第12讲空间直线平面的垂直 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第12讲空间直线平面的垂直 【题型1】线线垂直的证明 例题1.如图所示，在正方 ABCD-AB,CD中，AB=l证明： D C B (D)4DLBC 20与BC 是异面直线。 BC 【详解】(1)如图所示，连接 D B 为正方体， D ABCD-ABCD ∴AB∥DC 平面 ABC D 为平行四边形， :AD I BC,AD BC :BCCB为正方形， .BC⊥BC AD⊥B,C 试卷第1页，共3页 (2)由 DC面1DDA,BCC面BCCA,且面 ADD A /1BCC B D与8C不平行，D与BC是异面直线 ABCD-ABCD 例题2.如图，已知正方体 D B D E B 1)求4G与8C所成角的大小 AC⊥EF (2)若E,F分别为棱AB,AD的中点，求证： 【详解】解：()如图，连接MC,B ABCD-ABCD ,由几何体 是正方体，知四边形 AACC AC∥AC 为平行四边形，所以 从而1C与8C所成的角为4S与AC 所成的角， AB=AC=B,C∠B,CA=60° ,可知 故4G与 所成的角为60 D B B (2)如图，连接BD,易知四边形 ACC ACIIAC 为平行四边形，所以 因为EF为△ABD的中位线， 试卷第2页，共3页 所以EFIBD 又AC⊥BD, 所以EF⊥AC, 所以AG1EF 【针对训练】 ABCD-ABC D 1.已知正方体 D求4B与BD所成的角。 AC⊥BD (2)求证： 【详解】()如图，连接BD,AD.因为1BCD-ABCD是正方体，所以DDBR, DBB,D为平行四边形，所以 D∥BD 所以四边 AB,BD,AD 因为 都是正方形的对角线， 所以4B=BD=4D 即4B 是正三角形，所以<4BD=60 ∠AB 因为 是锐角，所以∠4B 是异面直线48与D所成的角， 所以4B与8D 所成的角为60°。 (2)如图，取D0的中点E,设4C与D交于点0， 连接EO,EAE 因为O为BD的中点，所以 OE//BD ∠EDA=90°=∠EDC AD=DC ,所以△ED1=AEDC,所以 A=EC 因为 在等腰三角形EAC中，O是AC的中点， 试卷第3页，共3页 所以E01AC 所以 EOA=90 BD 因为∠E0A是异面直线1C与D所成的角， 所以4C与BD所成的角为90，所以 C⊥BD B C 2.如图，已知在底面为菱形的直四棱柱4BCD-4BCD,中，AB=4,BD=4W5,若 ∠BAD=60,求证： BC⊥AD D D 【详解】如图所示：连接BD:四边形1BCD为菱形， ∠BAD=60,AB=4∴.BD=4 又4BD 为直角三角形BD=BD+DDDD=4 BCC B .四边形 为正方形 BC交BC 、BC //AD 连接 点O. :∠B0C(或其补角》为异面直线B,C与AD所成的角。 试卷第4页，共3页 四边形 CC8为正方形∠80C=90BC1D D C A ABCD-ABCD中，M,N分别是 CD,CC 3.如图，在正方 的中点，求证 AM⊥DN D C M C 【详解】如图所示：过点M作ME/DN交CG于E,连接4E 则<AM 为异面直线4M与DN所成的角或其补角。 设正方体棱长为a,计算得到4M=0.M= 4a.4E= -a 4 所以4E=4,所以<4证E=0,同4w1DN 试卷第5页，共3页 D A D 【题型2】线面垂直的证明 例题1.如图所示，己知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB=2,AC=1,P为⊙O所 在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面所成的角为45°. B (I)求证：BC⊥平面PAC: (2)求点A到平面PBC的距离. 【详解】(1)证明：：PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, ∴.PA⊥BC AB是圆O的直径，C为圆上一点，.BC⊥AC. 又：PA∩AC=A,且PA,ACc平面PAC ∴.BC⊥平面PAC. (2)如图所示，过点A作AD⊥PC于点D, :BC⊥平面PAC,ADc平面PAC, .BC⊥AD, 又PC∩BC=C,PC,BCc平面PBC ∴，AD⊥平面PBC ∴AD即为点A到平面PBC的距离 试卷第6页，共3页 P B ∴依题意知∠PBA为PB与平面ABC所成角， 即∠PBA=45°，PA=AB=2,AC=1, 可得PC-V5 AD-PC=PA.AC.:.AD= x1_2V5 55, 25 即点A到平面PBC的距离为5 例题2.如图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作 AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD D 【详解】连接AE,取AB的中点F,连接CF,DF,如图所示， 因为AC=BC,F为AB的中点，所以CF⊥AB, 同理，AD=BD,F为AB的中点，所以DF⊥AB, 试卷第7页，共3页 又因为CF∩DF=F,CFC平面CDF,DFC平面CDF, 所以AB⊥平面CDF, 又因为CDC平面CDF,所以CD⊥AB, 又因为CD⊥BE,AB∩BE=B,ABC平面ABE,BEC平面ABE, 所以CD⊥平面ABE, 又因为AHC平面ABE,所以CD⊥AH, 又因为4H⊥5，且BENCD=E,Ec平面B0 平面CD BCD,CDC 所以AH⊥平面BCD 【针对训练】 1.如图，四棱柱 BCD-ABCD中，底面四边形4BCD为菱形，∠1BC=60 AA=AC=2 AB=AD=2V2 ,点E在线段4D上. A D E D (1)证明： MA上平面4BCD 当S为何值时，4B平面4C:并求出此时三棱睢CD的体积 【详解】(1)：底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， .AB=AD=AC=2 A4 =2 AB=212 4B=2:44+AB2=4B .AA⊥AB 同理，AA⊥AD 又：ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,ABOAD=A, 试卷第8页，共3页 A4 平面ABCD (2)连接BD交AC于点O,则O是BD的中点. 则平面4BD 连接OE 平面EAC=OE 因为日B 平面E1C,ABC平面4BD, OE//AB 所以 AE=1 所以点E为AD的中点，所以E E-1时，AB11平面EAC 即当ED AE 证明：当品1时，点E为AD的中点， 连接BD交AC于点O,则O是BD的中点. 连接OE,则 OE//AB 又OEc平面E1C,4B 平面EAC 所以AB 平面EAC AA⊥ 又由(1)知 平面ABCD 所以三楼锥A-4CD的体积，om54-×x2x2× 11 32 x2s36 3 v. 3 所以三棱锥E-ACD的体积'm一 24-4CD三 3 D C A D C 2.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为I的正方形，且PA⊥平面ABCD,DE⊥PC 交PC于点E. 试卷第9页，共3页 D (I)求证：直线PC⊥平面BDE: (2)当三棱锥E-BCD的体积取到最大值时，求四棱锥P-ABCD的表面积. 【详解】)连接1C,:BDL AC,BD LPA,.PAnAC=APA,ACC PAC 平面 BD⊥平面PAC,而PCC平面PAC,∴BD⊥PC, 又DE⊥PC,DE∩BD=D,DE,BDC平面BDE, .PC⊥平面BDE. (2) D B----- 设AC与BD交于点O,连接OE.设OE=x,EC=y, 则r+y=0心-分2g方ys子等号发时=y月 2 市Ec1面ne得以o-SwBC-名D0E,BC- 1 6s 24 此时△P1C~aOEC→PA=AC=V2→PB=PD=V5,PC=2 5.=S.me √2 于是SPMB=SPAD= 2, 所以四棱锥P-1BCD的表面积为V2+5+1】 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，AD/BC, ∠BAD=90°，PA=AB=BC=1,AD=2.求证：DC⊥平面PAC: 试卷第10页，共3页第12讲空间直线平面的垂直 【题型1】线线垂直的证明 例题1.如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD,中，AB=1. 证明：(I)AD,⊥B,C; (2)AD与B,C是异面直线， 例题2.如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D. (1)求AC与B,C所成角的大小； (2)若E,F分别为棱AB,AD的中点，求证：AC,⊥EF 【针对训练】 1.已知正方体ABCD-A,B,C,D (1)求A,B与BD所成的角. (2)求证：AC⊥BD 试卷第1页，共3页 o C 2.如图，已知在底面为菱形的直四棱柱ABCD ∠BAD=60°，求证：B,C⊥AD D C A D B 3.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N A,M⊥DN D C A1 B E D M B 试卷第1页， AB,CD1中，AB=4,BD1=4V2,若 分别是棱CD,CC,的中点，求证： 共3页 【题型2】线面垂直的证明 例题1.如图所示，已知AB是圆0的直径，C为圆上一点，AB=2,AC=1,P为O0所 在平面外一点，且PA垂直于圆0所在平面，PB与平面所成的角为45°. B 0 (1)求证：BC⊥平面PAC: (2)求点A到平面PBC的距离. 例题2.如图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作 AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD. H 试卷第1页，共3页 【针对训练】 1.如图，四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， D AA=AC=2,A,B=A,D=2√2，点E在线段AD上. B (1)证明：AA,⊥平面ABCD; E 2当4二为何值时，4B11平面EAC,并求出此时三棱锥E-ACD的体积。 ED 2.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD,DE⊥PC交 PC于点E. D (I)求证：直线PC⊥平面BDE; (2)当三棱锥E-BCD的体积取到最大值时，求四棱锥P-ABCD的表面积. 试卷第1页，共3页 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，ADIIBC, ∠BAD=90°，PA=AB=BC=1,AD=2.求证：DC⊥平面PAC; 【题型3】面面垂直的证明 例题1.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，平面ACCA,⊥平面 ABC,AC L BC,AC=BC=CC=4. A C B B (1)证明：平面A,BC⊥平面ABC; (2)若4B与平面AG所成角的正弦值为5，求二面角4-AC-B,的余弦值 4 试卷第1页，共3页 例题2.如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD,底面边长为 a,E是PC的中点 (I)求证：PAI/平面BDE;平面PAC⊥平面BDE; (2)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积. D 【针对训练】 1,如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BD⊥CD. A D (I)求证：平面ABD⊥平面ACD; (2)若AB=2BD,求二面角A-DC-B的正弦值. 2.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC,AD=DC,E,F,G分别是AD, DC,CA的中点，求证：平面BEF⊥平面BDG. 试卷第1页，共3页 ~9 D以 3.如图，在四棱锥E-ABCD中，AD⊥平面ABE,BCI/AD,△CAE是以CE为斜边的等 腰直角三角形.证明：平面ACE⊥平面ABCD. D 4,如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AB=BC=CD=PD=AD=1,PA=5, 2 cos∠PAB=V ,求证：平面PAD⊥平面ABCD; 5 【课后巩固】 1.如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，EF与AC,AD都垂直相交，垂足分别是点 F、点E 试卷第1页，共3页 D C E D C B (1)求证：EF⊥平面ABC; (2)求证：EF1∥BD 2.如图1，在梯形ABCD中，AD1/BC,AB=BC=AD,E为AD中点，O是AC与BE 的交点，将△ABE沿BE翻折到图2中△A,BE的位置得到四棱锥A,-BCDE.求证： CD⊥A,C A(A) E B 图1 图2 3.在三棱锥P-ABC中，ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC,将三角形PAC绕PA逆 时针旋转至PAD位置（如图），且二面角D-PA-B的大小为90°.证明：A,B,C,D四 点共面，且AD⊥PB; D 试卷第1页，共3页 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AD=BD,平面 PAD⊥平面ABCD,PA=PD=√2，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上，PQ=tPC,求 证：直线DE⊥平面PAD; D B 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB⊥PB,平面PAC⊥平面 ABCD.求证：PC⊥平面ABCD; B 试卷第1页，共3页 6.如图，四边形ABCD是菱形，平面PAC⊥平面ABCD,PA/IQD,且 PA=AD=2QD=2,M为PC的中点.证明：MQ⊥PA: D M 7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. G (1)求证：BG⊥平面PAD; (2)求证：AD⊥PB; (3)若点E,F分别为BC,PC的中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD 8.如图，在直角梯形ABCD中，ABI1DC,∠BAD=90°，AB=4,AD=2,DC=3,点 E在CD上，且DE=2,将ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE,G为AE中点. D B A4 (1)求证：DG⊥平面ABCE; (2)求三棱锥G-ABD的体积； 试卷第1页，共3页