第20章 勾股定理（单元卷•基础达标试卷）2025-2026学年人教版数学八年级下学期单元复习试卷

2025-2026学年八年级数学下学期第20章单元试卷 （基础达标卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 【答案】C 【分析】勾股数是指满足的三个正整数，需同时满足是正整数且符合勾股定理这两个条件． 【详解】解：A选项：不是正整数，不符合勾股数定义，故A不符合题意； B选项：∵，，，不满足勾股定理，故B不符合题意； C选项：∵，，即，且6、8、10均为正整数，符合勾股数定义，故C符合题意； D选项：∵，，，不满足勾股定理，故D不符合题意． 【点睛】注意勾股数不仅要满足，还要满足三个数为正整数． 2．（3分）下列数据能作为直角三角形三边的是（   ） A． B．1，2，3 C． D．12，16，20 【答案】D 【分析】本题可根据勾股定理的逆定理，验证各选项中较小两边的平方和是否等于最大边的平方，同时结合三角形三边关系，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A：最长边为2， ∵，，， ∴不能作为直角三角形三边； 选项B：最长边为3， ∵，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）， ∴不能构成三角形，更不能作为直角三角形三边； 选项C：最长边为， ∵，， ∴不能作为直角三角形三边； 选项D：最长边为20， ∵，，即 ∴能作为直角三角形三边， 故选：D． 3．（3分）如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 由题意知：米，米， （米） 故选：． 4．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与无理数的几何意义，解题的关键是利用勾股定理计算出线段长度，结合数轴确定点表示的实数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和； 由勾股定理得，斜边长为； 数轴上点在原点右侧，且到原点的距离为， 则点表示的实数为； 故选：A． 5．（3分）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 6．（3分）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：B ． 7．（3分）如图，在中，，若正方形，的面积分别为25，144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．119 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：，而，， ， ． 故选：A． 8．（3分）如图所示为某气象雷达监测图，规定：1个单位长度代表，以雷达站为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分为12个扇形区域（每个区域对应）．雷达发现两团雷雨云，分别位于点A和点B，那么A、B两团雷雨云之间的实际距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据雷达监测图得到，，，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，， ∴， 故选：C． 9．（3分）一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出米，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米， ∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度， 过作交半圆于、两点，连接与， ∵， ∴为的中线， ∴，即为卡车的最大宽度， ∵是半圆的直径， ∴米， ∴米， ∴米， 即卡车的宽度不得宽于米， 故选：C． 10．（3分）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； 故选C 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点O的距离是______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系内两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题可利用勾股定理，将点到原点的距离转化为横、纵坐标平方和的算术平方根进行求解． 【详解】解：点到原点O的距离是 ， 故答案为：． 12．（3分）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理．利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， 由勾股定理得 ∴． 13．（3分）如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 14．（3分）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，先求出，，由长求出长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题可知， ， ， ，的刻度分别为，， ， ， 在中，． 故答案为：． 15．（3分）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约_______．（结果精确至．参考数据：） 【答案】 【分析】过点E，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可．解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约． 16．（3分）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 【答案】20 【分析】过点作于，则四边形为矩形，先由折叠性质得出，在中用勾股定理求出，再根据是中点及折叠性质得到，最后在中用勾股定理求出，进而求得． 【详解】解：过点作于，则四边形是长方形， ∴，． ∵长方形纸片沿对折， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠使落在处， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵沿折叠使落在处，为中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，，若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通？ 【答案】15天 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理可先求解隧道，再根据每天凿隧道，即可求解天数． 【详解】解：∵，，， ∴由勾股定理可知，， ∵每天凿隧道， ∴天， 故15天才能把隧道凿通． 18．（6分）如图，求以直角三角形的斜边为边的正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出直角三角形的斜边长的平方即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为． 19．（8分）如图，在一个长方形的木块上截下一个三角形，使，截线的长是多少？ 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：， ． 20．（8分）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【答案】的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 21．（10分）如图，在四边形中，，点在边上，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵ ， ； （2）∵， 22．（10分）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长． 【答案】(1)图见解析；的坐标为 (2)图见解析；的最短周长为 【分析】（1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出的坐标； （2）要使得的周长最短，即要最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，由，可得点P即为所求，再求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接， 根据轴对称得，此时的周长最小，则点P即为所求， 由图可得，，， ∴的周长， ∴的最短周长为． 23．（12分）综合与实践 数学活动课上，小明用尺规作图法探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【动手操作】如图，已知中，，小明同学设计如下作图步骤：作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接． （1）请根据小明同学设计的步骤在图中完成作图过程（要求：用尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）． 【证明结论】（2）证明：； 【拓展应用】（3）若的周长为，，，求边上的中线长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）边上的中线长为 【分析】（1）根据尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角，结合角的和差关系得出，即可得出，进而可得结论； （3）设，边上的中线为，可得，利用勾股定理求出，利用（2）中结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：线段为斜边上的中线； （2）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，边上的中线为， ∵的周长为，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，即， 由（2）可知：， ∴，即边上的中线长为． 24．（12分）完全平方公式进行适当变形可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：设， 则， ， 即： 又 ，即 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，则的值为 ； (2)若，求的值； (3)如图，是直角三角形，，交于点D，以边为直径向三角形外部作半圆，已知，半圆的面积，求的长．    【答案】(1)8 (2)2或 (3) 【分析】本题考查整式的化简求值、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握完全平方公式、勾股定理是解题的关键． （1）根据已知条件和完全平方公式进行解答即可； （2）设，，可得，，根据完全平方公式可得，进而得到，结合进行解答即可； （3）根据已知条件和完全平方公式求出，再根据勾股定理得到，最后利用三角形面积求出的值． 【详解】（1）解： 故答案为：8； （2）解：设，，可得，， ， ， ， ， 即， ， 当时，， 当时，， 的值是2或； （3）解：设，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 的长度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第20章单元试卷 （基础达标卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 2．（3分）下列数据能作为直角三角形三边的是（   ） A． B．1，2，3 C． D．12，16，20 3．（3分）如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 4．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 6．（3分）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在中，，若正方形，的面积分别为25，144，则的长度为（   ） A．13 B．169 C．119 D． 8．（3分）如图所示为某气象雷达监测图，规定：1个单位长度代表，以雷达站为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分为12个扇形区域（每个区域对应）．雷达发现两团雷雨云，分别位于点A和点B，那么A、B两团雷雨云之间的实际距离约为（   ） A． B． C． D． 9．（3分）一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 10．（3分）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（　　） A．2 B．3 C．4 D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点O的距离是______． 12．（3分）如图，在中，，，则的值为______． 13．（3分）如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 14．（3分）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 15．（3分）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约_______．（结果精确至．参考数据：） 16．（3分）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，，若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通？ 18．（6分）如图，求以直角三角形的斜边为边的正方形的面积． 19．（8分）如图，在一个长方形的木块上截下一个三角形，使，截线的长是多少？ 20．（8分）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 21．（10分）如图，在四边形中，，点在边上，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 22．（10分）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长． 23．（12分）综合与实践 数学活动课上，小明用尺规作图法探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【动手操作】如图，已知中，，小明同学设计如下作图步骤：作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接． （1）请根据小明同学设计的步骤在图中完成作图过程（要求：用尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）． 【证明结论】（2）证明：； 【拓展应用】（3）若的周长为，，，求边上的中线长． 24．（12分）完全平方公式进行适当变形可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：设， 则， ， 即： 又 ，即 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，则的值为 ； (2)若，求的值； (3)如图，是直角三角形，，交于点D，以边为直径向三角形外部作半圆，已知，半圆的面积，求的长．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $