10.1幂的运算教学案2025-2026学年青岛版数学七年级下册

七年级（下）数学青岛版（2024版） 第 十 章《整式的乘法与除法》教学案 10.1幂的运算（5） 一、教学目标 1.通过对同底数幂除法中 m=n、m<n 情况的探究，经历从特殊到一般的推导过程，理解零指数幂与负整数指数幂的定义。 2.通过例题和练习，掌握零指数幂与负整数指数幂的运算方法，能准确计算并将结果写成正整数指数幂的形式。 3.通过对幂运算性质的拓展，学会在整数指数范围内灵活运用幂的运算性质，提升运算的准确性和灵活性。 二、教学重难点 重点：零指数幂与负整数指数幂的定义及运算。 难点：理解零指数幂与负整数指数幂的合理性，以及在整数指数范围内运用幂的运算性质。 三、教学过程 （一）情境导入 回顾旧知： 请学生回忆同底数幂除法法则 = (a≠0①,m,n为正整数,且m>n)。 提出问题： 对于同底数幂的除法,当m>n时,a=。当m<n或m=n时,我们又该怎样表示am ÷an 的运算结果呢? 设计意图：从已有知识的局限切入，激发学生的探究兴趣；通过特殊例子，自然引出零指数幂与负整数指数幂的必要性。 （二）探索新知 计算,和,你能发现什么规律? 由分数的意义和分数的性质,可进行约分得到 这些式子都是同底数幂的除法运算,那么 概括与表达 =1() 即 任何不等于零的数的0次幂都等于1。 (a≠0,p是正整数) 即 不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数。 （3） 例题解析 例6 计算 (1) = (2) = (3) = （4） 巩固练习 计算: 四、课后小结 1.学生小结：提问“零指数幂与负整数指数幂的定义是什么？运用时需要注意什么？幂的运算性质在整数指数范围内是否依然成立？” 2.教师总结： 零指数幂：=1() 负整数指数幂：(a≠0,p是正整数) 前提条件：底数不能为0。 五、作业布置 基础作业：完成教材对应同步练习，规范书写解题过程。 实践作业：用科学计数法表示下列数：0.0001、0.00000025，并说明每一步的依据。 拓展作业：探究“幂的乘方和积的乘方的运算性质在整数范围内是否适用？” 六、板书设计 10.1 幂的运算（5） 一、法则推导 零指数幂：=1() 负整数指数幂：(a≠0,p是正整数) 二、例题讲解 七、教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $七年级（下）数学青岛版（2024版） 第 十 章《整式的乘法与除法》教学案 10.1幂的运算（5） 一、教学目标 1.通过例题和练习，掌握整数指数幂的运算方法，能准确计算并将结果写成正整数指数幂的形式。 2.通过对不同形式整数指数幂运算的分析，学会灵活选择运算性质，提升运算的准确性和灵活性。 3.通过探究幂运算性质在整数指数范围内的一致性，深化对幂运算本质的理解，提升归纳推理能力。 二、教学重难点 重点：整数指数幂的运算性质及其综合应用。 难点：灵活选择运算性质，以及处理含负指数和零指数的混合运算。 三、教学过程 （一）情境导入 回顾旧知： 请学生回忆同底数幂除法法则 = (a≠0①,m,n为正整数,且m>n)。 提出问题： 对于同底数幂的除法,当m>n时,a=。当m<n或m=n时,我们又该怎样表示am ÷an 的运算结果呢? 设计意图：从已有知识的局限切入，激发学生的探究兴趣；通过特殊例子，自然引出零指数幂与负整数指数幂的必要性。 （二）探索新知 计算,和,你能发现什么规律? 由分数的意义和分数的性质,可进行约分得到 这些式子都是同底数幂的除法运算,那么 概括与表达 =1(0) 即 任何不等于零的数的0次幂都等于1。 (a≠0,p是正整数) 即 不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数。 （3） 例题解析 例6 计算 (1) = (2) = (3) = 即时尝试：请学生独立完成练习的4道题，教师巡视指导，强调“底数不为0”的前提。 （4） 巩固练习 计算: 四、课后小结 1.学生小结：提问“零指数幂与负整数指数幂的定义是什么？运用时需要注意什么？幂的运算性质在整数指数范围内是否依然成立？” 2.教师总结： 零指数幂：=1() 负整数指数幂：(a≠0,p是正整数) 前提条件：底数不能为0。 五、作业布置 基础作业：完成教材对应同步练习，规范书写解题过程。 实践作业：用科学计数法表示下列数：0.0001、0.00000025，并说明每一步的依据。 拓展作业：探究“当指数是分数时，幂的运算性质是否依然成立？” 六、板书设计 10.1 幂的运算（5） 一、法则推导 零指数幂：=1() 负整数指数幂：(a≠0,p是正整数) 二、例题讲解 七、教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $七年级（下）数学青岛版（2024版） 第 十 章《整式的乘法与除法》教学案 10.1幂的运算（2） 一、教学目标 1.通过对太阳体积问题的探究，经历从乘方意义到积的乘方法则的推导过程，理解法则的本质。 2.通过例题和练习，掌握积的乘方的运算方法，能准确计算积的乘方，并将结果写成幂的形式。 3.通过对不同形式积的乘方的分析，学会判断是否适用积的乘方法则，提升运算的准确性和灵活性。 2、 教学重难点 重点：积的乘方法则的推导与应用。 难点：理解法则的本质，以及在复杂情境中灵活运用法则进行运算（尤其是含负号、分数的情况）。 三、教学过程 （一）情境导入 太阳、地球都可以近似地看作球体,它们的半径之比约为109∶1。设地球的半径为r,求太阳的体积。 在上面的算式中, 表示两数积的乘方。 设计意图：从天文情境切入，激发学生的探究兴趣；通过几何计算的问题，自然引出积的乘方的必要性。 （二）探索新知 （1）回顾乘方意义： 请学生说出 的意义: （2）如何计算 呢 ? 根据乘方的意义、乘法交换律和结合律,得 =109r·109r·109r =(109×109×109)·(r·r·r) =。 (3)计算下列各式: = ; = 。 (4)归纳规律：请学生计算、，观察结果的底数与原式中各因数的关系。 (5)如何计算 ? 概括与表达 = (m为正整数）即积的乘方等于各因数乘方的积。 拓展：多个因数的积的乘方，即= (m为正整数） （3） 例题解析 例2 计算 设计意图：通过从特殊到一般的推导，让学生理解法则的本质，避免机械记忆；通过例题和即时练习，巩固法则的应用，提升运算能力。 （4） 巩固练习 基础题：计算 拓展题： 练习要求： 1. 学生独立完成，教师巡视，收集典型错题（如指数相乘、底数改变）。 2. 小组内互评互讲，重点讲解自己运用法则的思路。 3. 集体订正，教师针对典型错题进行点评，强化“同底数”的前提。 四、课后小结 1. 学生自主小结：提问“积的乘方的法则是什么？运用时需要注意什么？逆用法则有什么好处？” 2. 教师系统梳理： 核心法则：积的乘方，等于各因数乘方的积。 前提条件：积中的每个因数都要乘方；指数为正整数。 逆用： = (m为正整数），可简化运算。 五、作业布置 基础作业：完成教材对应同步练习，规范书写解题过程。 实践作业：用积的乘方法则计算一个正方体（棱长为2a）的体积，并说明每一步的依据。 六、板书设计 10.1 幂的运算（2） 一、法则推导： = (m为正整数） 二、核心法则： 积的乘方等于各因数乘方的积。 三、例题示范 七、教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $七年级（下）数学青岛版（2024版） 第 十 章《整式的乘法与除法》教学案 10.1幂的运算（4） 一、教学目标 1.通过对木卫四与火卫一质量倍数问题的探究，经历从乘方意义到同底数幂除法法则的推导过程，理解法则的本质。 2.通过例题和练习，掌握同底数幂除法的运算方法，能准确计算同底数幂的除法，并将结果写成幂的形式。 3.通过探究同底数幂除法与乘法的逆运算关系，深化对“指数相减”的理解，提升逆向思维能力。 2、 教学重难点 重点：同底数幂除法法则的推导与应用。 难点：理解法则的本质，以及区分同底数幂的乘、除、乘方运算（避免混淆“指数相减”与“指数相加/相乘”）。 三、教学过程 （一）情境导入 情境创设：展示木卫四与火卫一的图片。 提出问题：“木卫四的质量约为kg，火卫一的质量约为kg，木卫四的质量约为火卫一的多少倍？ 引导分析：请学生列出算式，提问：“如何计算 ？”，引出本节课的核心问题。 （二）探索新知 （1）回顾乘方意义： 请学生说出和的意义：表示23个10相乘，表示16个10相乘。 （2）如何计算呢 ? 根据乘方的意义,得 所以木卫四的质量约为火卫一的质量的倍。 (3)计算下列各式: (4)对于不为零的有理数a,如何计算(m,n为正整数,且m>n) ? 也可以由除法是乘法的逆运算得到运算结果。由同底数幂乘法的运算性质可知,所以=。 概括与表达 = (a≠0①,m,n为正整数,且m>n)。 ①本书中，如果除式中含有字母，约定除式不等于0。 即 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 （3） 例题解析 例5 计算 设计意图：通过从特殊到一般的推导，让学生理解法则的本质，避免机械记忆；通过例题和即时练习，巩固法则的应用，提升运算能力。 （4） 巩固练习 1.计算 2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确,应怎样改正? 四、课后小结 1.学生自主小结：提问“同底数幂除法的法则是什么？与同底数幂乘法、幂的乘方有什么区别？你在计算时遇到了哪些困难？” 2.教师系统梳理： 核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 同底数幂除法：=（指数相减） 五、作业布置 基础作业：完成教材对应同步练习，规范书写解题过程。 拓展作业：完成教材对应同步练习第14、17、18题。 六、板书设计 10.1 幂的运算（4） 一、法则推导 = (a≠0①,m,n为正整数,且m>n) 二、核心法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 3、 例题讲解 七、教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $七年级（下）数学青岛版（2024版） 第 十 章《整式的乘法与除法》教学案 10.1幂的运算（1） 一、教学目标 1. 通过对超级计算机运算次数问题的探究，经历从乘方意义到同底数幂乘法法则的推导过程，理解法则的本质。 2. 通过探究多个同底数幂相乘的规律，深化对“指数相加”的理解，提升归纳推理能力。 3. 通过小组合作交流，能清晰表达法则的推导思路，提升数学表达能力。 2、 教学重难点 重点：同底数幂乘法法则的推导与应用。 难点：理解法则的本质，以及在复杂情境中灵活运用法则进行运算。 三、教学过程 （一）情境导入 播放超级计算机工作视频，提出某超级计算机持续运算速度约为次/s，它工作s 大约可进行多少次运算？引出本节课的核心问题。 设计意图：从科技情境切入，激发学生的探究兴趣；通过“大数”运算的问题，自然引出同底数幂乘法的必要性。 （二）探索新知 思考与交流 (1)如何计算? 根据乘方的意义,得 （2）计算下列各式,结果写成幂的形式。 (3) 当m,n为正整数时,如何计算 ? 概括与表达 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即 (m,n为正整数)。 （3） 例题解析 例1 计算 怎么计算 ? 拓展：多个同底数幂相乘，指数依次相加,即 = 设计意图：通过从特殊到一般的推导，让学生理解法则的本质，避免机械记忆；通过例题和即时练习，巩固法则的应用，提升运算能力。 （4） 巩固练习 基础题：计算 拓展题：已知 = 3，求的值。 练习要求： 1. 学生独立完成，教师巡视，收集典型错题（如指数相乘、底数改变）。 2. 小组内互评互讲，重点讲解自己运用法则的思路。 3. 集体订正，教师针对典型错题进行点评，强化“同底数”的前提。 四、课后小结 1. 学生小结：提问“同底数幂乘法的法则是什么？运用时需要注意什么？你在计算时遇到了哪些困难？” 2. 教师总结： 核心法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 前提条件：底数必须相同；指数为正整数。 拓展：多个同底数幂相乘，指数依次相加。 五、作业布置 基础作业：完成教材对应同步练习，规范书写解题过程。 实践作业：调查生活中的一个“大数”问题（如地球到太阳的距离、国家GDP），并用同底数幂乘法进行计算。 拓展作业：探究“如果底数不同，能否用类似的法则进行运算？”，下节课分享。 六、板书设计 10.1 幂的运算（1） 一、法则推导： =(m,n为正整数) 二、核心法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 三、例题示范 七、教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $七年级（下）数学青岛版（2024版） 第 十 章《整式的乘法与除法》教学案 10.1幂的运算（7） 一、教学目标 1.通过对原子半径、昆虫质量等实例的探究，经历从绝对值小于1的数到科学记数法表示的转化过程，理解表示方法的本质。 2.通过例题和练习，掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，能准确进行数与科学记数法形式的互化。 3.通过对比绝对值较大数与较小数的科学记数法，体会负整数指数幂的作用，增强对幂运算的整体理解。 二、教学重难点 重点：用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法。 难点：确定科学记数法中指数 n 的值（即小数点移动的位数），以及单位换算中的科学记数法应用。 三、教学过程 （一）情境导入 回顾旧知：请学生回忆用科学记数法表示绝对值较大数的方法： 提出问题： 展示原子半径（一百亿分之一米）、最轻昆虫质量（0.000 005 g）、红细胞直径（0.000 007 2 m）等数据，提问：“这些绝对值很小的数，能否用类似的科学记数法表示？” （二）探索新知 (1)下面的数是否可以用科学记数法表示? 某原子的半径约为一百亿分之一米; 世界上最轻的昆虫的质量约为0.000005g; 红细胞的平均直径约为0.0000072m。 （2）用10的负整数指数幂表示0.000…01这样的小数有什么规律? 概括与表达 绝对值小于1的非零数可以记作的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数。 （3） 例题解析 例7 微米(μm)是一种长度计量单位,1μm的长度是1mm的千分之一。纳米(nm)是更小的长度计量单位,1nm为1μm的千分之一。已知某种球菌的直径约为0.5μm,某种病毒的直径约为22nm,用科学记数法表示它们的直径,分别约为多少米? 解:因为1μm=m,1nm=m, 0.5×=5×(m), 22×=2.2×(m), 所以,这种球菌的直径约为5×m,这种病毒的直径约2.2×m。 （4） 巩固练习 1.用科学记数法表示下列各数: (1)0.00004; (2)-0.034; (3)0.00000045; (4)0.003009。 2. 用小数表示下列各数: (1)2.1×; (2)-5×。 四、课后小结 1.学生小结：提问“用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法是什么？与表示绝对值较大数的方法有什么区别？你在确定指数 n 时遇到了哪些困难？” 2. 教师总结： 核心方法：绝对值小于1的非零数可表示为的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数。 指数 n：等于小数点后第一个非零数字前零的个数（或小数点向右移动的位数）。 与绝对值较大数的区别：指数为负整数，n 由小数点后零的个数确定。 五、作业布置 基础作业：完成教材对应练习，规范书写解题过程，重点标注运算性质的应用。 拓展作业：若若水滴不断滴在一块石头的同一位置上,经过40年,石头上形成了一个深为4.8× m的小坑,请问小坑的深度平均每月增加多少米(结果用科学记数法表示)? 六、板书设计 10.1 幂的运算（7） 一、法则推导 的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数。 二、例题讲解 七、教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $七年级（下）数学青岛版（2024版） 第 十 章《整式的乘法与除法》教学案 10.1幂的运算（3） 一、教学目标 1. 通过对地球体积问题的探究，经历从乘方意义到幂的乘方法则的推导过程，理解法则的本质。 2. 通过例题和练习，掌握幂的乘方的运算方法，能准确计算幂的乘方，并将结果写成幂的形式。 3.通过探究多重幂的乘方规律，深化对“指数相乘”的理解，提升归纳推理能力。 2、 教学重难点 重点：幂的乘方法则的推导与应用。 难点：理解法则的本质，以及区分幂的乘方与同底数幂乘法（避免混淆“指数相乘”与“指数相加”）。 三、教学过程 （一）情境导入 地球可以近似地看作球体,半径约为km,它的体积约为多少(结果精确到)? 提问：“如何计算？”，引出本节课的核心问题。 设计意图：从科学情境切入，激发学生的探究兴趣；通过“大数”计算的问题，自然引出幂的乘方的必要性。 （二）探索新知 （1）回顾乘方意义： 请学生说出 的意义: （2）如何计算呢 ? 根据乘方的意义、乘法交换律和结合律,得 = = =。 (3)计算下列各式,结果写成幂的形式: = ; = ; = 。 (4)归纳规律：请学生计算、、 ，观察结果的底数与原式中各因数的关系。 (5)当m,n为正整数时,如何计算 ? 概括与表达 = (m、n为正整数）即 幂的乘方,底数不变,指数相乘。 （3） 例题解析 例3 计算 例4 计算 设计意图：通过从特殊到一般的推导，让学生理解法则的本质，避免机械记忆；通过例题和即时练习，巩固法则的应用，提升运算能力。 （4） 巩固练习 1.计算 2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确,应怎样改正? 四、课后小结 1. 学生自主小结：提问“幂的乘方的法则是什么？与同底数幂乘法有什么区别？你在计算时遇到了哪些困难？” 2. 教师系统梳理： 核心法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 幂的乘方： = (m、n为正整数） 五、作业布置 基础作业：完成教材对应同步练习，规范书写解题过程。 拓展作业：完成教材对应同步练习第11、15题。 六、板书设计 10.1 幂的运算（3） 一、法则推导： = (m、n为正整数） 二、核心法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 三、例题示范 七、教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $