广东省佛山市2026届高考数学自编模拟卷

2026届广东省佛山市高考数学自编模拟卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 3．设角的终边与单位圆交于点，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则的值为（    ） A．311 B．312 C．313 D．315 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．一个车间有3台车床，其中A型号2台，B型号1台，它们各自独立工作．设A型车床发生故障的概率为，B型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则（    ） A． B． C． D． 8．双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 D．若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（    ） A．自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B．自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C．自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D．自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 10．如图，正五棱柱中，，，F为BC的中点，M,N分别为上两动点，且（），则（    ）    A． B．三棱锥的体积随M的位置的变化而变化 C．当N为的中点时，BM平面 D．直线BN与平面BME所成角的正切值最大为 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．的取值范围为 C．内切圆圆心始终在直线上运动 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等比数列的前项和为，若，则公比______． 13．已知函数，，若，则的最小值为__________. 14．已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知分别为三个内角的对边，，且满足． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 16．如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． (1)证明：； (2)求面与面夹角的正切值． 17．每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． (1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； (2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 18．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)证明：当时，对任意，都存在正整数，使得. 19．我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点． (1)求双曲线系的离心率； (2)已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数． （ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列； （ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省佛山市高考数学自编模拟卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题解出一元二次不等式，求得集合， 再求其与集合的交集即可得出结果. 【详解】因为，集合， 因此，. 故选：B 2．设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】化简求出，根据虚部概念得解. 【详解】，则的虚部为1． 故选：A. 3．设角的终边与单位圆交于点，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别去验证充分性和必要性即可. 【详解】充分性：当，则满足， 必要性：时，，不满足， 所以则是的充分不必要条件. 故选： 4．设，则的值为（    ） A．311 B．312 C．313 D．315 【答案】C 【分析】令和，得到两个等式，两式相加化简即可得出答案. 【详解】令，则①， 令，则②， ①加②可得：，解得：. 故选：C. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式求出，再利用二倍角的余弦求解. 【详解】由，得 ，所以. 故选：D 6．已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据焦半径，以及锐角三角函数即可求解. 【详解】过作垂直抛物线的准线，垂足为，过作于点， 由于，则，故,进而，故. 故选：A    7．一个车间有3台车床，其中A型号2台，B型号1台，它们各自独立工作．设A型车床发生故障的概率为，B型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】, 故选：D 8．双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 D．若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则 【答案】B 【分析】对于A，B，直接代入验证即可；对于C，利用奇偶性的定义即可判断；对于D，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，， ， 所以，B错误； 对于C，令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲正弦函数是奇函数； 令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲余弦函数是偶函数，C正确； 对于D，令，则， 设，所以， 又因为，所以，D正确. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（    ） A．自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B．自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C．自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D．自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 【答案】ABD 【分析】根据图中圆的大小以及高度，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图可知：这些圆的圆心所在的高度呈现上升趋势，故自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势，A正确， 由于这些圆的大小呈现变大的趋势，故半径呈现变大的趋势，因此城镇化率也呈现增长趋势，B正确， 由于我国人口总数大致呈增长趋势，且城镇化率也呈现增长趋势，因此自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关，D正确， 根据图，无法得知人口增长率的变化情况，故C错误， 故选：ABD 10．如图，正五棱柱中，，，F为BC的中点，M,N分别为上两动点，且（），则（    ）    A． B．三棱锥的体积随M的位置的变化而变化 C．当N为的中点时，BM平面 D．直线BN与平面BME所成角的正切值最大为 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定性质推理判断AC；利用等体积法求三棱锥的体积判断B；确定出线面角并求出正切值的最大值判断D. 【详解】在正五棱柱中， 对于A，由平面，平面，得， 由F为BC的中点，得，而平面， 因此平面，又平面，所以，A正确； 对于B，由选项A知，点到平面的距离为定值，而的底边， 高，则的面积是定值，三棱锥的体积为定值，B错误； 对于C，当N为的中点时，，在矩形中，， 则，，即， 由选项A知，平面，平面，于是， 而平面，因此BM平面，C正确； 对于D，由平面，得与平面所成的角分别为， 则是直线BN与平面BME所成的角，令， 且，因此 ，当且仅当，即点与点重合时取等号，D正确. 故选：ACD 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．的取值范围为 C．内切圆圆心始终在直线上运动 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】结合过两点的直线的斜率公式，用表示出，再利用的关系求双曲线的离心率，可判断A的真假；利用基本不等式，可判断B的真假；利用双曲线的概念，结合切线长定理，可确定内切圆圆心的位置，判断C的真假；先利用点到直线的距离公式，结合点在双曲线上，可求为定值，再结合余弦定理和基本不等式，可求的最小值，判断D的真假. 【详解】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 由，则， 所以， 即，故A正确； 对于B，显然，且，，故B正确； 对于C，设内切圆的圆心为，内切圆与相切于点，，，如图所示， 则，且，，， 由于，所以. 而，所以，所以. 所以内切圆圆心始终在直线上运动，由，，则，C选项错误； 对于D，由上知，，所以， 故双曲线，其渐近线方程为， 设，，则，，故. 因为点在双曲线上，所以，则. 因为渐近线的倾斜角为，所以或，故， 在中，由余弦定理可得 ， 当且仅当等号成立，此时P与A重合，不合题意， 则，即无最小值.故D不正确. 故选：AB 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等比数列的前项和为，若，则公比______． 【答案】或1 【分析】将题设化为，解此方程即可. 【详解】因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或. 故答案为：或1 13．已知函数，，若，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】将问题转化为，构造函数，求导即可求解. 【详解】由可得， 由可得，故， 因此， 记，则， 当在单调递增， 在单调递减， 故当时，取最小值， 因此的最小值为， 故答案为： 14．已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________． 【答案】 【分析】根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的体积 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知分别为三个内角的对边，，且满足． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转换，再根据三角恒等变换化简式子，结合正弦函数的性质求得角得大小即可； （2）根据三角形面积公式求得边长，再由余弦定理求得边长，从而得三角形的周长. 【详解】（1）由已知和正弦定理得：， 因为，所以， 由辅助角公式得：，即， 因为，所以，所以或， 故或，因为，所以． （2）的面积，所以， 由余弦定理得：， 所以， 所以的周长为． 16．如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． (1)证明：； (2)求面与面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由侧面底面得底面，进而可证； （2）向量法求面与面的夹角. 【详解】（1）因为三棱柱中， 故四边形为菱形，又因，点是棱的中点， 故， 又侧面底面，侧面底面， 侧面， 所以底面，又底面，故. （2）因， ，故为直角三角形， 故， 如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 由（1）可知，，，故，， 则， 由题意平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 则即，令，则，， 则， 设面与面夹角为，则， 故， 面与面夹角的正切值为. 17．每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占． (1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； (2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人. ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)①；②分布列见详解、数学期望为 【分析】(1)先算出女生总人数，再用古典概型求概率. (2)①先由分层抽样得抽样后男女生人数，再用条件概率公式. ②先确定取值，再算各概率后得到分布列，再代入期望公式求解. 【详解】（1）获奖人数：人，不获奖人数：人， 获奖男生：，获奖女生：， 不获奖女生：，不获奖男生：， 女生总人数：，则随机抽取到一名学生是女生的概率为：. （2）按性别分层随机抽取人，则： 抽取男生为人， 抽取女生为人， ①设事件为“人中有女生入选”，事件为“恰好选到名男生和名女生”， 依据条件概率公式，其中， ，，则； ②表示入选的人中的女生人数，其可能的取值为， ， ， ， 分布列： 数学期望：. 18．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：有最大值； (3)证明：当时，对任意，都存在正整数，使得. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得，求得，结合导数的几何意义，求得曲线的切线方程； （2）当时，求得，令，求得，的得到在上单调递减，结合，，得到存在，使得，得到得单调，即可证得函数有最大值； （3）当时，可得，令，求得，得到在上单调递减，结合，得到存在，使得，得到的单调性，得出最大值为，即可得证. 【详解】（1）解：由函数， 可得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：当时，，其中， 当时，，令， 则，所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在，满足，即， 当变化时，变化情况如下表： 0 极大值 所以当时，函数有最大值. （3）解：当时，可得， 令，可得， 所以在上单调递减， 且， 则存在，使得，即， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 且当时，， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 所以对任意，都存在正整数，使得. 19．我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点． (1)求双曲线系的离心率； (2)已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数． （ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列； （ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用给定条件应用点在双曲线上列式得出，进而求出离心率； （2）（ⅰ）由（1）求出双曲线方程，设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线的斜率与直线的斜率，计算即可得出等比数列；（ⅱ）利用（1）求出的面积结合函数值域得出最小值，求出数列的所有项和即可. 【详解】（1）双曲线系中曲线经过两点 由题意，得，，则， 所以双曲线的离心率为， 所以双曲线系的离心率为； （2）（ⅰ）由（1）及题意，知，，． 设，． 设直线的方程为，其中在第二象限，在第三象限， 联立得方程组， 消去并整理，得， 则， ，， 所以， 则 ， 所以，则． 故数列是以为公比的等比数列． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线也恒过定点， 因此 ， 设，则， 则，当时，则 ， ， 所以数列的所有项之和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $