精品解析：河南省开封市新未来2025-2026学年高一下学期3月测评（开学考）数学试题

高一年级3月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得集合与，即可得交集. 【详解】由已知，， 所以. 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 3. 设，则（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可. 【详解】对数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 又因为，因此大小关系为：. 4. 若不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得是方程的两个根， 则，解得，则. 5. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以. 6. 已知角的终边上一点，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义求，根据诱导公式化简目标式，再结合齐次式的处理方法将目标式转化为，由此可得结论. 【详解】根据三角函数的定义可知， 根据诱导公式和同角三角函数关系式可知 . 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】因为，当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为． 8. 已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造函数判断段方程的正根情况，用判别式与韦达定理分析段方程的负根情况，再分类组合使总根个数恰好为，从而确定的取值范围. 详解】原方程等价于： 和共有一个实数根. 当时，函数在上严格单调递增，因此在上的值域为， 方程在上有一个实根等价于， 令，则，结合题干得，不等式等价于：， 构造函数，， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故的解为，故的解为. 故当方程在上有一个实根时. 当时，考虑方程即， ，结合分类： 当， 由韦达定理，两根之和，两根之积，故有个负根； 当或； 时，方程为，根（不在区间，无负根）； 当：方程为，根（在区间，有个负根）； 当：方程无实根，无负根. 分类讨论总根个数： 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，不符合题意； 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，符合题意； 当：方程无负根，方程有个正根总根个数，符合题意； 故满足方程恰有一个实数根的取值范围为：. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式性质、幂函数单调性及作差法，结合、的条件，逐一判断各选项不等式是否恒成立. 【详解】选项A：由得，根据正数平方的单调性，，即，A正确； 选项B：函数在上严格单调递增，因，故，B错误； 选项C：，由，得，，故，即 ，C正确； 选项D：不等式两边同乘负数，不等号方向改变，由得，D错误. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 区间上单调递增 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式、辅助角公式，可得解析式，根据周期公式，可判断A的正误；将代入，根据正弦函数的性质，可判断B的正误；根据x的范围，可得的范围，根据正弦函数的性质，可判断C的正误；根据条件可得，根据的范围及函数值的大小，可得的范围，进而可得的值，根据两角差的正弦公式，即可得答案. 【详解】由题意， 则的最小正周期，故A正确； 令，则，为函数的最大值， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时， ，故C错误； 因为，所以， 由题意，得， 所以，所以， 则 ，故D正确. 11. 已知定义在上的单调函数满足：对任意，都有且.则以下结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 当时， C. 函数是奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过赋值法，求得，，再根据函数的性质，逐项判断即可. 【详解】令，代入，得，即， 又，所以， 对于A选项，因为为定义在上的单调函数，又，， 所以函数在上单调递增，故A正确； 对于B选项，在中令，得. 由可知，, 当时，则，又，所以， 又函数上单调递增，所以， 所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以， 所以， 又，所以， 即，所以函数为奇函数，故C正确； 对于D选项，因为，所以，， 所以，当且仅当，即时取等， 又， 所以，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【详解】原式 13. 已知函数，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由已知， 则，解得， 即函数的定义域为. 14. 已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则，所以. 因为，则，所以， 当时，， 当时，. 而对任意的，总存在，使得成立， 则有在上的取值范围是在上的取值范围的子集. 所以当时，则有，解得. 当时，则有，解得. 综上所述，取值范围为 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）若，求； （2）设命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由具体函数的定义域求出集合的范围，利用集合并集和补集的概念求解即可； （2）由充分条件得出结论，确定集合关系，求解的范围. 【小问1详解】 由题意得，，解得或， 所以或， 当时，， 所以或，又， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 由题意命题是命题的充分条件， 所以，所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； （2）当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【解析】 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【小问1详解】 由， 可得， 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知函数的性质求参数，再由正弦型函数的性质求对称中心； （2）经过变换得到解析式，将零点问题转化成交点问题求解. 【小问1详解】 由，得 ，而，得. 所以由，得，而， 所以，则. 由解得，， 所以的对称中心为，. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位，得到函数 ，再将所得图象上各点 的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. 由函数在区间上有两个不同的零点，即 在区间上有两个不同的交点. 而时单调递增，时单调递减， 且，， ，所以有. 18. 已知且，函数是指数函数，且. （1）求实数和的值； （2）对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一根小于0，其中，求整数的最大值. 【答案】（1）， （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）根据指数函数解析式特征求得，由求得； （2）由（1）可知，分离参数得对任意恒成立，然后利用换元法及对勾函数的单调性求得函数最小值，即可得解； （3）令，则方程有一根大于1，另一根大于0且小于1，记，利用二次函数根的分布列不等式组，即可求解． 【小问1详解】 因为函数是指数函数， 所以，即，解得或， 又，所以， 又，且，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由题意对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则，记， 令，因为，所以，则， 由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 方程， 即方程，即方程， 令，则方程， 因为关于的方程的一根大于0，另一根小于0， 所以关于的方程的一根大于1，另一根大于0且小于1， 记， 所以， 所以，所以整数的最大值为0. 19. 已知函数在上为奇函数，. （1）求实数的值； （2）求在上的值域； （3）已知，若对任意，任意，不等式都成立，求正数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得出恒成立，即可求解； （2）由（1）化简函数，结合复合函数的单调性的判定方法，得到在上的减函数，求得的最小值与最大值，即可得到函数的值域； （3）根据单调性和奇偶性，转化为，利用基本不等式求得，令，利用函数的性质，得出，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 因为函数在上为奇函数， 所以， 所以恒成立， 因为，可得. 【小问2详解】 由（1）知， 设，可得函数为上的减函数， 因为，函数为单调递增函数， 根据复合函数的单调性，可得函数为上的减函数，所以为上的减函数， 则，， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 由不等式， 即， 因为为奇函数，所以， 所以， 又因为函数为上的减函数， 所以， 因为， 整理不等式得， 因不等式对任意恒成立，故左侧关于的最大值须小于等于右侧， 由基本不等式知，当且仅当时取等号， 故，即， 因为，令， 则，即，所以， 因为在上为增函数，所以， 则，即，所以， 因为，所以，解得， 所以正数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级3月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数上单调递减，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角终边上一点，则（ ） A B. C. 1 D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 8. 已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 11. 已知定义在上的单调函数满足：对任意，都有且.则以下结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 当时， C. 函数奇函数 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 13. 已知函数，则的定义域为__________. 14. 已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）若，求； （2）设命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； （2）当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18. 已知且，函数指数函数，且. （1）求实数和的值； （2）对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一根小于0，其中，求整数的最大值. 19. 已知函数在上为奇函数，. （1）求实数的值； （2）求在上的值域； （3）已知，若对任意，任意，不等式都成立，求正数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $