专题04二次根式突破复习讲义 2026年中考一轮复习(全国通用)

专题04二次根式突破复习讲义 【模块一 二次根式的概念与有意义】................................3 【题型01 二次根式的定义判断】....................................3 【题型02 二次根式有意义的条件】..................................3 【题型03 二次根式的非负性】......................................4 【题型04 与二次根式有关的开放性问题】............................4 【模块二 二次根式的性质与化简】..................................4 【题型05 利用二次根式性质化简】..................................4 【题型06 复合二次根式化简 】.....................................5 【模块三 二次根式的基础运算】....................................5 【题型07 最简二次根式】..........................................5 【题型08 同类二次根式】..........................................5 【题型09 二次根式的加减运算】....................................6 【题型10 二次根式的乘除运算】....................................6 【题型11 分母有理化】............................................6 【模块四 二次根式的混合运算】....................................7 【题型12 二次根式的混合运算】....................................7 【题型13 乘法公式运算】..........................................7 【题型14 二次根式化简求值】......................................8 【模块五 二次根式的应用】........................................8 【题型15 二次根式的实际应用】....................................8 【题型16 二次根式与几何边长.面积计算】............................8 【模块六 二次根式综合拓展】.......................................9 【题型17 二次根式的大小比较】.....................................9 【题型18 二次根式的估值与范围】..................................10 【题型19 二次根式有关的新定义问题】..............................10 【题型20 与二次根式有关的规律探究题】............................10 分值占比：在中考数学中属于基础核心考点，分值约 68 分，题型稳定、基础得分占比高。 题型分布：以选择题、填空题为主，少量出现在解答题前两题，属基础送分题型。 考查重点：二次根式有意义的条件、性质与化简、混合运算、估值与大小比较、规律探究。 命题难度：以基础题、中档题为主，侧重运算规则、化简方法与基本性质应用；综合题多与实数、几何、函数等结合，难度中等、计算规范要求高。 命题趋势：题型稳定、考点固定，每年 12 题；注重概念理解、运算准确性、综合应用，估值与规律探究类题型偶有出现、难度适中。 ★知识梳理★ 知识点01:定义 形如的式子叫二次根式，其中 a 是被开方数。 条件：a≥0，式子结果 ≥0。 知识点02:有意义的条件 被开方数非负：a≥0 多个二次根式相加时，每个被开方数都必须 ≥0，取交集。 知识点03:基本性质 知识点04:最简二次根式 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识点05:同类二次根式 化简后被开方数相同的二次根式，可合并。 知识点06:二次根式的运算 1. 加减 先化简，再合并同类二次根式。 2. 乘除 =​ =​ 3. 混合运算 先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号；可用乘法公式。 知识点07:分母有理化 分子、分母同乘分母的有理化因式： ​ 知识点08:常见易错点 1.=∣a∣，注意符号； 2.化简先判断被开方数正负； 3.合并只合并同类二次根式； 4.分母有理化步骤完整。 【模块一 二次根式的概念与有意义】 【题型1.二次根式的定义判断】 【典例】如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 【跟踪专练1】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】若实数x，y满足，则的值为__________． 【跟踪专练3】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【题型2.二次根式有意义的条件】 【典例】若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【跟踪专练1】已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【跟踪专练2】对一切实数，有成立，则的最大值为___________． 【跟踪专练3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【题型3.二次根式的非负性】 【典例】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【跟踪专练1】若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【跟踪专练2】若，则的最大值是__________． 【跟踪专练3】若实数，满足，则的取值范围为_____． 【题型4.与二次根式有关的开放性问题】 【典例】能使在实数范围内有意义的m的值可以是______．（写出一个即可） 【跟踪专练1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【跟踪专练2】若为正整数，要使有意义，则_____．（写出一个即可） 【跟踪专练3】已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为___________； 【模块二 二次根式的性质与化简】 【题型5.利用二次根式性质化简】 【典例】计算的结果是_______． 【跟踪专练1】如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.已知，，，…，则____________． 【跟踪专练3】如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【题型6.复合二次根式化简】 【典例】形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为______． 【跟踪专练1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】_______． 【跟踪专练3】已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【模块三 二次根式的基础运算】 【题型7.最简二次根式】 【典例】已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【跟踪专练1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练2】若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【跟踪专练3】若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【题型8.同类二次根式】 【典例】最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【跟踪专练1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【跟踪专练3】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型9.二次根式的加减运算】 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：_________． 【跟踪专练3】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【题型10.二次根式的乘除运算】 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【跟踪专练2】能使等式 成立的x的取值范围是_______． 【跟踪专练3】已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【题型11.分母有理化】 【典例】若，则_______． 【跟踪专练1】在下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】______． