7.1.2正弦函数的性质（第3课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.2 正弦函数的性质（第3课时） 学 习 目 标 1 2 3 掌握正弦函数的奇偶性定义与判定依据，理解正弦函数的单调区间及单调性特征； 能利用正弦函数的奇偶性、单调性比较三角函数值的大小，求解简单正弦型复合函数的单调区间; 在复合函数单调区间求解中，学会将复杂问题拆解为简单基本函数问题，提升逻辑推理与问题转化能力。 新课引入 经过前面的学习，我们已经掌握了正弦函数的周期性及最值和值域，你还记得的该性质的主要内容吗？ 正弦函数作为特殊的基本初等函数，必然具备函数的基本性质，那么它还应该具有哪些性质呢？ ①正弦函数最小正周期： ②的值域： ③当且仅当时，取得最大值； ④当且仅当时，取得最小值。 这就是本节课的学习主题——正弦函数的奇偶性与单调性. 新知探究 探究一：正弦函数的奇偶性 观察视频中单位圆的动态旋转动画，正弦函数的图像关于原点对称，还是关于轴对称？由此你能猜想正弦函数的奇偶性吗？ 由视频中的现象可以猜想： 正弦函数是奇函数，关于原点对称 结合三角函数的诱导公式证明： 已知函数，定义域为 对任意， 根据诱导公式： 即 因此，正弦函数是奇函数. 典例分析 例1 判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1）； （2）； （3）． 【分析】本题依据奇偶性定义，判断的关系，利用诱导公式化简验证，非奇非偶函数通过举反例说明. 解 ：（1）因为函数的定义域为，对于任意给定的， 所以是一个偶函数． 典例分析 （2）因为函数的定义域为，对于任意给定的 所以是一个偶函数． （3）注意到 ． 因为，且 所以既不是奇函数也不是偶函数． 即时训练 1.判断该函数的奇偶性：； 【分析】定义域验证→求→对比与→得出结论 解：定义域为，关于原点对称； ，既不等于 也不等于 故非奇非偶函数。 知识小结 正弦函数的奇偶性 1.前提：定义域：（关于原点对称） 2.证明： 3.结论：是奇函数(图像关于原点对称) 新知探究 探究二：正弦函数的单调性 角从增大到，点的纵坐标如何变化？的值如何变化？ 图像呈什么趋势？是增函数还是减函数？ 由图可知,角从增大到 点的纵坐标由1减小到-1 的值由1减小到-1,图像呈下降趋势 因此正弦函数 在上是严格减函数 结合正弦函数的周期性，你能得到正弦函数的严格减区间吗？ 严格减区间： ，此区间内由减小到 新知探究 角从增大到，点的纵坐标如何变化？的值如何变化？ 图像呈什么趋势？是增函数还是减函数？ 由图可知,角从增大到 点的纵坐标由-1增大到1 的值由-1增大到-1,图像呈上升趋势 因此正弦函数 在上是严格增函数 结合正弦函数的周期性，你能得到正弦函数的严格增区间吗？ 严格增区间： ，此区间内由增大到； 典例分析 例2 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与． 【分析】借助正弦函数的单调区间性质，通过诱导公式转化角度，判定三角函数值的大小关系. 解：（1）因为，且正弦函数在上是严格减函数，所以． （2）， ， 因为，且正弦函数在上是严格增函数 所以，即． 即时训练 2.（1）写出 的单调增区间； 解：（1） 的单调增区间为 。 （2） 的单调减区间包含 ， 故该表述错误， 是 的单调减区间。 （2）判断 “ 是 的单调增区间” 是否正确. 【分析】正弦函数增区间 、 减区间 . 知识小结 正弦函数的单调性 ①在上，正弦函数是严格增函数 此区间内由增大到； ② 此区间内由减小到 典例分析 例3 【分析】利用换元法与复合函数单调性法则，结合正弦函数单调区间求解，再对限定区间取交集得到结果. 由此解得： 因此， 的单调减区间为 （） （1）求函数 的单调减区间； （2）求函数 ， 的单调增区间。 解：（1）令 ，则原来的函数可改写为 且因为 随 的增大而增大 故只需考察函数 的单调减区间 （），即 典例分析 由此解得 因此，函数 ， 的单调增区间为 。 （2）因为 ，所以 的单调增区间就是 的单调减区间，即 又因为 ，考虑 与 （）的交集. 只有当 时， 与 （）的交集才非空 且其交集为 题型1 判断函数单调性 1.判断下列函数的奇偶性（1）；（2） 【分析】先验证定义域是否关于原点对称（必要前提），再根据奇偶性定义结合诱导公式判断与的关系. 解：（1）定义域为，关于原点对称； 故是奇函数. （2）定义域为，关于原点对称； 故是偶函数. 题型2 单调性的判断 2.判断在、上的单调性。 【分析】判断指定区间是否包含于正弦函数的增/减区间→得出单调性结论. 解：(正弦函数增区间) 在上严格递增 (正弦函数减区间), 故在上严格递减 题型3 利用奇偶性、单调性比较三角函数值大小 3.比较与的大小。 【分析】利用正弦函数奇偶性将负角转化为正角，再将正角划归到同一单调区间比较. 解：由正弦函数奇偶性得： ， 、（正弦函数增区间），且，故； 两边取相反数得：，即。 题型4 正弦型复合函数单调区间求解 4.求的单调增区间。 【分析】负系数转正（诱导公式）→判断单调性转化关系→换元法求解→写出最终区间. 解： 令，由的减区间得： 代入： 不等式求解： 原函数的单调增区间为 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 正弦函数的性质 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 沪教版 · 必修二 知识点回顾 奇偶性 01 正弦函数 y = sinx 的定义域为 R，关于原点对称。 02 对于任意 x ∈ R，都有 sin(-x) = -sinx。 03 所以，正弦函数是 奇函数，其图像关于 原点 对称。 单调性 单调递增区间： [ - π 2 + 2kπ , π 2 + 2kπ ] (k ∈ Z) 单调递减区间： [ π 2 + 2kπ , 3π 2 + 2kπ ] (k ∈ Z) 易错点警示 🚫 忽视定义域 在判断函数奇偶性时，必须先检验 定义域是否关于原点对称。若定义域不对称，则函数既非奇函数也非偶函数。 🚫 遗漏周期性参数 k 书写单调区间时，切记不能只写一个区间（如 [-π/2, π/2]），必须加上 + 2kπ (k ∈ Z)，体现正弦函数的周期性。 🚫 复合函数单调性判断错误 对于 y = sin(ωx + φ)，若 ω < 0，需先利用诱导公式将 ω 化为正数，或遵循"同增异减"原则。 解题技巧 🎨 数形结合法 解决正弦函数性质问题时，画出图像是第一步。通过观察图像的波峰、波谷和平衡位置，可以直观地判断单调区间和对称性。 💡 提示：熟记"五点法"作图，快速草绘 y = sinx 在 [0, 2π] 上的图像。 🧩 整体代换法 求 y = A sin(ωx + φ) 的单调区间时，将 ωx + φ 看作一个整体 t。 📝 步骤：令 -π2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ π2 + 2kπ，解出 x 的范围。 $