第20章 培优专练1：勾股定理及其证明-【学导练】2026年八年级下册数学课件PPT（人教版）

数学 八年级 下册 配人教版 第二十章　勾 股 定 理 培优专练1：勾股定理及其证明 1. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的 主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广． 书中的 证明方法是将4个边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图 P20－1－1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法 证明勾股定理． 已知c=4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分 的面积是10，那么BC的长是（　D　） D 图P20－1－1 A． 5 B． 6 C． 2 D． 2 2. 如图P20－1－2，在△ABC中，AB=14，AC=16，AD⊥BC于点 D，M为AD上任意一点，则MC2－MB2= ⁠． 图P20－1－2　 60 3. 我国古代称直角三角形为“勾股形”． 如图P20－1－3①所 示，数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三 角形． 如图P20－1－3②所示的长方形是由两个完全相同的“勾 股形”拼接而成，若a=4，b=1，则长方形的面积为 ⁠． 12　 图P20－1－3 4. 如图P20－1－4①，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三 个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则由勾股定理不难证明 S2＋S3=S1. 　图P20－1－4 （1）如图P20－1－4②，分别以直角三角形ABC的三边为直径向 外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3 之间的数量关系并加以证明； 解：（1）S2＋S3=S1. 证明如下：设BC=a，AC=b，AB=c， 则S1=π2=•c2，S2=π2=•a2，S3=π2=•b2. ∵△ABC是直角三角形，∴a2＋b2=c2. ∴S2＋S3=•a2＋•b2=•（a2＋b2）=•c2. 　答图P20－1－1∴S2＋S3=S1. 　图P20－1－4 （2）如图P20－1－4③，分别以直角三角形ABC的三边为斜边向 外作三个等腰直角三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出 S1，S2，S3之间的数量关系并加以证明； 　图P20－1－4 解：（2）S2＋S3=S1. 证明如下：如答图P20－1－1. 设AD=CD=d，AE=BE=e，BF=CF=f， 则S1=e2，S2=f2，S3=d2， AC2=d2＋d2=2d2=4S3，AB2=e2＋e2=2e2=4S1， BC2=f2＋f2=2f2=4S2. ∵△ABC是直角三角形，∴BC2＋AC2=AB2. ∴4S2＋4S3=4S1. ∴S2＋S3=S1. 答图P20－1－1 （3）如图P20－1－4④，四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四 边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2， S3，S4，请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系并加以证明． 　图P20－1－4 解：（3）S1＋S3=S2＋S4. 证明如下：如答图P20－1－2，AC与BD的交点记为O， 则AO2＋BO2=AB2=S1，AO2＋DO2=AD2=S4，CO2＋BO2=CB2=S2， CO2＋DO2=CD2=S3. ∴S1＋S3=AO2＋BO2＋CO2＋DO2， S2＋S4=CO2＋BO2＋AO2＋DO2. ∴S1＋S3=S2＋S4. 　答图P20－1－2 5. 【问题提出】 （1）如图P20－1－5①，在△ABC中，AD⊥BC于点D． 若 AB=10，BD=6，CD=12，则AC= ⁠； 4 　图P20－1－5 【问题探究】 （2）如图P20－1－5②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，且AC⊥BD，试说明：AD2＋BC2=AB2＋CD2； 　图P20－1－5 解：（2）∵AC⊥BD， ∴在Rt△AOB中，AB2=OA2＋OB2， 在Rt△AOD中，AD2=OA2＋OD2， 在Rt△COD中，CD2=OC2＋OD2， 在Rt△BOC中，BC2=OB2＋OC2. ∴AD2＋BC2=（OA2＋OD2）＋ （OB2＋OC2）=（OA2＋OB2）＋ （OC2＋OD2）=AB2＋CD2. 【问题解决】 （3）如图P20－1－5③，△ABC是某小区的局部示意图，其中 ∠B=90°，AB=600 m，AD，DE是两条小道，D为BC的中点， DE⊥AC于点E． 该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道 AF，且满足EF=EC，∠F=90°，请根据上述条件，求骑行小道 AF的长． 　图P20－1－5 解：（3）∵∠B=90°，DE⊥AC，∠F=90°， ∴∠B=∠AED=∠F=90°． ∴AB2＋BD2=AD2=AE2＋DE2=AF2＋EF2＋DE2. ∵EF=EC，DE2＋EC2=CD2， ∴AB2＋BD2=AF2＋EC2＋（CD2－EC2） =AF2＋CD2. ∵D为BC的中点，∴BD=CD． ∴BD2=CD2. ∴AB2=AF2. ∴AF=AB=600 m，即骑行小道AF的长为600 m． 　图P20－1－5 谢 谢 ! $