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【模块四 二次根式的混合运算】 【题型12.二次根式的混合运算】 【典例】计算的结果等于___________． 【跟踪专练1】老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【跟踪专练2】计算的结果是____________． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【题型13.乘法公式运算】 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，则代数式______． 【跟踪专练3】.已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型14 二次根式的化简求值】 【典例】已知，，则的值为________． 【跟踪专练1】已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【跟踪专练2】当时，式子的值是_____________． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【模块五 二次根式的应用】 【题型15.二次根式的实际应用】 【典例】如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为___________． 【跟踪专练1】已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），．假若一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在内，该座钟发出了______次滴答声．（参考数据：，π取3.14，结果保留整数） 【跟踪专练3】无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【题型16.二次根式与几何边长.面积计算】 【典例】南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积____________（填“”“”或“”）． 【跟踪专练1】长为，宽为的矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为__________． 【跟踪专练3】如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【题型17.二次根式的大小比较】 【典例】比较大小__________． 【跟踪专练1】若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【跟踪专练3】已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型18.二次根式的估值与范围】 【典例】估算的值应在（   ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【跟踪专练1】估算比较大小：_____1．（填“”或“”或“”） 【跟踪专练2】已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 【跟踪专练3】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型19.二次根式有关的新定义问题】 【典例】现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则_____． 【跟踪专练1】对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【跟踪专练2】定义运算“☆”的运算法则为，则______． 【跟踪专练3】对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为______． 【题型20.与二次根式有关的规律探究题】 【典例】，，，，…按此规律，第个数为_________． 【跟踪专练1】设，则的值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 【跟踪专练3】.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次根式突破复习讲义 【模块一 二次根式的概念与有意义】................................3 【题型01 二次根式的定义判断】....................................3 【题型02 二次根式有意义的条件】..................................5 【题型03 二次根式的非负性】......................................7 【题型04 与二次根式有关的开放性问题】............................9 【模块二 二次根式的性质与化简】.................................11 【题型05 利用二次根式性质化简】.................................11 【题型06 复合二次根式化简 】....................................13 【模块三 二次根式的基础运算】...................................15 【题型07 最简二次根式】.........................................15 【题型08 同类二次根式】.........................................17 【题型09 二次根式的加减运算】...................................18 【题型10 二次根式的乘除运算】...................................20 【题型11 分母有理化】...........................................22 【模块四 二次根式的混合运算】...................................24 【题型12 二次根式的混合运算】...................................24 【题型13 乘法公式运算】.........................................26 【题型14 二次根式化简求值】.....................................27 【模块五 二次根式的应用】.......................................30 【题型15 二次根式的实际应用】...................................30 【题型16 二次根式与几何边长.面积计算】...........................32 【模块六 二次根式综合拓展】......................................35 【题型17 二次根式的大小比较】....................................35 【题型18 二次根式的估值与范围】..................................37 【题型19 二次根式有关的新定义问题】..............................40 【题型20 与二次根式有关的规律探究题】............................41 分值占比：在中考数学中属于基础核心考点，分值约 68 分，题型稳定、基础得分占比高。 题型分布：以选择题、填空题为主，少量出现在解答题前两题，属基础送分题型。 考查重点：二次根式有意义的条件、性质与化简、混合运算、估值与大小比较、规律探究。 命题难度：以基础题、中档题为主，侧重运算规则、化简方法与基本性质应用；综合题多与实数、几何、函数等结合，难度中等、计算规范要求高。 命题趋势：题型稳定、考点固定，每年 12 题；注重概念理解、运算准确性、综合应用，估值与规律探究类题型偶有出现、难度适中。 ★知识梳理★ 知识点01:定义 形如的式子叫二次根式，其中 a 是被开方数。 条件：a≥0，式子结果 ≥0。 知识点02:有意义的条件 被开方数非负：a≥0 多个二次根式相加时，每个被开方数都必须 ≥0，取交集。 知识点03:基本性质 知识点04:最简二次根式 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识点05:同类二次根式 化简后被开方数相同的二次根式，可合并。 知识点06:二次根式的运算 1. 加减 先化简，再合并同类二次根式。 2. 乘除 =​ =​ 3. 混合运算 先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号；可用乘法公式。 知识点07:分母有理化 分子、分母同乘分母的有理化因式： ​ 知识点08:常见易错点 1.=∣a∣，注意符号； 2.化简先判断被开方数正负； 3.合并只合并同类二次根式； 4.分母有理化步骤完整。 【模块一 二次根式的概念与有意义】 【题型1.二次根式的定义判断】 【典例】如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 【答案】5 【分析】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【详解】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 【跟踪专练1】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【跟踪专练2】若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 【题型2.二次根式有意义的条件】 【典例】若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 【跟踪专练1】已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 【跟踪专练2】对一切实数，有成立，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， 所以， 设， 则， 由于， 所以，即， 因此，的最小值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 【题型3.二次根式的非负性】 【典例】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 【跟踪专练1】若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且． 故选：A． 【跟踪专练2】若，则的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，设，得，继而得到，故得到，配方，利用非负性解答即可． 本题考查了二次根式的定义，换元，配方，非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 设，则， 故， 故， 而， 故， 故当时，此时，y取最大值，且为． 故答案为：． 【跟踪专练3】若实数，满足，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次函数的性质．首先根据二次根式中被开方数的非负性质可得、，所以可得，然后再分当和两种情况讨论． 【详解】解：由题意易知， ， 显然时，， 当时，不妨设， 此时， 解得：， 由，可得：， 由，可得：， ， 则， 若，则，则，不符合题意， 若，则，则，也不符合题意， ， 即， 易知时，， ， 令，则， 由二次函数的性质可知， 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【题型4.与二次根式有关的开放性问题】 【典例】能使在实数范围内有意义的m的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列不等式求出的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的值可以是8（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【跟踪专练2】若为正整数，要使有意义，则_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵要使有意义， ∴，则， ∵为正整数， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为___________； 【答案】 【分析】此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义得出，再根据是整数，且是自然数，求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，则． 根据是整数，且是自然数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，不符题意． 所以自然数的值可以为2、9、14、17、18， 故满足条件的最小自然数为2． 故答案为：2． 【模块二 二次根式的性质与化简】 【题型5.利用二次根式性质化简】 【典例】计算的结果是_______． 【答案】 【详解】 ． 【跟踪专练1】如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 【跟踪专练2】.已知，，，…，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论． 仔细观察所给的式子，发现对于正整数，有，然后依据规律得到答案即可． 【详解】解：已知，，，…， 可知规律为， 当时，， 则． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 【题型6.复合二次根式化简】 【典例】形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为______． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【跟踪专练1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 【跟踪专练2】_______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【跟踪专练3】已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【模块三 二次根式的基础运算】 【题型7.最简二次根式】 【典例】已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 【跟踪专练3】若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 【题型8.同类二次根式】 【典例】最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同即为同类二次根式． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式； C．，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式； D．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式． 【跟踪专练2】最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 【跟踪专练3】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式. 判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后，比较根号内的被开方数是否相同. 【详解】解：A.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； B.与根号内的被开方数相同，是同类二次根式； C.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； D.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B. 【题型9.二次根式的加减运算】 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 【跟踪专练1】下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一计算各选项，判断其正确性 【详解】解：A、，，，而 ，故A错误； B、==，故B正确； C、=，而，故C错误； D、 不是同类二次根式，不能相减，故D错误 故选B 【跟踪专练2】计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，正确分母有理化是解题的关键． 先对代数式的每一项分母有理化，再加减抵消即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：C． 【题型10.二次根式的乘除运算】 【典例】计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先根据平方差公式计算乘法、并根据二次根式的除法运算法则计算除法，再进行加减计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练2】能使等式 成立的x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 【题型11.分母有理化】 【典例】若，则_______． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，得到，最后整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：10． 【跟踪专练1】在下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的混合运算法则、分母有理化及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：A、，正确，本选项符合题意； B、，原计算错误，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项不符合题意； D、，原计算错误，本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分母有理化及有理数的混合运算、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 【跟踪专练2】______． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． .故选：C． 【模块四 二次根式的混合运算】 【题型12.二次根式的混合运算】 【典例】计算的结果等于___________． 【答案】2 【分析】先运用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为 ：2． 【跟踪专练1】老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键； 【详解】解：，， ∴小丽和小红负责的式子出现了错误； 故选：B 【跟踪专练2】计算的结果是____________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，掌握知识点是解题的关键． 通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：对于选项A：，∴A错误． 对于选项B：，∴B错误． 对于选项C：，，，∴C正确． 对于选项D：，∴ D错误． 故选C． 【题型13.乘法公式运算】 【典例】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式化简，幂的运算，整式除法及完全平方公式，准确计算是解题的关键． 对每个选项逐一计算验证即可得到结果． 【详解】对于选项，，，错误； 对于选项，根据积的乘方与幂的乘方法则，，错误； 对于选项，根据同底数幂的除法法则，，计算正确，正确； 对于选项，根据完全平方公式，，错误． 正确答案为． 【跟踪专练2】已知，，则代数式______． 【答案】 3 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，二次根式的乘法及加法计算法则，先计算 和 的值，再利用完全平方公式将 转化为 ，代入计算后求算术平方根． 【详解】由已知，，， 则 ， ， 所以 ， 因此， 故答案为：3． 【跟踪专练3】.已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 【题型14 二次根式的化简求值】 【典例】已知，，则的值为________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 【跟踪专练1】已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】当时，式子的值是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，先对式子进行化简，然后将的值代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【模块五 二次根式的应用】 【题型15.二次根式的实际应用】 【典例】如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的拼接，根据正方形的面积等于长方形的面积进行计算即可． 【详解】解：∵长方形的长、宽 ∴长方形的面积为：， ∵正方形是由这样的长方形拼接面成的， ∴正方形的面积为， 因此正方形的边长为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 【跟踪专练2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），．假若一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在内，该座钟发出了______次滴答声．（参考数据：，π取3.14，结果保留整数） 【答案】43 【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数． 【详解】解：， ∴(次)， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键． 【跟踪专练3】无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可． 【详解】解：根据题意，矩形面积为：， ，即， ， 这个矩形面积的值大约在4与5之间， 故选：C． 【题型16.二次根式与几何边长.面积计算】 【典例】南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积____________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积的独特求法——三斜求积公式，正确运用该公式是解题关键． 根据三角形面积的独特求法——三斜求积，代入计算，即可解答． 【详解】解：当时， ． ． 故答案为． 【跟踪专练1】长为，宽为的矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式乘法的应用，熟练掌握二次根式的乘法的运算法则，根据矩形面积等于长乘以宽，列出式子，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：矩形的面积是， 故选：B． 【跟踪专练2】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的应用．正确计算是解题关键．理解题意，掌握海伦公式和秦九韶公式是解题关键． 【详解】解：利用海伦公式求解：， ， ， ， ∴， ； 利用秦九韶公式： ． 【跟踪专练3】如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意易知，点O为正方形的中心， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设正方形ABCD的边长为,则, ∴，解得：， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用等知识点，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系并列出方程是解题关键． 【模块六 二次根式的综合拓展】 【题型17.二次根式的大小比较】 【典例】比较大小__________． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 【跟踪专练1】若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 【跟踪专练2】已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【跟踪专练3】已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 【题型18.二次根式的估值与范围】 【典例】估算的值应在（   ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．将原式计算后估算其大小即可．。 【详解】解：原式， , , , ，, , , ． 故选：B． 【跟踪专练1】估算比较大小：_____1．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算及大小比较，通过估算的取值范围，比较与1的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 则， 因此， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小．通过有理化将和转化为分式形式，比较分母大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 又，， ， ， 则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小． 【跟踪专练3】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型19.二次根式有关的新定义问题】 【典例】现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解， 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【跟踪专练2】定义运算“☆”的运算法则为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 【跟踪专练3】对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键在于理解新定义的运算法则，并进行计算． 理解新定义运算法则，按照新定义运算法则计算即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 【题型20.与二次根式有关的规律探究题】 【典例】，，，，…按此规律，第个数为_________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的规律问题，观察得出分子和分母的规律，进而求解即可． 【详解】解：数列的分子依次为，，，，，…， ∴第个数的分子可表示为； 分母依次为，，，，，…， ∴第个数的分母可表示为， ∴第个数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】设，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，，，得出一般规律，从而得出，进而代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 【跟踪专练2】观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $