内心、圆周角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】
【例15】（2025·浙江温州·三模）如图，已知为底的等腰内接于半径为的，（是锐角），则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】连接并延长，交于，连接、，根据圆周角定理求出，根据同圆中，等弦所对的圆心角相等得出，根据等边对等角得出，根据三角形的外角性质得出，即，根据等腰三角形三线合一的性质得出，解直角三角形分别求出、，再根据三角形面积公式计算即可．
【分析】解：如图，连接并延长，交于，连接、，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
又∵，
∴，
在中，，，
故，，
则的面积为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦与圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解直角三角形等知识．熟练掌握锐角三角形函数的相关定义是解题的关键．
【变式15-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵垂直平分半径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴和是等边三角形，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，即圆的半径为，
故选：．
【变式15-2】（2025江苏扬州·模拟预测）已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，勾股定理，折叠的性质，由，得到点的轨迹，当点M在上时，取最大值，当点M在上时，取最小值，由，得到，求出的长度，设，则，在中应用勾股定理，即可求解．
【详解】解：连接、、，则：，
根据折叠的性质可得：，
∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∵点M在扇形内（不含边界），
当点M在上时，取最大值，此时，
∵，为弧的中点，
∴，
∴；
当点M在上时，取最小值，作，，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵，，则，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
即：，解得：，
∴．
故答案为：．
【变式15-3】（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形内接于，，位于点的异侧，且，，，，分别为，，，的中点．若，的半径为4，则四边形的周长为___________．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求解，圆周角定理，特殊角的三角函数，得到四边形的周长等于是解题的关键．连接、、、，作于点，根据三角形中位线的性质可得到四边形的周长，然后根据同圆中等弧所对弦相等得到，接着利用圆周角定理得到，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数求得，即可得到，进而求得答案．
【详解】解：连接、、、，作于点，如图所示，
，，，分别为，，，的中点，
，，，分别为，，，的中位线，
，，
四边形的周长，
，，，
，
，
和分别是所对的圆周角和圆心角，，的半径为4，
，，
，
，
，
，
四边形的周长．
故答案为：．
【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】
【例16】（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由直径的性质得，再由圆周角定理可求得，由切线的性质得从而得结论成立．
（2）过点作，垂足为，可证明四边形是正方形，由，，求出．，再由可得结果．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
．
平分，
．
．
是的切线，
．
．
．
（2）解：如图，过点作，垂足为．
，
．
，
四边形是正方形．
．
在中，，
．
．
，
．
，
．
，解得．
．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，圆周角定理及推论，锐角三角函数之间的转化，关键是连接过切点的半径，得垂直于半径的直线，过点作垂线构造直角三角形．
【变式16-1】（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，．
(1)如图①，若过点，且，连接，求的大小；
(2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据，得出为直径，根据等边对顶角得出，圆周角定理即可得出．
（2）连接，，设半径为，根据切线的性质得出．结合，得出，是等腰直角三角形，勾股定理求出，即可得，求出．根据，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：连接，
过点，，
为直径，
，
，
．
（2）解：连接，，设半径为，
与切于点，
，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
．
，
，
在中，，
在中，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式16-2】（2025·云南·模拟预测）如图1，点，，都在上，且平分，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，是的直径，与相交于点．
①若，，求的半径；
②若于点，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①的半径为8；②证明见解析．
【分析】（1）利用角平分线的定义、圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）①连接，设的半径为，则，，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，利用勾股定理列出方程解答即可；
②过点作于点，利用矩形的判定与性质得到；再利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用等量代换的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴是等腰三角形；
（2）①解：如图2，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（不合题意，舍去）或．
∴的半径为8；
②证明：如备用图，过点作于点，
∵，
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∵是的直径，
∴
∴．
∵．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键．
【变式16-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点．
(1)求证：．
(2)若，，求和半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练运用相关知识点是解题的关键．
（1）由，得，，由，得，即可求证；
（2）由圆周角定理得，由垂径定理得，设，由，得，，，由勾股定理得，根据，可求出的值，即可得出半径的长；证明，即可求出的长．
【详解】（1）证明：，
，．
又，
．
．
（2）如图，连接，
为直径，
，．
又，
．
设与交点为，
．
设，
，
．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
，
，解得．
．
，
．
．
．
．
半径的长为．
，
．
．
．
．
【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】
【例17】（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)点为上一点，平分，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设与交于点，由垂径定理得，，则有，，然后通过三角形的内角和定理即可求证；
（）由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出的值即可．
【详解】（1）证明：设与交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
【变式17-1】（2025·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，过点C作的切线与的延长线相交于点E，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数，圆的内接四边形性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数是解题的关键．
（1）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，圆的内接四边形，证明，即可得出结论．
（2）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，证明，再由相似三角形性质得出，由勾股定理计算出，再利用三角函数计算即可．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴．
∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵为的直径，
∴．
又由（1）知，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
【变式17-2】（2025·四川成都·三模）如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，．
(1)求证：；
(2)若点F是的中点，为的直径，，，求和的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是，的长是．
【分析】（1）由，，得，则，因为，所以，则；
（2）连接、，作于点L，由是的直径，得，因为，所以，则，由，得，求得，，则，所以，可证明，所以，则，再证明，得，则，则，求得，由，求得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
（2）解：连接、，作于点L，则，
∵为的直径，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的长是，的长是．
【点睛】此题重点考查圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
【变式17-3】（2025·浙江杭州·三模）如图1，四边形是的内接四边形，过点作交于点，连结交于点．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接，若．
①求证：；
②求证：
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）利用圆的内接四边形的性质求得，利用圆周角定理和平行线的性质解答即可得出结论；
（2）①连接，利用圆的平行弦所夹的弧相等的性质和等式的性质得到，，则，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；
②连接，延长交于点，连接，，，利用全等三角形的性质得到，利用圆周角定理和等式的性质得到，则，，可得，则，，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
，
；
（2）①证明：连接，如图，
，
，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
②证明：连接，延长交于点，连接，，，如图，
由（2）①知：，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，圆的平行弦的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】
【例18】（2025浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，经过圆心O，．
①求的值；
②若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求证；
（2）①连接，，由题意易得，，然后可得，，则有，进而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解；
②延长交于点F，由题意易得，，则有，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）证明：是的外接圆，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图2，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵经过圆心O，
∴是的直径，
∴，
∴；
②如图3，延长交于点F，
∴，
∴，，
∵O为的中点，
∴，
由（2）①可得，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负根舍去），
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
【变式18-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，为边上一点．若，，，连接交于点．求：
(1)的长．
(2)的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）由等腰三角形和平行线的性质可得，即得，得到，即可求解；
（）延长交于点，可证，得到，进而由可得，即得，即得到，再由得 ，得到，即得到，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，
由（）可知，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，弧弦圆心角的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式18-2】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，为的直径，C为上一点，是的切线，过点P作的垂线，交的延长线于点D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）由切线的性质，垂直的定义推出，得到，由得到，因此，即可证明平分；
（2）由圆周角定理得到，因此，求出的长，由勾股定理求出的长，由垂径定理求出的长，由矩形的性质即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵与圆相切于P，
∴半径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，如图，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
【变式18-3】（2025·四川绵阳·三模）如图1，在中，以为直径的与边交于点，与边交于点，过点作于点，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点作 于，当，的半径为时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，结合四边形内接于，可得，从而可得结论；
（2）如图，连接，过作于，交于，证明，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，由，设，则，求解：，（负根舍去），证明，可得，，设，则，由，可得，求解：，（负根舍去），可得，再进一步利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，过作于，交于，连接，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，的半径为，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，（负根舍去），
由（2）得：四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∴ ，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
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专题6.1 圆的基本概念及性质（举一反三复习讲义）
【6个知识点+2大考点+18个题型】
【考点一 圆的有关性质】 2
【题型1 圆的基本性质】 2
【题型2 利用垂径定理求值】 6
【题型3 垂径定理的应用】 7
【题型4 垂径定理与平行弦问题】 9
【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】 10
【题型6 圆周角定理】 11
【题型7 圆周角定理的推论】 12
【题型8 圆内接四边形】 13
【题型9 圆有关性质的计算与证明】 14
【考点二 与圆的有关性质的综合】 15
【题型10 圆的新定义问题】 15
【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】 17
【题型12 圆与函数综合问题】 19
【题型13 圆与最值问题】 21
【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】 22
【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】 23
【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】 24
【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】 26
【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】 27
中考考点要求
近年考情分析
核心解题策略
掌握圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合）、圆心、半径、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、圆心角、圆周角等基本概念；理解圆的对称性（轴对称、中心对称、旋转不变性）；掌握垂径定理及其推论（垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧）；理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系。
本部分内容以选择题、填空题为主，是后续学习圆与其他图形综合的基础。垂径定理是核心考点，常结合勾股定理求弦长、半径或圆心到弦的距离。圆心角、圆周角的关系（如同弧所对圆周角是圆心角的一半）也是常考知识点，难度中等偏下。
遇弦的问题，优先作垂直于弦的直径（或半径），构造直角三角形，利用勾股定理求解。计算角度时，牢记“同弧所对圆周角相等”及“圆周角是圆心角一半”的关系。注意利用圆的对称性，分析图形中隐含的等量关系，将圆中问题转化为直角三角形或等腰三角形问题解决。
【考点一 圆的有关性质】
知识点1 圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
确定一个圆需要两个要素
2. 圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
3. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；
（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点2 圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．
2. 弧、半圆、劣弧、优弧
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（3）弧
3. 等圆与等弧
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
同圆或等圆的半径相等.
知识点3 垂直于弦的直径
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
③AMBM
⑤
①CD是直径
②CDAB
如图，
④
⇒
3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
①CD是直径
如上图，②AMBM
（AB不是直径）
③CDAB
⑤
④
⇒
由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
知识点4 弧、弦、圆心角
1. 圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 圆的旋转对称性
将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心．
3. 圆心角及其所对的弧、弦的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
如图，①=
⇒
②
③ABCD
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，②
⇒
①=
③ABCD
（2） 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD
⇒
①=
和
由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”．
知识点5 圆周角
1. 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=．
3. 圆周角定理的推论
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=．
（2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径．
（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4. 圆周角与圆心角的区别
圆心角
圆周角
区别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的
在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个
联系
两边都与圆相交
知识点6 圆内接多边形
1. 圆内接多边形的定义
（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
2. 圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
【题型1 圆的基本性质】
【例1】（2025·辽宁·模拟预测）下列命题中错误的有（ ）
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式1-2】（2025·江苏·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示）
【变式1-3】（2025·贵州·模拟预测）如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【题型2 利用垂径定理求值】
【例2】（2025·广东·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ）
A． B． C．10 D．8
【变式2-1】（2025·山西·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2025·湖北·模拟预测）如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心点，点为弧的中点，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2025·江苏·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则的长为_______cm．
【题型3 垂径定理的应用】
【例3】（2025湖北武汉·模拟预测）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________．
【变式3-1】（2025·陕西榆林·三模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．2米
【变式3-2】（2025宁夏石嘴山·模拟预测）如图，我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备直径多大的管道？
【变式3-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
【题型4 垂径定理与平行弦问题】
【例4】（2025黑龙江绥化·模拟预测）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______．
【变式4-1】（2025·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
【变式4-2】（2025河北秦皇岛·模拟预测）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【变式4-3】（2025·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径；
【题型5 弧、弦、圆心角之间的关系】
【例5】（2025天津西青·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C． D．10
【变式5-3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，，则_______．
【题型6 圆周角定理】
【例6】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______．
【变式6-3】（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为__________．
【题型7 圆周角定理的推论】
【例7】（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
【变式7-1】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式7-3】（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（1）线段的长为____________；
（2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．
【题型8 圆内接四边形】
【例8】（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【变式8-3】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使．
(2)在图②中找一个格点E，画出，使．
【题型9 圆有关性质的计算与证明】
【例9】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．
(1)求证：平分；
(2)设，求的值；
(3)求的值．
【变式9-1】（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【变式9-2】（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接．
(1)设，则 ；（用含的式子表示）
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：；
(3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积．
【考点二 与圆的有关性质的综合】
【题型10 圆的新定义问题】
【例10】（2025·江苏南京·模拟预测）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形．
(1)如图，已知四边形内接于，D是的中点．
①求证：四边形是等补四边形；
②过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．求证：．
(2)下列结论：
a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形；
b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形；
c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形；
d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形．
其中所有正确结论前的字母代号是 ．
【变式10-1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为_______ ．
【变式10-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：对角线相垂直的四边形为“优秀四边形”．
(1)已知外接圆为为直径．将沿翻折得，恰好在上，连接交于为中点，．证明四边形为优秀四边形．
(2)证明：．
【变式10-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”．
(1)如图1，点D在的延长线上，是中的“张望角”，求证：；
(2)如图2，内接于，点D在的延长线上，点E在上，连接，连接，点F在上，，连接，连接并延长交的延长线于点I，求证：是中的“张望角”；
(3)如图3，在（2）的条件下，若是的直径，过点I作的垂线，点G为垂足，交于点H，若，，求的长．
【题型11 圆与三角形、四边形综合问题】
【例11】（2025·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为．
(1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标；
(2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分．
(3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
【变式11-1】（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形．
(1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
莱洛三角形是轴对称图形；
莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等；
莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为；
莱洛三角形的面积等于．
(2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值；
(3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹．
【变式11-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【变式11-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图1，在菱形中，，的半径为，与菱形的两边相切于点E，F，交菱形的两边于点M，N，延长交于点D，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求的面积；
(3)如图2，连接并延长，交延长线于点P，求线段的长度．
【题型12 圆与函数综合问题】
【例12】（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-1】（2025湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式12-2】（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，，，，点O为边上一点，切边于点D，设，的半径为y．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求在边上截得的线段的长．
【变式12-3】（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式．
【题型13 圆与最值问题】
【例13】（2025·四川绵阳·三模）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．42 C． D．
【变式13-1】（2025·河南洛阳·一模）如图，D是以为直径的半圆O的中点，，E是直径上一个动点，已知，则图中阴影部分周长的最小值是___________．
【变式13-2】（2025·江苏扬州·二模）如图，点和点在半圆上，与交于点，若是的中点，则的最大值为________．
【变式13-3】（2025江西赣州·模拟预测）如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为，则点到距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【题型14 构造直角三角形利用垂径定理解决问题】
【例14】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（ ）
A． B． C．6 D．10
【变式14-1】（2025浙江温州·模拟预测）如图，已知的半径为5，弦与弦位于圆心O的异侧，，，在上取点E，连结并延长交于点F．若，则的长为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【变式14-2】（2025·四川绵阳·一模）如图，D是的外接圆上的一点，是的弦，且经过的中点P．若，则的长的取值范围是________．
【变式14-3】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知是的直径，E为上一点，连接，平分交于点C，于点D，连接交于点G，，连接．若，，则________________ ，__________________ ．
【题型15 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用】
【例15】（2025·浙江温州·三模）如图，已知为底的等腰内接于半径为的，（是锐角），则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式15-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】（2025江苏扬州·模拟预测）已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是______．
【变式15-3】（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形内接于，，位于点的异侧，且，，，，分别为，，，的中点．若，的半径为4，则四边形的周长为___________．
【题型16 圆周角的有关计算与证明综合问题】
【例16】（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【变式16-1】（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，．
(1)如图①，若过点，且，连接，求的大小；
(2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长．
【变式16-2】（2025·云南·模拟预测）如图1，点，，都在上，且平分，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，是的直径，与相交于点．
①若，，求的半径；
②若于点，求证：．
【变式16-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点．
(1)求证：．
(2)若，，求和半径的长．
【题型17 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明】
【例17】（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)点为上一点，平分，且，求的度数．
【变式17-1】（2025·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，过点C作的切线与的延长线相交于点E，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式17-2】（2025·四川成都·三模）如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，．
(1)求证：；
(2)若点F是的中点，为的直径，，，求和的长．
【变式17-3】（2025·浙江杭州·三模）如图1，四边形是的内接四边形，过点作交于点，连结交于点．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接，若．
①求证：；
②求证：
【题型18 圆中求角、线段常用的辅助线】
【例18】（2025浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，经过圆心O，．
①求的值；
②若，求的半径．
【变式18-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，为边上一点．若，，，连接交于点．求：
(1)的长．
(2)的长．
【变式18-2】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，为的直径，C为上一点，是的切线，过点P作的垂线，交的延长线于点D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【变式18-3】（2025·四川绵阳·三模）如图1，在中，以为直径的与边交于点，与边交于点，过点作于点，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，过点作 于，当，的半径为时，求的长．
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