精品解析：2026年山东滨州市博兴县中考一模数学试题

滨州市二○二六年初中学业水平考试一模 数 学 试 题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷(选择题 共24分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 五个有理数在数轴上的对应点 ，，，，的位置如图所示，则点 表示数的相反数所对应的点是（ ）． A. B. C. D. 3. 七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 6. “以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（ ） A. 设有x辆车，则可列方程为 B. 设有y人，则可列方程为 C. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 9. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 点A的坐标为 B. 直线的解析式为 C. 不等式的解集为 D. 当时，y随x的增大而减小 二、填空题：本题共5 小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 12. 方程=1的解是_____． 13. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 14. 如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 15. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，，分别是 和 的角平分线． （1）求 的度数； （2）过点作交 于点，交 于点．若，，求 的周长． 18. 某品牌太阳能热水器水箱为圆柱形，底面积为，高为．在晴朗天气下，不考虑其他因素，将水注至最大高度时，水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高．已知每立方米水升温可吸收 焦耳热量．假设水箱保温良好，忽略蒸发与散热损失，且日照时间充足． （1）请写出水温与日照时间之间的关系式； （2）在现实条件下，水温达到时系统会启动保护停止加热，且一天有效日照时间不超过小时．请求出时间t的实际取值范围； （3）求日照小时后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量． 19. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下： 收集数据】 七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 七年级 2 a b 4 八年级 1 2 6 6 【描述数据】 七年级15名参赛选手成绩频数分布直方图 【分析数据】 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 c 87 92.13 八年级 86 87 d 79.73 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：_______，_______； （3）若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级； （4）七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 20. 如图，直线，被所截，． （1）请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式． 21. 【问题情境】 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 问题解决】 （1）请求出图③中圆心到的距离； （2）请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 22. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 23. 【教材再现】 （1）如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，． 纵向探变】 （2）如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长． 【横向拓展】 （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出·的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨州市二○二六年初中学业水平考试一模 数 学 试 题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷(选择题 共24分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 五个有理数在数轴上的对应点 ，，，，的位置如图所示，则点 表示数的相反数所对应的点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由数轴可知，点表示数为，的相反数为，而对应的点是点． 3. 七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意． 4. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：如图所示即为其俯视图， ∴选项A符合题意． 5. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，与不是同类项，不能合并，A不符合要求； B，，B不符合要求； C，，C不符合要求； D， ，D符合要求． 6. “以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定四个历史事件发生在新中国成立以后的事件，再通过列表法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，最后计算符合条件的结果数占总结果数的比例． 【详解】解：设鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝分别用、、、表示，其中新中国成立以后的事件为（土地运动）、（抗美援朝）． 列表如下： 由表可知，总共有种等可能的结果．其中，所抽取卡片中的事件都发生在新中国成立以后的结果有：、，共种． ∴． 7. 《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（ ） A. 设有x辆车，则可列方程为 B. 设有y人，则可列方程为 C. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【解析】 【分析】根据两种乘车情况，梳理总人数与车辆数的等量关系，即可判断各选项对错. 【详解】解：设有辆车，人， ∵两人坐一辆车，九人步行，总人数为坐车人数加步行人数， ∴， ∵三人坐一辆车，空出辆车，实际用车为辆，总人数等于实际用车承载的人数， ∴， 因此可列方程组为． 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 9. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据等边三角形的性质得出，，再根据圆内接四边形的性质得出：，由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，解直角三角形求出的长，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于其底面圆周长即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ，， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O， ∴，， ， 设圆锥底面圆半径为r，则， ∴． ∴圆锥底面圆的半径为2． 10. 已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 点A的坐标为 B. 直线的解析式为 C. 不等式的解集为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时，，令，则，解得：； 当时，，则； 当时，，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 二、填空题：本题共5 小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到对应点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规律“右加左减”原则计算即可． 【详解】解：将点向右平移个单位长度，平移后纵坐标不变，横坐标加上，所得对应点的坐标为，即． 12. 方程=1的解是_____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】去分母得：x﹣1=2， 解得：x=3， 经检验x=3是分式方程的解， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解．去分母后解出的结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解． 13. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 14. 如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，，过点M作轴于点C，则四边形是矩形，得，则当最小时，最小，可知当O、P、M共线时最小，即最小，此时设点P为点，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点M作轴于点C， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点P是上的任意一点， ∴当O、P、M共线时最小，即最小， 此时设点P为点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 即最小为3． 15. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得的范围，进而找到的整数点，再由越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴，，，，，，，， ∵L过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴； （2）解：∵若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， ∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴， ∴整数共7个， ∵越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），0 【解析】 【分析】（1）先将负指数幂、算术平方根化简，再按照从左到右的顺序进行乘除运算，最后进行减法运算． （2）先对原式进行因式分解和分式化简，再根据已知方程求出的值，最后整体代入化简后的式子求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴原式． 17. 如图，在中，，，分别是 和 的角平分线． （1）求 的度数； （2）过点作交 于点，交 于点．若，，求 的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，又由，分别是 和的角平分线，即可求得； （2）由平分及平行的条件可得，利用勾股定理可求，从而可得周长为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵分别是和的角平分线， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在 中，， ∴， ∴． 18. 某品牌太阳能热水器水箱为圆柱形，底面积为，高为．在晴朗天气下，不考虑其他因素，将水注至最大高度时，水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高．已知每立方米水升温可吸收 焦耳热量．假设水箱保温良好，忽略蒸发与散热损失，且日照时间充足． （1）请写出水温与日照时间之间关系式； （2）在现实条件下，水温达到时系统会启动保护停止加热，且一天有效日照时间不超过小时．请求出时间t的实际取值范围； （3）求日照小时后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量． 【答案】（1） （2） （3）水箱中的水共吸收热量焦耳 【解析】 【分析】（1）根据水的初始温度为，平均每小时水温升高，即可列出解析式； （2）因为水温达到时停止加热，所以先通过问题（1）的关系式求出对应值，再结合一天有效日照不超过小时，同时的初始值为，从而确定的实际取值范围； （3）先计算小时水温升高的度数，再根据圆柱体积公式求出水箱中水的体积，最后结合每立方米水升温吸收的热量，求出总吸收热量即可． 【小问1详解】 解：∵水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高， ∴； 【小问2详解】 解：∵水温达到时系统会启动保护停止加热， ∴，故， 解得： ， ∵一天有效日照时间不超过小时， ∴， 又 的取值范围为：． 【小问3详解】 解：当时，水温升高了， 水箱的容积为： ， ∵每立方米水升温可吸收焦耳热量， ∴当时，水箱中的水共吸收热量(焦耳) 19. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 七年级 2 a b 4 八年级 1 2 6 6 【描述数据】 七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图 【分析数据】 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 c 87 92.13 八年级 86 87 d 79.73 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：_______，_______； （3）若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级； （4）七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 【答案】（1）见解析 （2）80；90 （3）48；八 （4）人 【解析】 【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出a，b的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）将乘以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数．根据方差的比较即可得到本次竞赛成绩更整齐的年级； （4）将750乘以样本中七年级的成绩不低于85分的比例即可解答． 【小问1详解】 解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，92，94，94，98， 数据整理如下： 成绩 年级 七年级 2 5 4 4 八年级 1 2 6 6 即，， 补全频数分布直方图为： 【小问2详解】 解：对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80， 所以． 对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以． 【小问3详解】 解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为． 由于八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，因此本次竞赛成绩更整齐的是八年级． 【小问4详解】 解：（人） 答：估计七年级能参加第二轮比赛的有350人． 20. 如图，直线，被所截，． （1）请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质，作与的角平分线，其交点即为圆心，再以到的距离为半径作圆，即可得到与、、都相切的． （2）先根据切线长定理得到线段相等关系，再通过作辅助线构造矩形和直角三角形，最后利用勾股定理建立等式，化简得出与的函数关系式． 【小问1详解】 解：分别作和的角平分线，两条角平分线交于点． 过点作于，以为圆心，为半径作圆，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，，过点作． ∵分别与，，相切于点，，，， ∴，， ∴，，点，，共线． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， 在中，， ∴， 化简得，． ∴与的函数关系式为 21. 【问题情境】 在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）． 【问题提出】 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． 图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离． 图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，） 【问题解决】 （1）请求出图③中圆心到的距离； （2）请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)． 【答案】（1）圆心到的距离为 （2）的长度约为 【解析】 【分析】（1）连接，延长交 于点，设圆的半径为，由可得，．根据垂径定理可得，在直角中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长； （2）延长，交于点，容易证明四边形是矩形，则，在直角和直角中，利用三角函数计算出和即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交 于点，设圆的半径为， 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴弓形高，， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 答：圆心F 到的距离为． 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在直角中，， ∴， ∵由绕点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 答：的长度约为． 22. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 【答案】（1）该函数的顶点坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解； （2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解； ②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入中， 得， 所以该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①把代入中， 得， 所以对称轴为直线， 把代入中，得， ∵函数的最小值为，且二次项系数， ∴， 解得， 又因为对称轴在之间， 即 则， 故， ∴二次函数解析式为； ②由①知， ∴对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴点B，C的纵坐标均为t， 设B的横坐标为，C的横坐标为， ∵B，C关于直线对称， ∴， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴，即， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴． 23. 【教材再现】 （1）如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，． 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长． 【横向拓展】 （3）保持（2）中，大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出·的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质，通过证明，得到；再通过角的等量代换，证明与的夹角为，从而证得． （2）先由折叠性质得垂直平分，再证明，利用相似比求出、的长度；接着在中，利用正切函数求出的长，最后用勾股定理算出，进而求得的长度． （3）分两种情况讨论： 当时，过作于，延长交延长线于，先求的长，证明得、的长，证明得，进而得、，再证明得，最后计算；当时，证明，结合相似性质求出、，进而计算． 【详解】（1）证明：延长交于点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：延长交于点． ∵矩形中，，，， ∴，，，， 中， ， ∵沿折叠得， ∴垂直平分，即，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ， ， ∵ 在中，，， ， ， ； （）解：由（）得，，． 情况：，则， 过点作交延长线于，延长交延长线于． ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，  ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 情况：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及解直角三角形，熟练掌握全等三角形与相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及折叠变换的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $