第11讲 复数的概念（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（苏教版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

本高中数学讲义聚焦复数的概念这一核心知识点，系统梳理复数的定义、实部虚部及复数集等基础概念，构建从复数分类（实数、虚数、纯虚数）到复数相等充要条件的学习支架，帮助学生逐步理解知识脉络。 资料以“举三反三”题型讲解为特色，通过例题与变式训练培养学生数学思维，强化训练涵盖选择、填空、解答等多种题型助力用数学语言表达问题。课中辅助教师高效授课，课后便于学生回顾练习，有效查漏补缺。

第11讲 复数的概念 知识清单 知识点01：复数的有关概念及表示 知识点02：复数的分类 题型讲解 （举三反三） 题型1：求复数的实部或虚部 题型2：复数的分类问题 题型3：复数相等的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、复数的有关概念及表示 1. 复数 (1)定义：把形如a+bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位. (2)表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部. 2. 复数集 全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C. 知识点二、复数的分类 1. 复数z=a+bi(a，b∈R)的分类： 复数 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：   方法与技巧： 1. 两个复数相等的充要条件 如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即 a+bi=c+di⇔ (a，b，c，d∈R). 这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 2. 利用复数的分类解决参数问题 （1） 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数的取值使复数有意义，然后根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件求解. 设复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则 (1)当且仅当b=0时，z为实数； (2)当且仅当a=b=0时，z为实数0； (3)当b≠0时，z为虚数； (4)当a=0且b≠0时，z为纯虚数； (5)当a≠0且b≠0时，z为非纯虚数. （2） 准确理解复数的概念是解题的基础，比如形如bi的复数不一定是纯虚数，只有满足限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的复数才是纯虚数. （3）对于复数z，明确其表示形式z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去认识它，即用两个实数认识一个复数. 将复数问题转化为两个实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法. 3.复数相等的充要条件的应用 1. 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是： (1)分别确定两个复数的实部与虚部； (2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解 题型1：求复数的实部或虚部 【例1-1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数，则z的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相关概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：A 【例1-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）设，则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得复数的虚部为. 故选：A. 【例1-3】若复数，则的虚部为______． 【答案】5 【分析】利用复数的定义求解即可. 【详解】复数的实部为2，虚部为5， 故答案为：5 【变式1-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数（为虚数单位），则的虚部是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相关概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：A 【变式1-2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）复数.则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，即可得虚部. 【详解】因为复数， 所以复数的虚部是. 故选：D. 【变式1-3】若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为______． 【答案】2 【分析】利用复数的意义结合给定条件，列式计算作答. 【详解】复数的实部与虚部分别为，因此，解得， 所以b的值为2. 故答案为：2 题型2：复数的分类问题 【例2-1】（24-25高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 【例2-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数______. 【答案】 【分析】首先设出复数的一般形式，再根据纯虚数的定义得到实部和虚部的方程，进而求解. 【详解】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数，，解得， . 故答案为：. 【例2-3】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 【变式2-1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 【变式2-2】（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______． 【答案】 【分析】利用纯虚数的性质列方程组求解可得. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 【变式2-3】实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)纯虚数？ 【答案】(1)或6； (2). 【分析】（1）（2）利用实数、纯虚数的定义列式求解即得. 【详解】（1）复数是实数，则，解得或， 所以当或时，复数z是实数. （2）由复数z是纯虚数，得且，解得， 所以当时，复数z是纯虚数. 题型3：复数相等的应用 【例3-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A 【例3-2】（24-25高一下·天津·月考）若实数满足，其中为虚数单位，则________. 【答案】 【分析】利用复数相等来计算即可. 【详解】根据复数相等可得：，解得：，所以. 故答案为：. 【例3-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可； （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可； （3）根据复数相等列式求解即可. 【详解】（1）当，即或时，复数是实数； （2）当，即且时，复数是虚数； （3）当即时，复数是0. 【变式3-1】（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【答案】C 【分析】根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确； B：，因此本选项说法不正确； C：，，因此本选项说法正确； D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确， 故选：C 【变式3-2】若复数，，为虚数单位，则______． 【答案】5 【分析】根据复数相等得结论即可. 【详解】因为，由复数相等可得. 故答案为：. 【变式3-3】求适合下列各方程的实数，的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2)或或或 (3) 【分析】根据复数相等得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，为实数，且， 则，解得或； （2）因为且，为实数， 所以，解得或， 解得或， 所以或或或； （3）因为且，为实数， 所以，解得. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）若复数满足方程（i是虚数单位），则（    ） A．1 B．i C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解 【详解】因为，即，所以. 故选：C. 2．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意可得复数（为虚数单位）的虚部为. 故选：B 3．若复数是纯虚数，则实数a的值是（    ）． A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用纯虚数的概念即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以实数a的值是1. 故选：A. 4．复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数虚部的含义可得答案. 【详解】因为，所以虚部为. 故选：C 5．（24-25高一下·江苏·月考）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的定义直接求解即可. 【详解】由题知，复数的虚部为. 故选：B 6．（24-25高一下·江苏连云港·期中）若复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数的乘方以及虚部的概念，可得答案. 【详解】由，则其虚部为. 故选：A. 7．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据的次方运算的周期性可得答案. 【详解】， 故选：A 8．若复数，则实数（    ） A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数相等可得出关于实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为复数， 则有，解得， 故选：A. 二、多选题 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据复数相等的定义得解. 【详解】，， ，，， 故选：AD. 10．下列说法中正确的有（    ） A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则实数 C．若，则为实数 D．若，且，则 【答案】CD 【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误； 对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误； 对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确； 对于D中，由，且，所以，所以D正确． 故选：CD 11．下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的概念逐项分析即得. 【详解】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 三、填空题 12．若复数为纯虚数，则实数m的值为___________． 【答案】/0.5 【分析】先对原式变形，利用纯虚数的概念可得，即可求解的值. 【详解】解：由题可得为纯虚数， 所以，解得. 故答案为：. 13．在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则__________. 【答案】 【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可． 【详解】由已知． 故答案为：． 14．下列命题正确的是___________.（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【答案】④ 【分析】由复数的基本概念求解即可. 【详解】解：对于①，当时，则为实数，不是纯虚数，则①错误； 对于②，由于复数不能比较大小，故②错误； 对于③，则，解得，故④错误； 对于④，显然正确， 故答案为：④ 四、解答题 15．是否存在实数，使是纯虚数？ 【答案】不存在 【分析】根据纯虚数定义列出关系式求解. 【详解】由是纯虚数， 得，解得. 即不存在实数，使是纯虚数． 16．复数，其中． (1)若复数为实数，求的值： (2)若复数为纯虚数，求的值． 【答案】(1)5或 (2)3 【分析】（1）由题意得复数的虚部为0，由此即可列方程求解； （2）由题意实部为0，且虚部不为0，由此即可列式求解. 【详解】（1）由复数为实数，得， 解得或. （2）由复数为纯虚数，得，解得. 17．（2024高一下·江苏·专题练习）复数，其中. (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由复数为实数列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由纯虚数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由复数为实数可得， 解得或. （2）由复数为纯虚数可得， 解得. 18．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系式求解， （2）根据为实数且小于0即可求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 19．复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 复数的概念 知识清单 知识点01：复数的有关概念及表示 知识点02：复数的分类 题型讲解 （举三反三） 题型1：求复数的实部或虚部 题型2：复数的分类问题 题型3：复数相等的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、复数的有关概念及表示 1. 复数 (1)定义：把形如a+bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位. (2)表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部. 2. 复数集 全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C. 知识点二、复数的分类 1. 复数z=a+bi(a，b∈R)的分类： 复数 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：   方法与技巧： 1. 两个复数相等的充要条件 如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即 a+bi=c+di⇔ (a，b，c，d∈R). 这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 2. 利用复数的分类解决参数问题 （1） 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数的取值使复数有意义，然后根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件求解. 设复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则 (1)当且仅当b=0时，z为实数； (2)当且仅当a=b=0时，z为实数0； (3)当b≠0时，z为虚数； (4)当a=0且b≠0时，z为纯虚数； (5)当a≠0且b≠0时，z为非纯虚数. （2） 准确理解复数的概念是解题的基础，比如形如bi的复数不一定是纯虚数，只有满足限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的复数才是纯虚数. （3）对于复数z，明确其表示形式z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去认识它，即用两个实数认识一个复数. 将复数问题转化为两个实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法. 3.复数相等的充要条件的应用 1. 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是： (1)分别确定两个复数的实部与虚部； (2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解 题型1：求复数的实部或虚部 【例1-1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数，则z的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【例1-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）设，则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【例1-3】若复数，则的虚部为______． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数（为虚数单位），则的虚部是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）复数.则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为______． 题型2：复数的分类问题 【例2-1】（24-25高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【例2-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数______. 【例2-3】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【变式2-1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______． 【变式2-3】实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)纯虚数？ 题型3：复数相等的应用 【例3-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例3-2】（24-25高一下·天津·月考）若实数满足，其中为虚数单位，则________. 【例3-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【变式3-1】（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【变式3-2】若复数，，为虚数单位，则______． 【变式3-3】求适合下列各方程的实数，的值： (1)； (2)； (3)． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）若复数满足方程（i是虚数单位），则（    ） A．1 B．i C． D． 2．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．若复数是纯虚数，则实数a的值是（    ）． A．1 B．3 C． D． 4．复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏·月考）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏连云港·期中）若复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 7．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 8．若复数，则实数（    ） A．2 B．3 C．0 D．1 二、多选题 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的有（    ） A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则实数 C．若，则为实数 D．若，且，则 11．下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 三、填空题 12．若复数为纯虚数，则实数m的值为___________． 13．在复数范围内，将多项式分解成为一次因式的积，则__________. 14．下列命题正确的是___________.（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 四、解答题 15．是否存在实数，使是纯虚数？ 16．复数，其中． (1)若复数为实数，求的值： (2)若复数为纯虚数，求的值． 17．（2024高一下·江苏·专题练习）复数，其中. (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值. 18．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 19．复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $