精品解析：内蒙古赛罕区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期高二年级数学试题 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置. 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效.考试结束后，将答题卡交回. 3.本试卷满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线，直线，则直线与间的距离为（ ） A B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 127 B. 128 C. 129 D. 256 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线距离为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知椭圆：，斜率为2直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（ ） A. 卫星向径的取值范围是 B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D. 卫星向径最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ） A. B. C. D. 10. 曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数使得曲线C的轨迹为圆 B. 存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆 C. 存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线 D. 无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值 11. 下列表述中能同时正确的序号搭配是（ ） ①直线与直线垂直； ②双曲线的虚轴长6； ③椭圆上一点，椭圆的两个焦点为，则的周长为14，面积是7； ④直线与圆相切时，或； ⑤圆和圆的公共弦所在直线方程为； ⑥圆与圆有4条公切线. A. ①② B. ①③ C. ③④⑤ D. ④⑤⑥ 第II卷（非选择题） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________； 13. 空间直角坐标系中，若，四点共面，则_____． 14. 过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式 （1）若展开式共七项，求的值； （2）在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项. 16. 已知空间三点.设. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数的值. 17. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 18. 2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. （1）求这个人是阳性患者的概率； （2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 19. 已知双曲线与有相同的渐近线，且过点. （1）求的方程； （2）设为双曲线上任一点，为双曲线右焦点，到直线的距离为，求的值； （3）已知为坐标原点，直线与交于两点，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二年级数学试题 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置. 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效.考试结束后，将答题卡交回. 3.本试卷满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2. 直线，直线，则直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 详解】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 3. 若，则（ ） A. 127 B. 128 C. 129 D. 256 【答案】B 【解析】 【详解】当时，， 当时，， 相减得，即. 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求得，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为点在上，所以，解得. 由抛物线的方程可知，准线方程为,焦点， 则点到准线的距离为, 由抛物线的定义得. 故选：B. 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 7. 已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆离心率，所以. 8. 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（ ） A. 卫星向径的取值范围是 B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D. 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D． 【详解】A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； B选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； C选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C错误； D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确. 故选：C． 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系即可得解. 【详解】直线过定点，显然点在圆内， 因此直线与圆必相交，C错误； 而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能. 故选：ABD 10. 曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数使得曲线C的轨迹为圆 B. 存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆 C. 存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线 D. 无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由可判断；对于B，当时，表示椭圆；对于C，当时，表示双曲线；对于D，当时，椭圆的，当时，双曲线的，由此可判断. 【详解】解：对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确； 对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确； 对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值； 当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确， 故选：BCD. 11. 下列表述中能同时正确的序号搭配是（ ） ①直线与直线垂直； ②双曲线的虚轴长6； ③椭圆上一点，椭圆的两个焦点为，则的周长为14，面积是7； ④直线与圆相切时，或； ⑤圆和圆的公共弦所在直线方程为； ⑥圆与圆有4条公切线. A. ①② B. ①③ C. ③④⑤ D. ④⑤⑥ 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件即可判断①；根据双曲线的性质即可判断②；根据椭圆的定义，结合勾股定理及面积公式即可判断③；根据直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式即可判断④；根据作差法求两圆的公共弦即可判断⑤；根据两圆的位置关系与公切线的关系即可判断⑥. 【详解】①，，因为，所以直线与直线垂直，故①正确. ②双曲线的虚轴长为，故②错误. ③椭圆，，，所以. 因为点在椭圆上，所以， 又，所以的周长为. 因为，所以， 又，所以. 所以的面积为，故③正确. ④圆：可化为，则圆心，半径. 直线. 因为直线与圆相切，所以，， 所以，故④正确. ⑤两圆方程相减：，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故⑤正确. ⑥圆的圆心，半径；圆的圆心，半径. 圆心距. 又，，， 所以两圆相交，所以公切线只有2条，故⑥错误. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________； 【答案】480 【解析】 【分析】先排特殊，再排一般. 【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为中方法. 所以不同排法的种数为种. 故答案为：480 13. 在空间直角坐标系中，若，四点共面，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量共面的线性表示关系，通过建立方程组求解参数，核心是将四点共面转化为向量的线性组合问题. 【详解】，，. 因四点共面，故可由、线性表示，即存在实数、，使， 代入坐标得， 解得，，. 故答案为：. 14. 过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】椭圆化为标准方程得，该椭圆的左焦点是， 又因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为， 由，消去并整理，得， 设，则， 由弦长公式，得. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式 （1）若展开式共七项，求的值； （2）在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项. 【答案】（1）6 （2）通项公式为，常数项为160 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理可知，二项展开式共有项，列式计算即可. （2）根据二项展开式通项公式化简求值即可. 【小问1详解】 由题意知，，解得. 【小问2详解】 由（1）知，二项式为. 通项公式为. 令，则，所以. 所以该二项展开式的通项公式为，常数项为160. 16. 已知空间三点.设. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，结合模长的坐标运算可得答案； （2）根据向量夹角公式可得答案； （3）根据数量积为0可求答案. 【小问1详解】 因为，所以； 所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. 【小问3详解】 ， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 17. 如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. （1）求点B到平面CDE的距离； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案； （2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可. 【小问1详解】 ∵平面平面 ∴， 又  两两互相垂直， 则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量 即 令，可得 ， ， 记点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为4. 【小问2详解】 由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知 ， ， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为，正弦值为， 二面角的正切值为. 18. 2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. （1）求这个人是阳性患者的概率； （2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【小问1详解】 设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 【小问2详解】 19. 已知双曲线与有相同的渐近线，且过点. （1）求的方程； （2）设为双曲线上任一点，为双曲线右焦点，到直线的距离为，求的值； （3）已知为坐标原点，直线与交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线相同得到，根据点在双曲线上得到，然后解方程即可； （2）设，利用两点间距离公式得到，然后求计算比值即可； （3）联立直线和双曲线方程，然后利用韦达定理和列方程，最后解方程即可. 【小问1详解】 的渐近线方程为，所以①， 因为双曲线过点，所以②， 联立①②得， 所以方程为. 【小问2详解】 由（1）得，， 设，则，， ，， 所以 【小问3详解】 联立得， ， 设，，则，， ， ， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $