2.1不等式及其性质＆2.2一元一次不等式（5知识点+12大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

2.1不等式及其性质＆2.2一元一次不等式 （5知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 2 【题型2 不等式的解集】 4 【题型3 不等式的性质】 5 【题型4 一元一次不等式的定义】 7 【题型5 求一元一次不等式的解集】 9 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 11 【题型7 求一元一次不等式的整数解】 13 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 15 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 17 【题型10 列一元一次不等式】 19 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 21 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 25 1. 理解不等式、一元一次不等式、不等式的解与解集的概念，能准确识别不等式，区分解与解集的不同含义，夯实基础概念。 2. 掌握不等式的3条基本性质，熟练运用性质对不等式进行变形，尤其注意不等号方向改变的特殊情况，规避变形失误。 3. 掌握一元一次不等式的解法步骤，能准确求解解集、整数解、最值，熟练在数轴上表示解集，落实代数运算能力。 03 知识•梳理 知识点1： 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个代数式的式子，叫做不等式。 常见不等号：大于>、小于<、不小于≥（大于等于）、不大于≤（小于等于）、不等于≠。 知识点2：不等式的解与解集 · 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（单个数值）； · 不等式的解集：一个不等式的所有解的全体，叫做不等式的解集（范围）； · 解不等式：求不等式解集的过程。 知识点3：不等式的基本性质 1.基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，即如果a＞b，那么a±b＞b±c. 2.基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）. 3.基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）. 4.不等式基本性质与等式的基本性质关系 类别 不同点 相同点 不等式 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变 （1） 两边都加（或减）同一个整式，不等式和等式仍成立； （2） 两边都乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立. 等式 两边都乘（或除以）同一个负数，等式仍然成立 特别解读： 1.不等式的三条基本性质是不等式变形的依据.运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形. 2.在不等式的变形中，还经常用到下列性质： （1）对称性.若a＞b，则b＜a. （2）传递性.若a＞b，b＞c，则a＞c. 知识点4：一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 判定三要素：一个未知数+未知项次数为1+整式不等式，缺一不可。 知识点5：解一元一次不等式的步骤 1. 去分母：两边同乘分母最小公倍数，负数分母需变号； 2. 去括号：遵循去括号法则，注意符号和漏乘； 3. 移项：移项要变号，将含未知数项移左边，常数项移右边； 4. 合并同类项：化简不等式为ax>b（或ax<b等）形式； 5. 系数化为1：除以负数时，不等号方向必须改变。 解集在数轴上的表示规则 · 定边界：含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号（>、<）用空心圆圈； · 定方向：大于向右画，小于向左画。 常见易错点 · 运用性质3时，忘记改变不等号方向； · 混淆不等式的解与解集，单个解≠解集； · 去分母时，漏乘不含分母的常数项； · 数轴表示解集时，实心/空心、方向出错； · 实际问题中，忽略未知数的实际意义（如正整数、非负数）。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 解题方法： 判断式子中是否含有不等号（>、<、≥、≤、≠），只要有不等号，即为不等式；无需考虑是否成立，只看形式。 【典例1】．下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 跟随训练3．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2 不等式的解集】 解题方法： 区分单个解（数值）和解集（范围），解集是所有解的集合，需写出未知数的取值范围；检验某数是否为解，代入不等式判断是否成立即可。 【典例2】．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 跟随训练3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 不等式的性质】 解题方法： 判断不等式两边变形方式（加、减、乘、除）；确定乘除的数是正数还是负数，对应性质1，2，3；负数乘除必须变号，正数不变号。 【典例3】．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 跟随训练2．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．若，则下列式子错误的是（   ）． A． B． C． D． 【题型4 一元一次不等式的定义】 解题方法： 逐一验证三要素：①只含一个未知数；②未知项次数为1；③两边都是整式；同时满足即为一元一次不等式。 【典例4】．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 跟随训练3．若是关于的一元一次不等式，则____________． 【题型5 求一元一次不等式的解集】 解题方法： 严格按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解，系数化为1时紧盯除数正负，判断是否变号。 【典例5】．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．已知为非零实数，若的解集为，则________． 跟随训练3．若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 解题方法： 先找边界点，再判实心/空心，最后定方向：≥≤实心，><空心；大于向右，小于向左，画线延伸。 【典例6】．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 跟随训练1．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 跟随训练2．解不等式，并在数轴上表示解集． 跟随训练3．定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 【题型7 求一元一次不等式的整数解】 解题方法： 先求出不等式的完整解集； 在解集中找出所有整数，注意边界是否包含（实心可取，空心不可取）； 实际问题需结合题意筛选正整数/非负整数。 【典例7】．不等式的负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 跟随训练1．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 跟随训练2．写出不等式的一个负整数解___________． 跟随训练3．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 解题方法： 先求解集，再根据解集范围找最值：如解集\(x≤3\)，最大整数解为3；解集\(x>2\)，最小整数解为3；结合数轴直观判断更精准。 【典例8】．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 跟随训练1．不等式恒成立，则a的取值可能是（   ） A． B．5 C．2 D．3 跟随训练2．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 跟随训练3．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 解题核心是去绝对值符号，转化为普通一元一次不等式。 【典例9】．若，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．不等式的解为_____． 跟随训练2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3．解不等式： 【题型10 列一元一次不等式】 解题方法： 找准未知数，设为x； 抓关键词：大于、小于、不超过、至少、至多、不少于等； 将文字语言转化为不等关系，列出一元一次不等式。 【典例10】．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．x的相反数不大于4，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3．用不等式表示“与2026的和不大于”：____________． 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 解题方法： 审：审题，找不等关系和未知量； 设：设未知数，明确含义； 列：根据不等关系列一元一次不等式； 解：求解不等式解集； 验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数）； 答：规范作答，回应问题。 【典例11】．茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 跟随训练2．某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 (1)甲种手套，乙种手套每副各多少元？ (2)该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 跟随训练3．2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 解题方法： 结合几何性质（边长为正、三角形三边关系、周长/面积限制等）； 设几何未知量（边长、角度等）； 根据几何限制条件列一元一次不等式； 求解并结合几何意义筛选解集。 【典例12】．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 跟随训练2．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 跟随训练3．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 1．如果，那么下列不等式正确的是（    ）05 过关•检测 A． B． C． D． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．小丽用长为和的三根木棒钉成了一个三角形道具，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 7．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 9．若的解集为，则的取值范围是__________． 10．“的7倍减去3是正数”用不等式可表示为___________． 11．若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 12．一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为_____． 13．解不等式，并写出最小整数解． 14．随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 15．年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 16．学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 17．综合与实践 素材一 某网红餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏． 素材二 在漏沙过程中，假定沙子匀速漏下，沙子的高度随时间均匀下降．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，10分钟后上半部分沙子剩余高度为． 任务一 设漏沙时间为x分钟，上半部分沙子剩余高度为，求y与x的函数解析式： 任务二 餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间； 任务三 小锦和朋友一起就餐，点餐后沙漏开始计时．餐厅规定：从点餐到离店总时间不超过30分钟可享受8折优惠．小锦发现，当菜品上齐时，沙漏上半部分沙子剩余高度为．他预计自己的用餐时间为t分钟．为了享受8折优惠，小锦的用餐时间t最多为多少分钟（用含h的式子表示）？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1不等式及其性质＆2.2一元一次不等式 （5知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 不等式的定义】 2 【题型2 不等式的解集】 4 【题型3 不等式的性质】 5 【题型4 一元一次不等式的定义】 7 【题型5 求一元一次不等式的解集】 9 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 11 【题型7 求一元一次不等式的整数解】 13 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 15 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 17 【题型10 列一元一次不等式】 19 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 21 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 25 1. 理解不等式、一元一次不等式、不等式的解与解集的概念，能准确识别不等式，区分解与解集的不同含义，夯实基础概念。 2. 掌握不等式的3条基本性质，熟练运用性质对不等式进行变形，尤其注意不等号方向改变的特殊情况，规避变形失误。 3. 掌握一元一次不等式的解法步骤，能准确求解解集、整数解、最值，熟练在数轴上表示解集，落实代数运算能力。 03 知识•梳理 知识点1： 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个代数式的式子，叫做不等式。 常见不等号：大于>、小于<、不小于≥（大于等于）、不大于≤（小于等于）、不等于≠。 知识点2：不等式的解与解集 · 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（单个数值）； · 不等式的解集：一个不等式的所有解的全体，叫做不等式的解集（范围）； · 解不等式：求不等式解集的过程。 知识点3：不等式的基本性质 1.基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，即如果a＞b，那么a±b＞b±c. 2.基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）. 3.基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）. 4.不等式基本性质与等式的基本性质关系 类别 不同点 相同点 不等式 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变 （1） 两边都加（或减）同一个整式，不等式和等式仍成立； （2） 两边都乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立. 等式 两边都乘（或除以）同一个负数，等式仍然成立 特别解读： 1.不等式的三条基本性质是不等式变形的依据.运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形. 2.在不等式的变形中，还经常用到下列性质： （1）对称性.若a＞b，则b＜a. （2）传递性.若a＞b，b＞c，则a＞c. 知识点4：一元一次不等式的定义 只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 判定三要素：一个未知数+未知项次数为1+整式不等式，缺一不可。 知识点5：解一元一次不等式的步骤 1. 去分母：两边同乘分母最小公倍数，负数分母需变号； 2. 去括号：遵循去括号法则，注意符号和漏乘； 3. 移项：移项要变号，将含未知数项移左边，常数项移右边； 4. 合并同类项：化简不等式为ax>b（或ax<b等）形式； 5. 系数化为1：除以负数时，不等号方向必须改变。 解集在数轴上的表示规则 · 定边界：含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号（>、<）用空心圆圈； · 定方向：大于向右画，小于向左画。 常见易错点 · 运用性质3时，忘记改变不等号方向； · 混淆不等式的解与解集，单个解≠解集； · 去分母时，漏乘不含分母的常数项； · 数轴表示解集时，实心/空心、方向出错； · 实际问题中，忽略未知数的实际意义（如正整数、非负数）。 04 题型•汇总 【题型1 不等式的定义】 解题方法： 判断式子中是否含有不等号（>、<、≥、≤、≠），只要有不等号，即为不等式；无需考虑是否成立，只看形式。 【典例1】．下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键．根据不等式的定义，含有不等号（如、、、、）的式子是不等式，否则不是． 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式． 故选：D． 跟随训练1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 跟随训练2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 跟随训练3．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查不等式，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”连接的式子，叫做不等式． 【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个． 故选：C． 【题型2 不等式的解集】 解题方法： 区分单个解（数值）和解集（范围），解集是所有解的集合，需写出未知数的取值范围；检验某数是否为解，代入不等式判断是否成立即可。 【典例2】．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 跟随训练1．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 跟随训练2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 跟随训练3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 【题型3 不等式的性质】 解题方法： 判断不等式两边变形方式（加、减、乘、除）；确定乘除的数是正数还是负数，对应性质1，2，3；负数乘除必须变号，正数不变号。 【典例3】．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边加、减、乘（或除以）同一个数（或式子）时不等号方向的变化规律，进而判断出各式是否成立． 【详解】解：， 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故一定成立． 故选：． 跟随训练1．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 跟随训练2．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 跟随训练3．若，则下列式子错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵已知， 选项不等式两边同时减去，不等号方向不变， ∴，正确； 选项不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， 两边再同时加，不等号方向不变，可得， ∴错误，错误； 选项由，可得，即，正确； 选项不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，正确． 【题型4 一元一次不等式的定义】 解题方法： 逐一验证三要素：①只含一个未知数；②未知项次数为1；③两边都是整式；同时满足即为一元一次不等式。 【典例4】．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 跟随训练1．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 跟随训练2．若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 跟随训练3．若是关于的一元一次不等式，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 【题型5 求一元一次不等式的解集】 解题方法： 严格按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解，系数化为1时紧盯除数正负，判断是否变号。 【典例5】．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 跟随训练1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 跟随训练2．已知为非零实数，若的解集为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解． 【详解】解：∵的解集为， ． 当时，解不等式，得． 又该不等式的解集为， ， 解得． 检验：符合题意， 故答案为：． 跟随训练3．若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 解题方法： 先找边界点，再判实心/空心，最后定方向：≥≤实心，><空心；大于向右，小于向左，画线延伸。 【典例6】．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐步对不等式进行变形，进而求出不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 将解集表示在数轴上如下： 跟随训练1．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，最后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 在数轴上表示不等式的解集如下． 跟随训练2．解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，并在数轴上表示解集，即可求解． 【详解】解：去括号，得： 移项，得： 合并同类项得， 解得 把解集表示在数轴上，如下图： 跟随训练3．定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可； （2）先得出有理数混合运算的式子，再根据的值大于，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 的值大于， ． 如图．    【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 【题型7 求一元一次不等式的整数解】 解题方法： 先求出不等式的完整解集； 在解集中找出所有整数，注意边界是否包含（实心可取，空心不可取）； 实际问题需结合题意筛选正整数/非负整数。 【典例7】．不等式的负整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据题意直接求出负整数解即可． 【详解】解：不等式的负整数解有，，共2个． 跟随训练1．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 故答案为：． 跟随训练2．写出不等式的一个负整数解___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的负整数解． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为、、，任取一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 跟随训练3．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 【题型8 求一元一次不等式解的最值】 解题方法： 先求解集，再根据解集范围找最值：如解集\(x≤3\)，最大整数解为3；解集\(x>2\)，最小整数解为3；结合数轴直观判断更精准。 【典例8】．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 跟随训练1．不等式恒成立，则a的取值可能是（   ） A． B．5 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】此题考查了绝对值和解不等式，用到了分类讨论的方法，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘 （或除以）同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数不等号的方向改变． 将的值进行分段讨论，，，，从而可分别将绝对值符号去掉，得出的范围，综合起来即可得出的取值范围． 【详解】解：， 当时，； 当时，； 当时，； ∵不等式恒成立， ∴的取值范围是． 故a的取值可能是或2， 故选：AC． 跟随训练2．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 跟随训练3．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9 解|x|≥a型的不等式】 解题核心是去绝对值符号，转化为普通一元一次不等式。 【典例9】．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 跟随训练1．不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 跟随训练2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 跟随训练3．解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 【题型10 列一元一次不等式】 解题方法： 找准未知数，设为x； 抓关键词：大于、小于、不超过、至少、至多、不少于等； 将文字语言转化为不等关系，列出一元一次不等式。 【典例10】．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“非负数”的含义是大于等于0，即可根据题意列出不等式． 【详解】解：x与2的差可表示为， x与2的差的3倍可表示为， ∵该式子是非负数， ∴． 跟随训练1．x的相反数不大于4，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式．先得到x的相反数的表达式，再根据“不大于”的含义转化为对应不等号，进而列出不等式． 【详解】解：∵x的相反数是， “不大于”对应不等号， ∴可列不等式为． 故选：A 跟随训练2．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用3小时完成的任务量不小于列不等式即可． 【详解】解：由题意可得3小时完成的任务量不小于， 设剩余时间每小时平整， 如果工作3小时，则3小时总平整面积为， 可得不等式． 跟随训练3．用不等式表示“与2026的和不大于”：____________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，熟练掌握根据题意列不等式是解题的关键． 根据题意，“与2026的和不大于”可转化为不等式； 【详解】解：∵与2026的和不大于， ∴； 故答案为：． 【题型11 用一元一次不等式解决实际问题】 解题方法： 审：审题，找不等关系和未知量； 设：设未知数，明确含义； 列：根据不等关系列一元一次不等式； 解：求解不等式解集； 验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数）； 答：规范作答，回应问题。 【典例11】．茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽和长的关系表示出长，再结合长方形周长公式和篱笆长度的限制列出不等式即可． 【详解】解：∵设试验田的宽为，宽比长少， ∴试验田的长为， ∵篱笆总长度是长方形的周长，要求篱笆总长度不超过， 长方形周长宽长，“不超过”用“”表示， ∴可列不等式为． 跟随训练1．某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 【答案】(1)每个篮球140元，每个足球80元 (2)21个 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据已知列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据总费用低于元列出一元一次不等式，求解即可． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元， 由题意可得， 解得， 每个篮球元，每个足球元； （2）设购买足球个，则购买篮球个， 由题意可得，解得， 为足球的个数，应为正整数， 的最小值为， 至少购买足球个． 跟随训练2．某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 (1)甲种手套，乙种手套每副各多少元？ (2)该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 【答案】(1)甲种手套每副2元，乙种手套每副3元 (2)最少可以购买甲种手套550副 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元，根据表格数据列方程组，进而解方程组即可求解； （2）设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副，根据题意列不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种手套每副2元，乙种手套每副3元； （2）解：设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副， 根据题意，得 ， 解得， 答：该中学最少可以购买甲种手套550副． 跟随训练3．2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 【答案】(1) （，为整数） (2) 该文创店所获得的最大利润为元； (3) 当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 【分析】（1）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，即可解答； （2）利用一次函数的性质，结合小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即可解答； （3）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，列出一次函数解析式，再利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意（，为整数）； （2）解：由（1）知， ∵， ∴随的增大而减小， ∵小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即， ∴当时，有最大值， 答：该文创店所获得的最大利润为元； （3）解：， ∵，且为整数，， ∴当时，，与的取值无关， 此时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数； 当时，即，则随的增大而增大， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为40个； 当时，即，则随的增大而减小， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为35个； 答：当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 【题型12 用一元一次不等式解决几何问题】 解题方法： 结合几何性质（边长为正、三角形三边关系、周长/面积限制等）； 设几何未知量（边长、角度等）； 根据几何限制条件列一元一次不等式； 求解并结合几何意义筛选解集。 【典例12】．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 跟随训练1．已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为最小的内角得，，利用三角形的内角和定理转化为不等式，求解即可． 【详解】是最小的内角，且三个内角互不相等， ， 即最大可取 故选：B 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，不等式及其求解，解题的关键是利用三角形内角和定理转化为不等式． 跟随训练2．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 跟随训练3．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 1．如果，那么下列不等式正确的是（    ）05 过关•检测 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ，A错误； ，B正确； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 由，两边同乘，得 ，C错误； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变， ∴ 由，两边同除以，得 ，D错误； 综上，正确答案是B． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 3．已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入不等式求出的取值范围，即可判断. 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴，即：， 故选：D ． 4．小丽用长为和的三根木棒钉成了一个三角形道具，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由构成三角形的三边关系得到，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由题意可得， 在数轴上表示为． 5．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式型函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故选：C． 6．小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握不超过对应不等号≤，以及正确计算两种物品的总花费是解题的关键． 根据题意，小唯已买个水杯，每个元，花费元；还可以买个小风扇，每个元，花费元，总花费不超过班费元，故用小于等于号． 【详解】解：∵总花费为水杯花费加小风扇花费，即， 且总花费不超过元， ∴不等式为. 故选：D． 7．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 8．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 9．若的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式两边同除以同一个负数，不等号的方向改变进行求解. 【详解】解：∵的解集为， ∴， 即：. 10．“的7倍减去3是正数”用不等式可表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，找到不等关系是解题的关键． 根据题意，可得代数式，再根据是正数，则可列不等式． 【详解】解：“的7倍减去3是正数”，用不等式表示为． 故答案为：． 11．若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式需满足未知数的次数为1且系数不为0是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义，的指数必须为且系数不为零，因此且，求解的值并验证． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式，因此的指数，且系数． 解，得或，即或． 当时，系数，不符合条件； 当时，系数，符合条件． 故答案为：． 12．一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 13．解不等式，并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 14．随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元 (2)最多购进乙种纪念品70件 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进乙种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元， 由题意可得：， 解得：， 答： 甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元； （2）解：设购进乙种纪念品m件， 由题意可得：， 解得：， 答： 最多购进乙种纪念品70件． 15．年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【答案】(1)元 (2)个 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式并求解是解题的关键。 （1）根据乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的，直接用甲种玩偶的单价乘以即可求出乙种玩偶的单价。 （2）设购买甲种玩偶的数量为未知数，根据乙种玩偶数量比甲种多个表示出乙种玩偶的数量，再根据总费用不超过元列出不等式，解不等式后取符合条件的最大整数解。 【详解】（1）解：元． 答：乙种玩偶的单价为每个元． （2）解：设该游客购买了个甲种玩偶． 由题意得， 解得 因为为整数，所以该游客最多购买个甲种玩偶． 16．学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 【答案】(1)“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套 (2)31套 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的实际应用，审清题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据等量关系“两种模型共200套，总费用恰好为9300元”，列出方程组求解即可； （2）根据不等量关系“总预算资金只有8000元”，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，，解得， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； （2）解：设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型套， 由题意可得，，解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 17．综合与实践 素材一 某网红餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏． 素材二 在漏沙过程中，假定沙子匀速漏下，沙子的高度随时间均匀下降．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，10分钟后上半部分沙子剩余高度为． 任务一 设漏沙时间为x分钟，上半部分沙子剩余高度为，求y与x的函数解析式： 任务二 餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间； 任务三 小锦和朋友一起就餐，点餐后沙漏开始计时．餐厅规定：从点餐到离店总时间不超过30分钟可享受8折优惠．小锦发现，当菜品上齐时，沙漏上半部分沙子剩余高度为．他预计自己的用餐时间为t分钟．为了享受8折优惠，小锦的用餐时间t最多为多少分钟（用含h的式子表示）？ 【答案】任务一：；任务二：触发免单优惠的最短等待时间为 25 分钟；任务三：小锦的用餐时间最多为分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键： 任务一：设解析式为：，初始时，，代入得 ，10 分钟后 ，，代入得：，进而可得出答案； 任务二：免单条件是 “上半部分沙子漏完”，即 ．将 代入解析式：，即可得出答案 任务三：当沙子剩余高度为 h 时，已漏沙的时间 ：，得出，总时间不超过 30 分钟可享 8 折优惠，设用餐时间为 t，则：， 代入得出：，进而可得出答案 【详解】任务一：沙子高度随时间均匀下降，说明y与x是一次函数关系， 设解析式为：， 初始时，，代入得 ， 10 分钟后 ，，代入得：， 解得 ． 所以函数解析式为： 任务二：免单条件是 “上半部分沙子漏完”，即 ． 将 代入解析式：， 解得：， 所以触发免单优惠的最短等待时间为 25 分钟． 任务三：当沙子剩余高度为 h 时，已漏沙的时间 ： ， 所以 总时间不超过 30 分钟可享 8 折优惠，设用餐时间为 t，则：， 代入得出： 解得： 所以，小锦的用餐时间最多为分钟． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $