复习专题 “第1章 有理数”中的9种易错题期中复习专题讲义 --2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

【原卷版】 复习专题 “第1章 有理数”中的9种易错题 【沪教版】六年级上册“第1章 有理数”是：初中代数的入门基石，核心是建立 "负数" 概念并掌握有理数的全套运算法则，复习时建议围绕概念、运算、易错点三条线展开； 一、抓牢三大概念工具：数轴是贯穿全章的主线，要能熟练在数轴上描点、比较大小；相反数与绝对值则是考试高频考点----相反数注意“0的相反数是0”，绝对值务必牢记 “距离非负”，遇到含字母的绝对值问题要养成分类讨论的习惯（正数、负数、0三种情况），这是本章第一个难点； 二、过熟运算符号法则：有理数运算最容易丢分的不是计算能力，而是符号；复习时先把法则口诀化：同号相加取原符号、异号相加取绝对值大的符号；减法统一转化为加法；乘除“同号得正、异号得负”；乘方要分清底数（如：与的区别）；建议进行混合运算限时训练，先定符号再算绝对值； 三、用好运算律简化计算：加法交换律、结合律与乘法交换律、结合律、分配律是提速关键，尤其分配律要注意不漏乘、不错号，互为相反数、同分母、能凑整的数优先结合。 四、整理错题集中突破：把作业和测试中的错题按“概念混淆”、“符号错误”、“运算顺序错”、 “去括号漏变号”四类归纳，考前重做一遍，比刷新题更高效。 本章内容提要 1、基本概念：有理数，绝对值，相反数，整数； 能够写成分数（、是整数，）的数叫作有理数； 数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数的绝对值； 绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数； 正整数、零、负整数统称为整数； 2、有理数运算法则： （1）减法法则： 同号两数相加，绝对值相加，符号与加数相同； 异号两数相加，绝对值相减，符号与绝对值大的加数相同； 任何一个数与0相加，仍得这个数； （2）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； （3）乘法法则： 同号两数相乘，绝对值相乘，符号为正； 异号两数相乘，绝对值相乘，符号为负； 任何数与0相乘，积为0； （4）除法法则： 除以一个不是0的数，等于乘这个数的倒数； 3、有理数的运算律与自然数相同。 题型1、易错点之“0的归属”问题 例1、下列关于“0”的说法正确的是(        ) ①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数． A．①④ B．②③ C．①② D．①③ 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、下列关于“零”的说法正确的序号是 （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． 题型2、易错点之“有关有理数分类”问题 例3、下列关于有理数的描述（    ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4、下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 题型3、易错点之“有关正数、负数和零”问题 例5、如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（   ） 零钱明细 微信红包 10月25日8：21 余额 微信转账 10月25日9：01 余额 微信红包 10月25日9：29 余额 A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 例6、下列语句： ①不带“”号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数． 其中错误的有_______．（填序号） 题型4、易错点之“有关有理数的混合运算”问题 例7、支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（    ） 微信红包-来自王某某： 某平台商户：－ 扫二维码付给某店： A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元 例8、下面是小明同学做过的两道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． （1）计算：(－48)÷36×； 解：原式＝(－48)÷(－4)…第①步 ＝12．…第②步 问题：上述解法中，第几步有错？________(填序号即可)． 本题的正确解法： （2）计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]． 解：原式＝1－×÷(－11)…第①步 ＝1－÷(－11)…第②步 ＝1－…第③步 ＝．…第④步 问题：上述解法中，第几步有错？________(填序号即可)． 本题的正确解法是： 题型5、易错点之“有关相反数与绝对值”问题 例9、下列各对数中互为相反数的有（    ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 例10、下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型6、易错点之“有关有理数乘除法中的倒数法计算”问题 例11、阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； （2）请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 例12、阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 题型7、易错点之“有关数轴表示点”问题 例13、如图，在数轴上有，，三个点． （1）点表示的有理数是__________； （2）将点向左平移5个单位长度后的点用表示，则点表示的数是__________；到点距离2个单位长度的点表示的数是__________． （3）请在数轴上描出点、分别表示有理数和，并将点、、、、表示的数直接用“＞”连接起来． 例14、学习了有理数的减法以后，王老师和同学们一起利用这种运算探究数轴上两个点之间的距离．王老师给出这样一个问题：如图（1），数轴上点A和点B分别表示有理数3和－2，求A，B两点之间的距离．甲，乙，丙，丁四名学生分别给出了如下解答过程和结果： 甲、； 乙、； 丙、； 丁、；    （1）明明认为“甲的解答过程只适应两数分布在原点两侧，所以甲的解法不能推广．”你认为明明的说法是否正确？______（填写“正确”或“错误”）； （2）如图（2），数轴上点A和点B分别表示有理数-5和-1，请你在四名学生中选择一种正确的方法求A，B两点之间的距离； （3）若数轴上A，B两个不同点分别表示有理数a和b，且点A在点B的右边，请直接写出A，B两点之间的距离． 题型8、易错点之“有关绝对值化简”问题 例15、若是有理数，则的值（ ） A．一定是正数 B．可能是正数，也可能是负数 C．一定是负数 D．不可能是负数 例16、已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 题型9、易错点之“有关对乘方的概念理解不清”问题 例17、下列对于，叙述正确的是（    ） A．底数是、指数是4 B．表示4个3相乘的积的相反数 C．表示4个相乘的积 D．表示4与的积 例18、下列计算中正确的是(        ) A． B． C． D． 1、概念与分类：正数和负数表示具有相反意义的量；0 既不是正数也不是负数。有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； 2、数轴、相反数与绝对值：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数都可用数轴上的点表示。只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。绝对值表示数轴上点到原点的距离，|a|≥0，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数； 3、大小比较：正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 4、运算规则：加法 —— 同号取相同符号相加，异号取绝对值较大者的符号相减；减法 —— 减去一个数等于加上它的相反数；乘法 —— 同号得正、异号得负；除法 —— 除以一个数等于乘它的倒数；乘方 ——表示 个相乘；混合运算按 “乘方→乘除→加减”顺序，有括号先算括号内，并活用运算律简化计算。 1．下列关于有理数的描述：①数轴上原点两侧的数互为相反数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，所以0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数；⑤两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法：①一个有理数，它不是整数就是分数；②带有负号的数一定是负数；③异号两数相加，取较大的加数的符号；④一定是非正数；⑤若，则；⑥绝对值等于它本身的数是0和1．其中正确的个数是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法： ①有理数的绝对值一定是正数； ②任何一个数都有它的相反数； ③一个有理数不是整数就是分数； ④互为相反数的两个数绝对值相等； ⑤一个有理数不是正数就是负数． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法中不正确的有（    ） ①–3.14既是负数，分数，也是有理数；②既不是正数，也不是负数，但是整数；③0是正数和负数的分界；④–（+200）既是负数，也是整数，但不是有理数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知a，b，c为有理数，且，，则的值为 6．已知，，且，则的值为 7．一个物体做左右方向的运动，若向右运动记作，则向左运动记作 8．计算的结果是 9．下列说法，正确的命题序号是 ①带负号的数一定是负数；②有理数都有倒数；③若，则一定是非负数；④0是最小的整数；⑤正数和负数统称有理数；⑥一定是负数． 10．下列说法中：①任何数都有倒数；②一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以，便得这个数的相反数；③同号两数相乘，取原来的符号并把绝对值相乘；④的结果必为非负数；⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑥若，则；⑦一定是负数；正确的序号是 11．下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式  第①步   第②步   第③步 ．  第④步 问题： （1）上述解法中，从第________步开始出错（填序号）． （2）请写出本题的正确解法． 12．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式=； 解法二：原式=； 解法三：原式的倒数为，故原式=． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． （2）请你运用合适的方法计算：． 第10页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 复习专题 “第1章 有理数”中的9种易错题 【沪教版】六年级上册“第1章 有理数”是：初中代数的入门基石，核心是建立 "负数" 概念并掌握有理数的全套运算法则，复习时建议围绕概念、运算、易错点三条线展开； 一、抓牢三大概念工具：数轴是贯穿全章的主线，要能熟练在数轴上描点、比较大小；相反数与绝对值则是考试高频考点----相反数注意“0的相反数是0”，绝对值务必牢记 “距离非负”，遇到含字母的绝对值问题要养成分类讨论的习惯（正数、负数、0三种情况），这是本章第一个难点； 二、过熟运算符号法则：有理数运算最容易丢分的不是计算能力，而是符号；复习时先把法则口诀化：同号相加取原符号、异号相加取绝对值大的符号；减法统一转化为加法；乘除“同号得正、异号得负”；乘方要分清底数（如：与的区别）；建议进行混合运算限时训练，先定符号再算绝对值； 三、用好运算律简化计算：加法交换律、结合律与乘法交换律、结合律、分配律是提速关键，尤其分配律要注意不漏乘、不错号，互为相反数、同分母、能凑整的数优先结合。 四、整理错题集中突破：把作业和测试中的错题按“概念混淆”、“符号错误”、“运算顺序错”、 “去括号漏变号”四类归纳，考前重做一遍，比刷新题更高效。 本章内容提要 1、基本概念：有理数，绝对值，相反数，整数； 能够写成分数（、是整数，）的数叫作有理数； 数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数的绝对值； 绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数； 正整数、零、负整数统称为整数； 2、有理数运算法则： （1）减法法则： 同号两数相加，绝对值相加，符号与加数相同； 异号两数相加，绝对值相减，符号与绝对值大的加数相同； 任何一个数与0相加，仍得这个数； （2）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； （3）乘法法则： 同号两数相乘，绝对值相乘，符号为正； 异号两数相乘，绝对值相乘，符号为负； 任何数与0相乘，积为0； （4）除法法则： 除以一个不是0的数，等于乘这个数的倒数； 3、有理数的运算律与自然数相同。 题型1、易错点之“0的归属”问题 例1、下列关于“0”的说法正确的是(        ) ①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数． A．①④ B．②③ C．①② D．①③ 【提示】根据有理数的相关定义和0的特殊性对各小题分析判断即可得解； 【答案】C； 【解析】①0是整数，也是有理数，正确； ②0不是正数，也不是负数，正确； ③0是整数，是有理数，故本小题错误； ④0是整数，也是自然数，故本小题错误． 综上所述：说法正确的是①②． 故选C； 【说明】本题考查了0的归属问题；熟记相关概念以及0的特殊性是解题的关键；“易错提醒”对0的理解错误，0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数； 例2、下列关于“零”的说法正确的序号是 （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． 【提示】本题主要考查有理数的初步认识，0的意义；根据有理数的初步认识逐一判断即可； 【答案】（1）（2）； 【解析】由：0是整数，也是有理数， 0不是正数，也不是负数， 0也是自然数． 所以，（1）（2）正确； 故答案填：（1）（2）； 【说明】本题考查了0的意义；特别注意：0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界，但0是整数、是有理数。 题型2、易错点之“有关有理数分类”问题 例3、下列关于有理数的描述（    ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【提示】注意理解有理数的定义、0的意义、有理数的分类、带“非”字的有理数； 【答案】C； 【解析】由：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C； 【说明】本题考查了有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可；特别注意：熟记这些内容是解题关键； 例4、下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 【提示】注意，有理数的定义、0的意义，据此逐一判断即可； 【答案】3； 【解析】由：①有限小数和循环小数都是有理数，原说法正确； ②0是非负有理数，原说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，原说法错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，原说法正确． 所以，法正确的有①②④，共3个， 故答案为：3； 【说明】本题主要考查了有理数的定义，0的意义，有理数分为正有理数，0和负有理数，有理数又分为整数和分数，0既不是正数，也不是负数；特别注意：有理数具有“有限小数和无限循环小数”的特点； 最直观的判别法：小数有限或循环是有理数；小数无限且不循环则为无理数； 几个容易踩坑的点：1、虽然写不完，但它是循环小数，所以是有理数（）；2、是有理数，它只是的近似值，并不等于；3、不是所有带根号的数都是无理数：是有理数， 才是无理数； 4、数和无理数不能互相转化—— 这是它们最根本的界线。 题型3、易错点之“有关正数、负数和零”问题 例5、如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（   ） 零钱明细 微信红包 10月25日8：21 余额 微信转账 10月25日9：01 余额 微信红包 10月25日9：29 余额 A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 【提示】本题考查正数与负数的实际意义，理解正数代表收到红包、负数代表发出红包，即可得到答案； 【答案】A； 【解析】由题图可知，正数代表收到红包、负数代表发出红包，则表示的意思是发出100元红包， 故选：A； 【说明】本题考查了正负数的实际应用，读懂题意，理解正负数的实际意义是解决问题的关键； 例6、下列语句： ①不带“”号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数． 其中错误的有_______．（填序号） 【提示】注意数7的符号为“”，不是没有符号；0不是正数，也不是负数．本题易因对正数、负数的认识不正确而出错．根据正、负数的定义，以及有理数的分类逐项进行判断即可； 【答案】①③④； 【解析】①不带“”号的数不一定都是正数，例如0，前面没有“”，但0不是正数，故原说法错误； ②一个正数的前面加上负号就是负数，正确； ③数7前面的符号为“”，故原说法错误； ④0不是正数，也不是负数，因此不是正数的数不一定是负数，不是负数的数不一定是正数，故原说法错误． 综上分析可知：其中错误的有①③④． 故答案为：①③④； 【说明】本题主要考查了正负数的认识，有理数的分类；易错点提醒：1、正负数表示相反意义的同类量，0的基准作用；2、在实际应用中注意：（1）明确情境中的基准量，（2）判断所求量与基准量的关系，（3）排除非同类量干扰，确保正负数仅用于描述同一属性的相反趋势； 题型4、易错点之“有关有理数的混合运算”问题 例7、支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（    ） 微信红包-来自王某某： 某平台商户：－ 扫二维码付给某店： A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元 【提示】根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可获得答案； 【答案】B； 【解析】由：， 即：王老师当天微信收支的最终结果是：支出元； 故选：B； 【说明】本题考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，关键是读懂题意，熟练掌握运算法则； 例8、下面是小明同学做过的两道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． （1）计算：(－48)÷36×； 解：原式＝(－48)÷(－4)…第①步 ＝12．…第②步 问题：上述解法中，第几步有错？________(填序号即可)． 本题的正确解法： （2）计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]． 解：原式＝1－×÷(－11)…第①步 ＝1－÷(－11)…第②步 ＝1－…第③步 ＝．…第④步 问题：上述解法中，第几步有错？________(填序号即可)． 本题的正确解法是： 【提示】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解；（2）根据有理数的混合运算法则即可求解； 【答案】（1）①，，过程见解析；（2）①③，－，过程见解析． 【解析】（1）上述解法中，第①步有错　 原式＝－48××＝ （2）上述解法中，第①③步有错　 －14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2] ＝－1－×÷(－11) ＝－1－×× ＝－1＋ ＝－． 【说明】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则； 有关有理数的混合运算的易错点提醒：1、乘方符号混淆：，，无括号时负号不参与乘方运算；2、绝对值化简：负数去绝对值需要变号，正数、0 直接去掉绝对值符号；3、去括号符号：括号前是负号，括号内每一项全部变号，容易漏改某一项；4、除法转乘法：除以一个数 = 乘它的倒数，带分数必须先化为假分数再计算；5、乘法分配律漏乘：括号外数字需要乘括号内每一项，不能只乘第一项； 题型5、易错点之“有关相反数与绝对值”问题 例9、下列各对数中互为相反数的有（    ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 【提示】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，逐一判断，统计符合条件的对数即可； 【答案】B； 【解析】（1）与只有符号不同，互为相反数； （2），与互为相反数，即：与互为相反数； （3），，与互为相反数，即：与互为相反数； （4），，两数相等，即：与不是互为相反数； （4），，与互为相反数，即：与互为相反数； （6），，与互为相反数，即：与互为相反数； 综上，共有对互为相反数． 【说明】本题主要考查了相反数的定义、化简多重符号； 例10、下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】结合绝对值的化简和有理数的比较法则逐一分析各选项即可； 【答案】D； 【解析】A． ，，则，原式错误； B． ，则，原式错误； C． ，则，原式错误； D． ，，则，原式正确； 故选：D． 【说明】本题考查了绝对值的化简、求一个数的绝对值及有理数的大小比较； 以上两题易错点提醒：1、相反数定义（符号相反、绝对值相等，0的相反数是0），绝对值性质（正数=本身、负数=相反数、0=0）；2、求相反数：直接改变数字符号(0除外)，或利用性质“的相反数是”；3、求绝对值：先判断数的正负，再按性质计算，结果必为非负数； 题型6、易错点之“有关有理数乘除法中的倒数法计算”问题 例11、阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； （2）请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 【提示】（1）根据运算律运用错误直接判定即可；（2）根据题干中的两种运算方法，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案； 【答案】（1）解法一错误；（2）； 【解析】（1）没有除法分配律，故解法一错误； （2）解法一：原式的倒数为： ， 所以原式； 解法二： ． 【说明】本题考查了有理数的乘除法运算与有理数的乘法运算律，解题关键是牢记运算法则； 例12、阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【提示】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【答案】一；（1）；（2）； 【解析】没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 【说明】本题考查了有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算；特别注意：有理数的乘除运算， 没有除法分配律； 题型7、易错点之“有关数轴表示点”问题 例13、如图，在数轴上有，，三个点． （1）点表示的有理数是__________； （2）将点向左平移5个单位长度后的点用表示，则点表示的数是__________；到点距离2个单位长度的点表示的数是__________． （3）请在数轴上描出点、分别表示有理数和，并将点、、、、表示的数直接用“＞”连接起来． 【提示】（1）观察数轴，直接作答即可； （2）先得出点A表示的有理数是：4，再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，得出点D表示的数是，则点D距离2个单位长度的数是或1； （3）结合点M、N分别表示有理数和，直接在数轴上描点，即可作答． 【答案】（1）；（2）；或1；（3）如下图所示： 【解析】（1）解：由数轴得点C表示的有理数是：， 故答案为：； （2）由数轴得点A表示的有理数是：4， 因为，将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示， 所以，， 则点D表示的数是， 或， 即到点D距离2个单位长度的数是或1， 故答案为：；或1； （3）略 【说明】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键； 例14、学习了有理数的减法以后，王老师和同学们一起利用这种运算探究数轴上两个点之间的距离．王老师给出这样一个问题：如图（1），数轴上点A和点B分别表示有理数3和－2，求A，B两点之间的距离．甲，乙，丙，丁四名学生分别给出了如下解答过程和结果： 甲、； 乙、； 丙、； 丁、；    （1）明明认为“甲的解答过程只适应两数分布在原点两侧，所以甲的解法不能推广．”你认为明明的说法是否正确？______（填写“正确”或“错误”）； （2）如图（2），数轴上点A和点B分别表示有理数-5和-1，请你在四名学生中选择一种正确的方法求A，B两点之间的距离； （3）若数轴上A，B两个不同点分别表示有理数a和b，且点A在点B的右边，请直接写出A，B两点之间的距离． 【提示】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）根据两点间的距离公式结合绝对值的性质即可求解； 【答案】（1）正确；（2）选择丁同学的方法：；（3）； 【解析】（1）由题意得：甲的解法不能推广， 故答案为：正确； （2）选择丁同学的方法：； （3）选择乙同学的方法：； 选择丙同学的方法：； 选择丁同学的方法：； 【说明】本题考查的是列代数式，数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式；特别提醒：1、数轴三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；2、根据数轴上字母的位置（原点左/右）判断字母的正负（左负右正）； 题型8、易错点之“有关绝对值化简”问题 例15、若是有理数，则的值（ ） A．一定是正数 B．可能是正数，也可能是负数 C．一定是负数 D．不可能是负数 【答案】D； 【解析】若m＞0，则=2m＞0，若m=0，则=0，若m＜0，则=-m+m=0，所以若m是有理数，则是非负数； 故选D； 【说明】本题考查了与绝对值相关的有理数加法运算； 例16、已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【提示】利用绝对值的几何意义求出两个绝对值和的最小值，结合乘积为确定的取值范围，进而求得的最小值； 【答案】A； 【解析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到1和4的距离之和． 当时，距离和取得最小值，即， 同理，表示数轴上数对应的点到5和的距离之和． 当时，距离和取得最小值，即， 因为，，且， 所以，，． 所以，，． 所以，当，时，的最小值为． 【说明】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值非负性、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算；特别提醒：算式中含绝对值符号和多个括号嵌套的符号．解题要诀是“由内到外、逐一化简”，先算绝对值，再去括号看符号； 题型9、易错点之“有关对乘方的概念理解不清”问题 例17、下列对于，叙述正确的是（    ） A．底数是、指数是4 B．表示4个3相乘的积的相反数 C．表示4个相乘的积 D．表示4与的积 【提示】根据有理数的乘方的含义判断即可； 【答案】B； 【解析】表示4个3相乘的积的相反数， 故选B． 【说明】此题主要考查了有理数的乘方的定义以及相关概念，解答此题的关键是要明确：乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数． 例18、下列计算中正确的是(        ) A． B． C． D． 【提示】根据乘方的定义，合并同类项法则依次对各选项进行判断即可； 【答案】C； 【解析】A． ，故本选项错误； B． 和不是同类项不能合并，故本选项错误； C． ，故本选项正确； D． ，故本选项错误． 故选C． 【说明】本题考查了乘方的定义和合并同类项．在多项式中只有同类项才能合并，合并同类项法则为：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； 1、概念与分类：正数和负数表示具有相反意义的量；0 既不是正数也不是负数。有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； 2、数轴、相反数与绝对值：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数都可用数轴上的点表示。只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。绝对值表示数轴上点到原点的距离，|a|≥0，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数； 3、大小比较：正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 4、运算规则：加法 —— 同号取相同符号相加，异号取绝对值较大者的符号相减；减法 —— 减去一个数等于加上它的相反数；乘法 —— 同号得正、异号得负；除法 —— 除以一个数等于乘它的倒数；乘方 ——表示 个相乘；混合运算按 “乘方→乘除→加减”顺序，有括号先算括号内，并活用运算律简化计算。 1．下列关于有理数的描述：①数轴上原点两侧的数互为相反数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，所以0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数；⑤两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B； 【解析】①数轴上原点两侧且到原点距离相等的数互为相反数，原说法错误； ②0是非负有理数，原说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，原说法错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，原说法正确； ⑤两个负数比较大小，绝对值大的反而小，原说法错误． 则其中正确的个数是2个． 故选：B． 2．下列说法：①一个有理数，它不是整数就是分数；②带有负号的数一定是负数；③异号两数相加，取较大的加数的符号；④一定是非正数；⑤若，则；⑥绝对值等于它本身的数是0和1．其中正确的个数是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①一个有理数，它不是整数就是分数，正确； ②带有负号的数不一定是负数，例如，故原说法错误； ③异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，故原说法错误； ④，则，故一定是非正数，正确； ⑤若，则，故原说法错误； ⑥绝对值等于它本身的数是0和正数，故原说法错误． 综上所述，正确的有①④，一共2个． 3．下列说法： ①有理数的绝对值一定是正数； ②任何一个数都有它的相反数； ③一个有理数不是整数就是分数； ④互为相反数的两个数绝对值相等； ⑤一个有理数不是正数就是负数． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①有理数的绝对值一定是非负数；故①不正确； ②任何一个数都有它的相反数；故②正确； ③一个有理数不是整数就是分数；故③正确； ④互为相反数的两个数绝对值相等；故④正确； ⑤一个有理数不是正数就是负数或0．故⑤不正确； 故选：C 4．下列说法中不正确的有（    ） ①–3.14既是负数，分数，也是有理数；②既不是正数，也不是负数，但是整数；③0是正数和负数的分界；④–（+200）既是负数，也是整数，但不是有理数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A； 【解析】–3.14既是负数，分数，也是有理数，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，但是整数，故②正确； 0是正数和负数的分界，故③正确； ④–（+200）既是负数，是整数，也是有理数，故④不正确． 故选A． 5．已知a，b，c为有理数，且，，则的值为 【答案】1 【解析】因为， 所以，a，b，c中应有奇数个负数 所以，a，b，c的符号可以为：1负2正或3负 因为， 所以，a，b，c的符号为1负2正 令，， 所以，，， 所以， 6．已知，，且，则的值为 【答案】或； 【解析】因为，，， 所以，，， 因为，， 所以，，或，， 所以，或， 则或． 7．一个物体做左右方向的运动，若向右运动记作，则向左运动记作 【答案】； 【解析】由于向右运动记作， 所以，向左运动记作． 8．计算的结果是 【答案】； 【解析】， 9．下列说法，正确的命题序号是 ①带负号的数一定是负数；②有理数都有倒数；③若，则一定是非负数；④0是最小的整数；⑤正数和负数统称有理数；⑥一定是负数． 【答案】③ 【解析】根据有理数的意义和绝对值的性质，得： ①带负号的数一定是负数，错误，如-(-2)=2； ②有理数都有倒数，错误，如0没有倒数； ③若，则一定是非负数，正确； ④0是最小的整数，错误，没有最小的整数； ⑤正数和负数统称有理数，错误，有理数包括正有理数，0和负有理数； ⑥一定是负数，错误，如-（-1）=1. 以上正确的有一个， 10．下列说法中：①任何数都有倒数；②一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以，便得这个数的相反数；③同号两数相乘，取原来的符号并把绝对值相乘；④的结果必为非负数；⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑥若，则；⑦一定是负数；正确的序号是 【答案】②④⑤； 【解析】①0就没有倒数，原说法错误，不符合题意； ②一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以(-1)，便得这个数的相反数，说法正确，符合题意； ③两数相乘，同号得正，原说法错误，不符合题意； ④的结果必为非负数，说法正确，符合题意； ⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，说法正确，符合题意； ⑥若，则，原说法错误，不符合题意； ⑦当a=0时，，不一定是负数，原说法错误，不符合题意； 综上，正确的说法有②④⑤； 11．下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式  第①步   第②步   第③步 ．  第④步 问题： （1）上述解法中，从第________步开始出错（填序号）． （2）请写出本题的正确解法． 【答案】（1）①；（2）见解析； 【解析】（1）解：从①步开始出错,应为 故答案为：①. （2）原式 ． 12．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式=； 解法二：原式=； 解法三：原式的倒数为，故原式=． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． （2）请你运用合适的方法计算：． 【答案】（1）一；（2）； 【解析】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解： ， 所以，． 第16页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $