8.1平行四边形（新课预习讲义）（题型归纳+常考题型+巩固测试）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

8.1平行四边形（新课预习讲义）苏科版 ☟ 题型归纳 题型1数图形中平行四边形的个数. 题型2利用平行四边形的性质求解. 题型3利用平行四边形的性质证明. 题型4平行四边形性质的其他应用. 题型5证明四边形是平行四边形. 题型6判断能否构成平行四边形. 题型7添一个条件成为平行四边形. 题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数. 题型9全等三角形拼平行四边形问题. 题型10利用平行四边形的判定与性质求解. 题型11平行四边形性质和判定的应用. 题型12巩固测试题 ☘重点知识●梳理 【知识点一、平行四边形定义】 ◆ 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示：记作 ▱ABCD(如下图) 【知识点二、平行四边形的性质】（⭐重点） 1.边：平行四边形的两组对边分别平行且相等； 2.角：平行四边形的邻角互补，对角相等； 3.对角线：平行四边形的对角线相互平分； 4.平行四边形的对称性：是一个中心对称图形； 5.过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形．直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等； 【知识点三、平行四边形的判定】（⭐⭐重难点） 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB  CD或AD  BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 相等 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC，∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 相互平分 的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ★易错提醒： ◆ 一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 ◆ 对角线相等不能判定平行四边形 【知识点四、常用结论与公式】 1.周长：C=2(a+b)（a.b为邻边长); 2.面积：S=底×高; 3.对角线把平行四边形分成4 个面积相等的三角形。 【知识点五、典型题型解题思路】（⭐难点） 1.求边长 / 角度：用 “对边相等、对角相等、邻角互补”; 2.对角线计算：用 “互相平分” 转化为线段等量关系。 💦 常见考点●精讲精练 题型1.数图形中的平行四边形个数 例1．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．如图，，，，图中共有___________个平行四边形． 变式2．用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 题型2利用平行四边形的性质求解 例2．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在四边形中，与相交于点．若，，则当________，________时，四边形是平行四边形． 变式2．如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 题型3利用平行四边形的性质证明 例3．如图，在平行四边形中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 _________． 变式2．如下图，在中，过点作于点，过点作于点．求证：． 题型4平行四边形性质的其他应用 例4．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对C．甲、乙说的都对D．甲、乙说的都不对 变式1．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 变式2．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 题型5证明四边形是平行四边形 例5．将线段向左平移，连接对应点得到的图形是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 变式1．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 变式2．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得，，分别以点B，D为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 题型6判断能否构成平行四边形 例6．四边形的对角线与相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C．， D．， 变式1．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 变式2．如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接． (1)将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形： (2)在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形． 题型7添一个条件成为平行四边形 例7．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件_____可得出四边形是平行四边形． 变式2．已知：，线段，．    求作：平行四边形，使，，． 题型8求与已知三点组成组成平行四边形的点的个数 例8．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 变式1．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 变式2．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 题型9全等三角形拼平行四边形问题 例9．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 变式2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 例10．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 变式1．如图，在梯形中，，则_____． 变式2．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 题型11平行四边形性质和判定的应用 例11．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 变式1．命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的逆命题是________． 变式2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． ✍ 巩固提升●综合测试 一、单选题 1．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，已知，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 5．将两个全等的三角形与按如图所示方式摆放，其中点A，B与点，是对应顶点，连接，，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 ___________（写出一个即可） 8．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 9．已知中，，，则中线的取值范围是______． 10．在中，若，则_______． 11．在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 三、解答题 12．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 13．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 14．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平行四边形（新课预习讲义）苏科版 ☟ 题型归纳 题型1数图形中平行四边形的个数. 题型2利用平行四边形的性质求解. 题型3利用平行四边形的性质证明. 题型4平行四边形性质的其他应用. 题型5证明四边形是平行四边形. 题型6判断能否构成平行四边形. 题型7添一个条件成为平行四边形. 题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数. 题型9全等三角形拼平行四边形问题. 题型10利用平行四边形的判定与性质求解. 题型11平行四边形性质和判定的应用. 题型12巩固测试题 ☘重点知识●梳理 【知识点一、平行四边形定义】 ◆ 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示：记作 ▱ABCD(如下图) 【知识点二、平行四边形的性质】（⭐重点） 1.边：平行四边形的两组对边分别平行且相等； 2.角：平行四边形的邻角互补，对角相等； 3.对角线：平行四边形的对角线相互平分； 4.平行四边形的对称性：是一个中心对称图形； 5.过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形．直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等； 【知识点三、平行四边形的判定】（⭐⭐重难点） 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB  CD或AD  BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 相等 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC，∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 相互平分 的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ★易错提醒： ◆ 一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 ◆ 对角线相等不能判定平行四边形 【知识点四、常用结论与公式】 1.周长：C=2(a+b)（a.b为邻边长); 2.面积：S=底×高; 3.对角线把平行四边形分成4 个面积相等的三角形。 【知识点五、典型题型解题思路】（⭐难点） 1.求边长 / 角度：用 “对边相等、对角相等、邻角互补”; 2.对角线计算：用 “互相平分” 转化为线段等量关系。 💦 常见考点●精讲精练 题型1.数图形中的平行四边形个数 例1．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 变式1．如图，，，，图中共有___________个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 变式2．用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 【答案】3个 【分析】本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形． 【详解】 解：如图所示： 故答案为：3个． 题型2利用平行四边形的性质求解 例2．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，灵活运用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等得到，进而结合求出的度数． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 变式1．如图，在四边形中，与相交于点．若，，则当________，________时，四边形是平行四边形． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分， ∴要使四边形是平行四边形，需满足，， 即：， ∵，， ∴． 变式2．如图，在中，对角线，交于点E，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)4； (2)24． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的性质和勾股定理求解即可； （2）根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， ， ，即是直角三角形。 ， 即：， ； （2）解：， ， 题型3利用平行四边形的性质证明 例3．如图，在平行四边形中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由等边对等角求出，再有平行四边形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 变式1．在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 _________． 【答案】8或12/12或8 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等角对等边等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．由于平行四边形的两组对边互相平行，又平分，由此可以推出所以，则；同理可得，，再分两种为情况：F点在D、E之间；F点在C、E之间．求得各自的便可得． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； 同理可得，， 当点F在D、E之间时，如图1， ∵， ∴； 当点F在C、E之间时，如图2， ∵， ∴． 故答案为：8或12． 变式2．如下图，在中，过点作于点，过点作于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是利用平行四边形的性质找到全等三角形的条件，从而证明线段相等． 要证，可通过证明线段所在的三角形全等实现。利用平行四边形性质得到边和角的条件，结合垂直得到直角，满足全等判定． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ， ． 题型4平行四边形性质的其他应用 例4．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 变式1．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 变式2．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 题型5证明四边形是平行四边形 例5．将线段向左平移，连接对应点得到的图形是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【答案】C 【分析】根据平移的性质：不改变形状只改变位置可知，根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：如图，根据平移性质可知，则连接对应点得到的图形是平行四边形． 变式1．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】解：由题意已知， 四边形为平行四边形， 故答案为：是． 变式2．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得，，分别以点B，D为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】根据题意可得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下： ，，，， ，， ∴四边形是平行四边形． 题型6判断能否构成平行四边形 例6．四边形的对角线与相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A、只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误； B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； C、，可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误； D、，可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误， 故选B． 变式1．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 变式2．如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接． (1)将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形： (2)在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）以为点D为顶点边顺时针作角即可； （2）先证是等边三角形，再证得即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）证明：连接， 由旋转性质得，，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵是等边三角形， ∴，.     ∵，， ∴. ∴. ∴，. ∵，， ∴，． ∴． ∴四边形为平行四边形． 题型7添一个条件成为平行四边形 例7．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 变式1．如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件_____可得出四边形是平行四边形． 【答案】或或或（添加一个即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质即可求解，掌握平行四边形的判定的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：或或或（添加一个即可）． 变式2．已知：，线段，．    求作：平行四边形，使，，． 【答案】见解析 【分析】先作，然后在的边上截取，，连接，再根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，以为圆心，为半径，为圆心，为半径，分别画弧，取两弧的交点，连接，即可画出平行四边形． 【详解】解： 所作平行四边形如图所示．         【点睛】本题考查了尺规作平行四边形及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定，根据题意作出相应图形是解题关键． 题型8求与已知三点组成组成平行四边形的点的个数 例8．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 变式1．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 变式2．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定及作图能力，解题的关键是数形结合． （1）由勾股定理的逆定理进行证明； （2）根据由平行四边形的判定画图即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； （2）如图所示，即为所求． 题型9全等三角形拼平行四边形问题 例9．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 变式2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 例10．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 变式1．如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【答案】(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 题型11平行四边形性质和判定的应用 例11．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 变式1．命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的逆命题是________． 【答案】平行四边形的一组对边平行且相等 【分析】本题考查命题的逆命题，熟练掌握“逆命题是将命题的条件和结论互换得到的命题”是解题的关键．将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题． 【详解】解：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形的一组对边平行且相等”， 故答案为：平行四边形的一组对边平行且相等． 变式2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． ✍ 巩固提升●综合测试 一、单选题 1．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 2．如图，在中，已知，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等，可知，，再根据平行四边形的周长公式计算出结果即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：D． 3．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 不一定成立，结论A错误，符合题意． 故选：A． 4．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段扫过的面积为， 故选：B． 5．将两个全等的三角形与按如图所示方式摆放，其中点A，B与点，是对应顶点，连接，，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的性质、平行线的判定，根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判断． 【详解】解：， ， ， ∴四边形是平行四边形． 故选：A． 6．如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题 7．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 ___________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 8．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 9．已知中，，，则中线的取值范围是______． 【答案】 【分析】延长至点，使，可证得四边形为平行四边形，根据三角形三边关系即可得到的取值范围． 【详解】如图所示，延长至点，使．    根据题意可知， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴，即． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、三角形的三边关系，根据题意构建辅助线是解题的关键． 10．在中，若，则_______． 【答案】45 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且， （平行四边形邻角互补）， ， 又，， ，即， 将代入， 得：， ， ． 11．在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 【答案】①③（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形的条件可以是①③， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①③（答案不唯一）． 三、解答题 12．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质，得，，再根据，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 13．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，得出，，，根据角平分线定义证明，根据“”证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 14．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $