专题2.4 三元一次方程组及其解法（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题2.4 三元一次方程组及其解法 教学目标 （1）能准确辨析三元一次方程组 （2）掌握三元一次方程组的基本解法思路，熟练运用代入消元法和加减消元法，实现“三元→二元→一元”的逐步消元，规范完成方程组求解全过程 （3）能解决简单的三元一次方程组计算问题，初步感知消元思想在多元方程中的通用性，为后续复杂多元方程学习奠定基础 教学重难点 1.重点 （1）三元一次方程组的定义辨析与判定； （2）用代入消元法、加减消元法解简单的三元一次方程组。 2.难点 （1）灵活选择消元对象与消元方法，快速实现三元转二元的转化； （2）规避多步消元过程中的运算失误，准确求解并检验方程组的解； （3）理解消元思想在多元方程组中的核心逻辑 知识点01 三元一次方程组的定义 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 【即学即练】 1．下列不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意． C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 知识点02 三元一次方程组的解法 （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即学即练】 1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】 解：设1个“”， “”，“”的质量分别为， ∴， ∴， ∴， 即：与1个“”质量相等的“”的个数为2； 故选C． 2.有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【分析】设甲件元、乙件元、丙件元，根据数量关系，列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设甲件元、乙件元、丙件元，根据题意得， ，两个式子相加得，， ∴，即甲、乙、丙三种商品各件共需元， 故选：． 【点睛】本题主要考查三元一次方程与实际问题的综合应用，理解题目数量关系，列方程是解题的关键． 3．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：D． 4．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【答案】 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 5．用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，分别按图①、②的方式放置．测量的数据如图，这张桌子的高度是_______． 【答案】75 【分析】本题考查了方程组的应用，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 设桌子高，长方体长，宽，列方程组得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设桌子高，长方体长，宽， 根据题意得， 得， 解得：， 故答案为：． 题型01 三元一次方程组的定义 【典例1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 题型02 解三元一次方程组 【典例2】解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 【变式1】解方程组 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可，正确求解是解答的关键． 【详解】解：得：， 得：，解得：， 将代入④得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 【变式2】解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）用代入消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 把④代入①得：，即， 把④、⑤分别代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式3】解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ．④ ，得 ．⑤ ，得 ， 解得． 把代入④，得 ， 解得． 把代入③，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 （2） ，得 ．④ ，得 ， 即．⑤ ④与⑤组成方程组，得 解得 将代入①，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 题型03 已知三元一次方程组的解求参数 【典例3】已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 【变式1】若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 【变式2】已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 【变式3】若方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．把代入方程组通过整体思想即可求解 【详解】解：把代入方程组得： 得： 由①得 将④代入得： 将③代入 故： 故答案为： ． 题型04 三元一次方程组的应用 【典例4】为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 【变式1】在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【答案】上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程组是解题的关键．设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗， 依题意，得：， 解得， 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． 【变式2】某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 【答案】甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划 【分析】本题的等量关系为：甲生产零件的天数+乙生产零件的天数+丙生产零件的天数=30，甲、乙、丙所生产零件个数比为3:2:1，由此可得出方程组求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三种零件各应生产天、天、天才能完成计划． 由题意，得整理，得 代入第一个方程，得，解得， 所以，即 答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划． 【点睛】本题主要考查三元一次方程的应用，用各个生产零件的个数和相对应的比例得出等量关系，根据时间列方程，从而求出解． 1．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 2．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 4．有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要、、元，   由题意得：，   得： ，   即购甲件、乙件，共需元， 故选：C． 5．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【详解】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 6．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ； 故选：D． 7．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 8．若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 【答案】0 【分析】本题考查了三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程，熟记三元一次方程的定义是解题关键．根据三元一次方程的定义可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的三元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：0． 9．有红、黄、白三种颜色的球，红球和黄球一共21个，黄球和白球一共有20个，红球和白球一共有19个．则三种球总共有_______个． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．本题通过设定未知数并建立方程组，利用方程相加的方法直接求解总和，无需单独求解每个未知数． 【详解】解：设红球数量为个，黄球为个，白球为个， 根据题意，可得：， 将三个方程相加： ， 左边化简为：， 两边同时除以2，得：， 三种球的总数为个． 故答案为：． 10．小明和小华去书店买书．小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元．试问每种书各买一本共需支付________元． 【答案】30 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用． 设小说的单价为x元，漫画的单价为y元，杂志的单价为z元，根据“小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，利用，即可求出结论． 【详解】解：设小说的单价为x元，漫画的单价为y元，杂志的单价为z元， 根据题意得：， 得：， ∴每种书各买一本共需支付30元． 故答案为：30． 11．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用．根据“在12场比赛，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列三元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 12．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是． 13．有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 对于（1），先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可； 对于（2），仿照（1）列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可． 【详解】（1）解：设甲，乙，丙商品的单价为x元，y元，z元，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元； （2）解：乐乐的说法正确． 设购买甲，乙商品的单价为x元，y元，根据题意，得 ， 得． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 三元一次方程组及其解法 教学目标 （1）能准确辨析三元一次方程组 （2）掌握三元一次方程组的基本解法思路，熟练运用代入消元法和加减消元法，实现“三元→二元→一元”的逐步消元，规范完成方程组求解全过程 （3）能解决简单的三元一次方程组计算问题，初步感知消元思想在多元方程中的通用性，为后续复杂多元方程学习奠定基础 教学重难点 1.重点 （1）三元一次方程组的定义辨析与判定； （2）用代入消元法、加减消元法解简单的三元一次方程组。 2.难点 （1）灵活选择消元对象与消元方法，快速实现三元转二元的转化； （2）规避多步消元过程中的运算失误，准确求解并检验方程组的解； （3）理解消元思想在多元方程组中的核心逻辑 知识点01 三元一次方程组的定义 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 【即学即练】 1．下列不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 三元一次方程组的解法 （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即学即练】 1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2.有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 3．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 5．用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，分别按图①、②的方式放置．测量的数据如图，这张桌子的高度是_______． 题型01 三元一次方程组的定义 【典例1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型02 解三元一次方程组 【典例2】解下列方程组： (1)； (2)． 【变式1】解方程组 【变式2】解下列方程组： (1)； (2)． 【变式3】解下列方程组： (1) (2) 题型03 已知三元一次方程组的解求参数 【典例3】已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【变式1】若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【变式2】已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【变式3】若方程组的解是，则的值为________． 题型04 三元一次方程组的应用 【典例4】为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【变式1】在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【变式2】某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 1．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A．B． C． D． 2．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 4．有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；现购甲件、乙件，共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 7．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 8．若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 9．有红、黄、白三种颜色的球，红球和黄球一共21个，黄球和白球一共有20个，红球和白球一共有19个．则三种球总共有_______个． 10．小明和小华去书店买书．小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元．试问每种书各买一本共需支付________元． 11．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为______． 12．解方程组 (1) (2) 13．有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． (1)请你根据欢欢的思路解决问题． (2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $