4.第四章 因 式 分 解（期末复习精练）-【学导练】2026年八年级下册数学课件PPT（北师大版）

这是一份初中数学八年级下册配北师大版的期末复习课件，聚焦第四章因式分解，包含定义、提公因式法、平方差公式等七大考点，通过例题解析、巩固练习及综合题型构建学习支架，助力期末复习。 资料以核心素养为导向，通过图形面积推导（如用长方形面积解释因式分解）培养几何直观，借助三角形形状判断发展推理能力，结合简便计算与实际应用强化模型意识，帮助学生掌握方法，为教师提供系统高效的复习教学资源。

数 学 八年级 下册 配北师大版 第四章　因 式 分 解 期末复习精练 考点一　因式分解的定义 【例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　A　） A． x2－y2=（x＋y）（x－y） B． 2x（y＋z）=2xy＋2xz C． （x＋1）（x＋2）=x2＋3x＋2 D． x2－4＋2x=（x＋2）（x－2）＋2x A 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的有（　C　） ①4x2＋8x－1=4x（x＋2）－1；②a2b2=2；③a2－2a＋1= （a－1）2． A． ① B． ② C． ③ D． ①②③ C 【巩固】 考点二　因式分解——提公因式法 【例2】（1）多项式6a3b2－3ab2－18a2b3分解因式时，应提取的 公因式是（　B　） A． 3a2b B． 3ab2 C． 3a3b3 D． 3a2b2 （2）分解因式8ab（a－b）－12a（a－b）2时，应提取的公因式 为（　D　） A． 8a B． 4ab（a－b）2 C． 4ab（a－b） D． 4a（a－b） B D 2. 分解因式：ab－b2= ⁠． 3. 多项式x2－9，x2＋6x＋9的公因式是 ⁠． 4. 若m（x－y）－2（y－x）2分解因式为（y－x）p，则p等于 （　D　） A． m－2y＋2x B． m＋2y－2x C． 2y－2x－m D． 2x－2y－m b（a－b）　 x＋3　 D 【巩固】 5. 用提公因式法分解因式： （1）－9x3＋12x； 解：（1）原式=－3x（3x2－4）． （2）－2a2x2＋4axy－6axy2； 解：（2）原式=－2ax（ax－2y＋3y2）． （3）2（x＋y）＋6（x＋y）2； 解：（3）原式=2（x＋y）［1＋3（x＋y）］ =2（x＋y）（1＋3x＋3y）． （4）a2b（a－b）＋3ab（b－a）． 解：（4）原式=ab（a－b）（a－3）． 考点三　因式分解——运用平方差公式 【例3】用平方差公式分解因式： （1）x2－9=（　 　）2－（　 　）2= ⁠ ⁠； （2）25a2－9=（　 　）2－（　 　）2= ⁠ ⁠； （3）－9＋4x2=（　 　）2－（　 　）2= ⁠ ⁠； x 3 （x＋3）（x－ 3）　 5a 3 （5a＋3） （5a－3）　 2x 3 （2x＋3） （2x－3）　 （4）16x2－49y2=（　 　）2－（　 　）2= ⁠ ⁠． 【巩固】 4x 7y （4x＋ 7y）（4x－7y）　 6. 下列多项式能用平方差公式进行分解的是（　B　） A． m（m－n）2－n（n－m）2 B． （m－n）2－9n2（n－m）2 C． （m－1）2＋（n－m）2 D． －（m－n）2－（n－m）2 B 7. 用平方差公式分解因式： （1）36－x2； 解：原式=（6＋x）（6－x）． （2）－a2＋b2； 解：原式=（b＋a）（b－a）． （3）x2－16y2； 解：原式=（x＋4y）（x－4y）． （4）（x＋2）2－9； 解：原式=（x＋2＋3）（x＋2－3） =（x＋5）（x－1）． （5）（x＋a）2－（y＋b）2； 解：原式=（x＋a＋y＋b）（x＋a－y－b）． （6）25（a＋b）2－4（a－b）2． 解：原式=（5a＋5b＋2a－2b）（5a＋5b－2a＋2b） =（7a＋3b）（3a＋7b）． 考点四　因式分解——运用完全平方公式 【例4】用完全平方公式分解因式： （1）a2＋8a＋16=（　 　）2＋2•（　 　）• （　 　）＋（　 　）2= ⁠； （2）4m2－4m＋1=（　 　）2－2•（　 　）• （　 　）＋（　 　）2= ⁠； （3）－a2＋14a－49=－（　 　）=－ ［（　 　）2－2•（　 　）•（　 　）＋ （　 　）2］= ⁠； a a 4 4 （a＋4）2　 2m 2m 1 1 （2m－1）2　 a2－14a＋49 a a 7 7 －（a－7）2　 （4）25x2＋60x＋36=（　 　）2＋2•（　 　）• （　 　）＋（　 　）2= ⁠． 【巩固】 5x 5x 6 6 （5x＋6）2　 8. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　D　） A． x2＋y2 B． 25x2＋5xy＋y2 C． x2＋2xy－y2 D． x2－4xy＋4y2 D 9. 用完全平方公式分解因式： （1）9x2－12x＋4； 解：原式=（3x－2）2． （2）4x2＋20xy＋25y2； 解：原式=（2x＋5y）2． （3）a2－ab＋b2； 解：原式=2． （4）－x2＋xy－y2． 解：原式=－ =－2． 考点五　因式分解——求值与简便计算 【例5】（1）计算：552－152=（　D　） A． 40 B． 1 600 C． 2 400 D． 2 800 （2）已知x＋y=1，则x2＋xy＋y2=（　B　） A． 1 B． C． 2 D． 1或2 D B 10. 若m＋n=3，则2m2＋4mn＋2n2－6的值为 ⁠． 11. 用简便方法计算： （1）－23.7×＋×1.3－2.6×； 解：原式=×（－23.7＋1.3－2.6） =×（－25） =－20. 12　 【巩固】 （2）2 024＋2 0242－2 0252． 解：原式=2 024－（2 0252－2 0242） =2 024－（2 025＋2 024）×（2 025－2 024）　 =2 024－2 025－2 024 =－2 025. 12. 先因式分解，再求值： （1）5x（a－2）＋4x（2－a），其中x=0.4，a=102； 解：原式=x（a－2）． 当x=0.4，y=102， 原式=0.4×（102－2）=40. （2）2－2，其中x=－，y=． 解：原式==xy． 当x=－，y=时， 原式=×=－． 考点六　因式分解的应用 【例6】小颖用两种不同的方法计算如图Q4－1所示的图形的面 积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　B　） 图Q4－1 B A． a2＋2ab＋b2=（a＋b）（a＋b） B． a2＋3ab＋2b2=（a＋2b）（a＋b） C． a2－b2=（a＋b）（a－b） D． 2a2＋3ab＋b2=（2a＋b）（a＋b） 【例7】已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2=2ab ＋2bc，那么据此判断△ABC的形状是（　A　） A． 等边三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰直角三角形 A 13. 如图Q4－2，根据图形把多项式a2＋5ab＋4b2因式分解为 ⁠ ⁠． 图Q4－2 （a ＋b）（a＋4b）　 【巩固】 14. 已知a，b，c分别是△ABC的三边，若a2c2－b2c2=a4－b4，试判 断△ABC的形状，并说明理由． 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4， ∴c2（a＋b）（a－b）=（a2＋b2）（a＋b）（a－b）． ∴c2（a＋b）（a－b）－（a2＋b2）（a＋b）（a－b）=0. ∴（a＋b）（a－b）（c2－a2－b2）=0. ∵a，b，c分别是△ABC的三边， 则a＋b≠0. ∴a－b=0或c2－a2－b2=0. ∴a=b或c2=a2＋b2． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 考点七　本章考试热点题型（综合与实践、综合探究、综合运 用） 15. （综合与实践）如图Q4－3①，有足够多的边长为a的小正方 形（A类），长为b，宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正 方形（C类）卡片，发现利用图Q4－3①中的三种卡片各若干张可 以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图Q4－3②可以解释为 （a＋2b）（a＋b）=a2＋3ab＋2b2. （1）取图①中的若干张（三类卡片都要取到）拼成一个长方形， 使它的长为a＋2b，宽为2a＋b．不画图形，试通过计算说明需要 C类卡片多少张； 解：（1）∵（a＋2b）（2a＋b）=2a2＋5ab＋2b2， ∴需要C类卡片2张． （2）若取其中的若干张（三类卡片都要取到）拼成一个长方形， 使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，画出这个长方形，并根据图形对 多项式a2＋5ab＋4b2进行因式分解； 解：（2）取出1张A类卡片，5张B类卡片，4张 C类卡片，可以拼 得如答图Q4－1所示的长方形，且其面积为（a＋b）（a＋4b）． 答图Q4－1 ∴a2＋5ab＋4b2=（a＋b）（a＋4b）． （3）现有3张A类、4张B类、5张C类卡片，从中取出若干张卡 片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形 （无空隙，无重叠地拼接），求拼成的正方形的边长最长为多 少． 图Q4－3 解：（3）由题意，可以写出所取出图形的总面积为3a2＋4ab＋ 5b2， ∴根据完全平方公式的特征及题意，得3a2，5b2最大只能为a2， 4b2. ∴拼成的正方形总面积为a2＋4ab＋4b2. 因式分解，得a2＋4ab＋4b2=（a＋2b）2. ∴拼成的正方形的边长最长为a＋2b． 16. （综合探究）发现与探索 小丽的思考： 对于代数式（a－3）2＋4， 无论a取何值，（a－3）2都大于等于0，再加上4， 则代数式（a－3）2＋4≥4. ∴（a－3）2＋4有最小值为4. 小明的解答： 　a2－6a＋5 =a2－6a＋9－9＋5 =（a－3）2－22 =（a－1）（a－5） （1）根据小明的解答将下列各式因式分解： ①a2－12a＋20； 解：（1）①原式=a2－12a＋36－36＋20 =（a－6）2－42 =（a－2）（a－10）． ②原式=（a－1）2－8（a－1）＋16－16＋7 =（a－5）2－32 =（a－2）（a－8）． ②（a－1）2－8（a－1）＋7； ③a2－6ab＋5b2； ③原式=a2－6ab＋9b2－9b2＋5b2 =（a－3b）2－（2b）2 =（a－b）（a－5b）． （2）根据小丽的思考解决下列问题： ①说明：代数式a2－12a＋20的最小值为－16； 解：（2）①a2－12a＋20 =a2－12a＋36－36＋20 =（a－6）2－16. ∵（a－6）2≥0， ∴（a－6）2－16≥－16. ∴代数式a2－12a＋20的最小值为－16. ②∵（a＋1）2≥0，∴－（a＋1）2≤0. ∴－（a＋1）2＋8≤8. ∴代数式－（a＋1）2＋8的最大值为8. 　－a2＋12a－8 =－（a2－12a＋8） =－（a2－12a＋36－36＋8） =－（a－6）2＋36－8 =－（a－6）2＋28. ∵（a－6）2≥0，∴－（a－6）2≤0. ∴－（a－6）2＋28≤28. ∴代数式－a2＋12a－8的最大值为28. ②请仿照小丽的思考解释代数式－（a＋1）2＋8的最大值为8，并求出代数式－a2＋12a－8的最大值． 17. （综合运用）完全平方公式是初中数学的重要公式之一：（a ＋b）2=a2＋2ab＋b2，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可 以用来进行分解因式． 【发现】 3＋2=2＋2＋1=（）2＋2＋12=（＋1）2． 【应用】 （1）写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因 式分解； 解：（1）由题意，得4＋2=3＋2＋1= （）2＋2＋12=（＋1）2． （2）若a＋b=（m＋n）2，请用m，n表示a，b； 解：（2）∵a＋b=（m＋n）2， ∴a＋b=m2＋2n2＋2mn． ∴a=m2＋2n2，b=2mn． 【拓展】 （3）如图Q4－4，在Rt△ABC中，BC=1，AC=，∠C=90°，延 长CA至点D，使AD=AB，求BD的长． （参考上面提供的方法把 结果进行化简） 图Q4－4 解：（3）由题意，得 AB===2. ∴AD=AB=2. ∴CD=AC＋AD=＋2. ∴BD2=BC2＋CD2 =1＋（＋2）2=1＋3＋4＋4 =8＋4=6＋4＋2 =（）2＋4　＋（）2 =（＋）2． ∴BD=＋． 谢 谢 ! $