2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷06

2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 3．样本数据，，，的平均数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 5．已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 13．的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为______． 14．函数的所有零点的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 16．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 17．已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点，分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥. (1)如图1，若点在平面上，求证：平面； (2)如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积. 18．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 19．在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 3．样本数据，，，的平均数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 5．已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 13．的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为______． 14．函数的所有零点的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 16．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 17．已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点，分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥. (1)如图1，若点在平面上，求证：平面； (2)如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积. 18．设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 19．在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B C D B BCD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】先求得，再根据集合交集运算求解即可. 【详解】解不等式得，即， 又因为，所以 故选：C 2．B 【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解. 【详解】复数，则. 3．D 【详解】样本数据的平均数为. 4．A 【分析】根据给定条件，求出圆心及抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，而圆的圆心为， 依题意，，所以. 故选：A 5．B 【分析】由，计算，结合数量积定义，即可解出. 【详解】因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 6．C 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 7．D 【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果. 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 8．B 【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得. 【详解】由可得 因， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法， （1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断； （2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较； （3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断. 9．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 10．BCD 【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可. 【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由在双曲线上可得，代入可得，， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 11．ABD 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 12．/ 【分析】由已知比例关系解出等差数列首项与公差的关系，代入所求表达式化简即可 【详解】因为是等差数列，且，设的公差为， 则有，整理得， 经验证，则成立， ， 则. 13．1 【分析】由余弦定理结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理可得：，又， 得，解得，所以的面积为； 故答案为： 14． 【分析】构造函数，再判断其在，，，单调性，最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解. 【详解】令， 则， 所以，即的图象关于直线对称， 当时，在上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 结合的图象关于直线对称可得： 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 且当时，，当时，， 所以与有4个交点，且关于对称， 故有4个零点，且关于对称， 则所有零点的和为． 15．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【详解】（1）由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2）由， 则， 所以 即. 16．(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 17．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先证明，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）解法1  记正方形的中心为，取中点，设，利用二面角的平面角定义求得，， 因为为二面角的平面角且，列方程求出，进而得到即可利用体积公式求解； 解法2  记正方形的中心为，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用向量法列方程求出，进而得到即可利用体积公式求解； 解法3  以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用向量法列方程求出，进而得到即可利用体积公式求解； 【详解】（1）如图，连接，则必过点， 在四边形中，由于对角线，互相平分， 则四边形为平行四边形，故， 由于平面且平面， 所以平面； （2）解法1  如图，记正方形的中心为，取中点，连接，，，，由于，则，同理可证，则为二面角的平面角，又，则， 则为二面角的平面角，为二面角的平面角， 不妨设点在的下方， 设 则，，，，， 于是，， 于是， ， 由于，则，解得， 则，则，即内接八面体的体积为； 解法2  如图，记正方形的中心为，连接，， 则，，两两垂直，如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 不妨设点在的下方， 则，，，， 于是点，，，， 设平面的一个法向量为，，， 由，，令，则， 于是平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由，，令，则， 于是平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由于， 则，则，， 则，即内接八面体的体积为. 解法3  如图，过点作，记正方形的中心为，连接，， 由于平面，，平面，则，， 且，则，，两两垂直，如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由对称性，不妨设点在的下方，设 则，，，， 于是点，，，， 设平面的一个法向量为，， ， 由，， 令，则，， 于是平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由，， 令，则，， 于是平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由于， 则，则， 则，即内接八面体的体积为. 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【详解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 19．(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【详解】（1）由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $