第10讲 空间点直线和平面的位置关系 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第10讲空间点直线和平面的位置关系 【题型1】点（线）确定的平面数量问题 例题1．经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【针对训练】 1．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 3．下列正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 4．三条直线两两相交可以确定________个平面． 【题型2】空间中点线共面问题 例题1．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对训练】 1．如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 2．如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 3．以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 【题型3】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 例题1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【针对训练】 1．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 2．已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 4．已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____ 5．在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________． 【题型4】空间直线平面的位置关系 例题1．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 【针对训练】 1．已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 2．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 3．如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 4．若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 5．已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 6．已知平面平面，，点，则下列结论正确的是（   ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 7．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（   ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 8．已知和是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．已知直线与平面，则下列选项可使得的是（    ） A． B． C． D． 10．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 11．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 12．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【题型5】点线共面问题的证明 例题1．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 例题2．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【针对训练】 1．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 2．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 3．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 4．如图，已知：，，，，，求证：．    5．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 6．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 7．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 8．如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 9．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 10．如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲空间点直线和平面的位置关系 【题型1】点（线）确定的平面数量问题 例题1．经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【详解】由公理：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确. 故选：A. 【针对训练】 1．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 2．下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． 3．下列正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【详解】A：一个多面体至少有4个面，A选项正确； B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误； 对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥，故C正确． D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面， 若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误； 故选：AC. 4．三条直线两两相交可以确定________个平面． 【详解】（1）三条直线共面时，则确定1个平面； （2）三条直线不共面时，则三条直线必交于一点，此时每两条直线确定1个平面，共确定3个平面. 则三条直线两两相交可以确定1个或3个平面. 故答案为：1或3 【题型2】空间中点线共面问题 例题1．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 【针对训练】 1．如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面平面, 所以直线EB，GD交于点B，故D正确. 而由题意，可为上任意一点，故ABC错误. 故选：D 2．如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 3．以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 【详解】对于A：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成部分，故A正确； 对于B：因为直线平面，直线平面，由与相交一定可以得到与相交， 但是由与相交，则与可以相交、平行或异面，故B错误； 对于C：因为，直线平面，则且， 又直线平面，所以， 又，所以，故C正确； 对于D：若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直， 如图正方体中：平面平面， 平面平面，平面平面， 由正方体的性质可知、、两两互相垂直，故D错误. 故选：AC . 【题型3】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 例题1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 【针对训练】 1．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，截面，由于， 则， 设，则， ，， 则， 则周长为， 故选：A. 2．已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面， 过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A 3．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由， 所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 4．已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____ 【详解】如图所示： 分别在棱上取点，且， 易得，， 故， 同理可得， 故， 同理可求得，， 故过三点的平面截正方体所得的多边形为六边形，其面积等于两个等腰梯形与的面积之和， 由条件可得，，， 从而可得梯形的高为， 梯形的高为， 故梯形的面积为， 梯形的面积为， 六边形的面积为． 故答案为：． 5．在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________． 【详解】 如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点）， 所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面， 所以过三点的截面为平行四边形 则， 又因为，所以 故答案为：3． 【题型4】空间直线平面的位置关系 例题1．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 【详解】如下图所示，连接，    由、分别为、的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，故直线、相交， 故选：C. 【针对训练】 1．已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 【详解】如图所示，，， 则与的位置关系可能是平行、相交、异面、重合. 故选：D. 2．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或. 故选：D 3．如果直线平面，直线平面，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】∵， ∴，同理，. 又，则. 故选：A. 4．若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交 D． 【详解】若直线与平面有两个公共点， 则直线在平面内，即. 故选：A 5．已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【详解】解：，与没有公共点， 又，，与没有公共点， 则与的关系为平行或异面． 故选：． 6．已知平面平面，，点，则下列结论正确的是（   ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 【详解】对于A，过点与垂直的直线，若在平面内，则不在平面内，故A错误； 对于B，根据面面垂直的性质定理，过点作平面的垂线必在平面内，故B正确； 对于C，过点与垂直的直线，若在平面内，则该直线不与垂直，故C错误； 对于D，平面过点且垂直于平面，但，所以平面与直线不垂直，故D错误. 故选：B. 7．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（   ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 【详解】如图，在平行六面体中，记棱所在直线分别为， 显然满足 ，且平面，平面，此时平面平面； 又平面，平面，而平面与平面相交， 故这两个平面可以平行或相交. 故选：C. 8．已知和是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对于A选项，若，则或，故错误； 对于B选项，若，则与关系可以是平行、相交或在平面内，不一定满足，故错误； 对于C选项，若，则或，故错误； 对于D选项，若，则，正确. 故选：D 9．已知直线与平面，则下列选项可使得的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，若，则不成立，如图所示，故A错误； 对于B，由面面平行的性质可知，成立，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则可能存在，如图所示，故D错误. 故选：B 10．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 11．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，当时，不成立，故C错误； D选项，设，； 在内过上一点P作直线， 又因为，且， 则，又因为，所以； 再作直线，同理可得； 由于与相交于，，故D正确； 故选：D 12．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 【题型5】点线共面问题的证明 例题1．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 例题2．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. 【针对训练】 1．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 【详解】存在，当为的中点，点D，C，E，G共面. 证明如下： 取的中点，连接， 又∵点是的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段上存在一点（的中点），使得点共面. 2．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 3．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 4．如图，已知：，，，，，求证：．    【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 5．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 6．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 7．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 8．如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 9．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 10．如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $