精品解析：内蒙古达拉特旗第一中学（达旗一中分校）2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

内蒙古达拉特旗第一中学（达旗一中分校）2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，向量，，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个向量平行的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】利用向量共线的充要条件求解即可.因为向量，），， 所以==，解得，. 故选：C. 2. 已知等差数列中，，则数列的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质求解可得. 【详解】等差数列中，因为， 所以，解得. 故选：B 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程先求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 直线的斜率为，即，所以. 故选：C 4. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【详解】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 5. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】结合表示点到原点的距离，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】表示点到原点的距离, 点到原点距离的最小值为原点到直线的距离. 故选：C 6. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D 7. 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明平面，故问题可转化为求直线与平面的距离，再证明平面，由此可求结论. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离与直线与平面的距离相等， 即点到平面的距离，如图连接，交于，则， 因为平面，平面，所以 又因为，平面， 所以平面，所以线段长为点到平面的距离， 又因为，所以异面直线的距离为，则C正确. 故选：C 8. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义将问题转化为焦点到直线的距离求解. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线方程， 由抛物线定义可知，点到直线的距离和点到的距离相等， 所以点到直线、直线的距离之和的最小值即点到直线的距离， 由知，距离之和的最小值为， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的方程可得，结合即可下结论. 【详解】由已知可得： 所以， 所以 故选：CD 10. （多选）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 平面平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以中点为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】如图根据正三棱柱的性质，以中点为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则即，故可取， 对于A，因为，则有，故A正确； 对于B，因为，所以与平面不平行，故B错误； 对于C，解法一：因为，，， 由，可得， 又平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 由，可知平面平面，故C正确； 解法二：因平面，平面，所以， 又因为三角形为等边三角形，且为边中点，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故C正确. 对于D，解法一：因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为； 解法二：因为为中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离， 由选项C，平面平面，又因为平面平面， 易知直角三角形全等于直角三角形，所以， 所以，即， 由选项C，平面平面，又因为平面平面，平面， 所以平面， 设与交于，则点到平面距离为线段的长， 在直角三角形中，， 又，解得，故D正确； 故选：ACD 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】列等式求出等差数列的公差d，首项，再据此逐一分析各项即可． 【详解】对于AB，设等差数列的公差为，由，得， 解得，所以， 则，故AB正确； 对于C，令，得，且，所以当或时，取最小值，故C错误； 对于D，因为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列满足，则___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由等比数列的概念计算可得. 【详解】由可知， ， 所以， . 故答案为：. 13. 已知两个事件和互斥，记事件是事件的对立事件，且，，则_____________． 【答案】. 【解析】 【分析】 先计算，再根据计算得到答案. 【详解】得，且事件与互斥，则 故答案为： 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件概率的计算，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解. 14. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由结合双曲线性质可得，，再由双曲线定义得，结合，消元计算可得. 【详解】如图，设直线与圆相切于点，则，又， 所以，过作于点， 因为，所以为中点，且， 所以，所以， 所以，又． ，即，即， 从而，即， 即，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E为PC的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由梯形性质可知，由线面平行的判定定理即可证明结论； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用空间向量即可求得直线AE与平面PBC所成角的正弦值. 【小问1详解】 在梯形ABCD中， 因为，， 所以． 又平面PBC，平面PBC， 即可得平面PBC． 【小问2详解】 易知AB，AD，AP两两垂直， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，． ∴，，， 设平面PBC的法向量， 则，取，则，． ∴平面PBC的一个法向量为． 设直线AE与平面PBC所成角为， 则， 即可知直线AE与平面PBC所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆方程求得交点坐标，即可根据弦长公式求解， （2）由面积公式即可求解. 【小问1详解】 椭圆，，，，即， 所以直线的方程为， 联立，得，或， 所以， 【小问2详解】 由，得，由，得， 不妨设，， 的面积. 18. 已知数列为等差数列，且，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式； （2）利用错位相减求和可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 所以. 由数列满足，得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1），得， 则， 则， 两式作差，得 所以. 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)将离心率和点代入计算即可； (2) 设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示直线PA，PB的斜率后计算证明. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，点在椭圆上， 所以， 解得， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在，设过点的直线方程为， 与椭圆方程联立方程组，整理得， 设交点的坐标分别为，则有， ， 因为，所以， 则 故为定值，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古达拉特旗第一中学（达旗一中分校）2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，向量，，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则数列的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 3. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 5. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 6. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 7. 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. （多选）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C 平面平面 D. 点到平面距离为 11. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列满足，则___________. 13. 已知两个事件和互斥，记事件是事件的对立事件，且，，则_____________． 14. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E为PC的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 17. 已知椭圆，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点． （1）求长； （2）求的面积． 18. 已知数列等差数列，且，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $