7.2余弦函数的图像与性质（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数 7.2 余弦函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 能准确表述余弦函数的定义，掌握利用正弦函数平移法作余弦函数的方法 ,熟记在上的五个关键点； 能根据,由正弦函数性质推出余弦函数的四条核心性质； 经历由正弦函数推导余弦函数的过程，体会转化与化归思想，提升将已知知识迁移到未知问题的逻辑推理能力. 新课引入 经过前面的学习，我们已经掌握了正弦函数的图像及性质，你还记得正弦函数的图像是如何绘制的吗?它又有哪些性质呢？ 在三角函数中，与正弦函数齐名的还有余弦函数，它和正弦函数有着密切的联系. 利用五点作图法作图； 在上的关键点：、(2 正弦函数的性质： ①最小正周期 ②奇函数，图像关于原点对称 ③定义域,值域[-1,1] 本节课我们将结合正弦函数的图像与性质，一起探究余弦函数的图像与性质. 余弦函数的定义： 新知探究 探究一：余弦函数的定义与图像绘制 类比正弦函数的定义，你能给出余弦函数的定义吗？ 对于任意一个给定的实数，都有唯一确定的余弦值与之对应，按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作. 定义域为实数集 余弦函数的图像是这样的呢?又该如何绘制余弦函数的图像呢？ ①方法一：和作正弦函数图像一样，利用单位圆交点的横坐标表示，通过取点、描点、连线，作出余弦函数的图像 新知探究 由诱导公式可知： () 这个等式对任意实数都成立，说明余弦函数和函数是同一个函数，因此它们的图像完全相同. ②方法二：利用正弦函数平移法 ①将正弦函数的图像向左平移位 ②得到的图像 ③也就是余弦函数的图像 即时训练 1如图为正弦、余弦曲线的混合图像，标注的图像并指出其对称轴 / 关键点. 解 对称轴：轴（即直线）； 对称性特征：余弦曲线关于轴对称，且所有直线都是其对称轴，是中心对称图形也是轴对称图形. 【分析】根据余弦函数的特点解答 蓝色线为余弦函数图像 知识小结 余弦函数的定义与图像 ①余弦函数的定义：对于任意一个给定的实数，都有唯一确定的余弦值与之对应，记作. ②余弦函数的图像：将的图像向左平移位得到 探究一：余弦函数的性质 继续类比正弦函数的性质，还能会得到什么性质？ 新知探究 利用余弦函数与正弦函数的关系 ,由正弦函数的性质能余弦函数的性质吗？ ①周期性： 因为的最小正周期是 所以的最小正周期也为 故 是周期函数 (,)均是它的周期，是它的最小正周期 新知探究 ②值域与最值： 的值域是[-1,1],故的值域也是; 当且仅当 ( )时，取得最大值1； 当且仅当 ()时，取得最小值-1 ③奇偶性：的定义域为,且 故是偶函数. 其图像关于轴对称. 新知探究 ④单调性：结合正弦函数的单调性和平移变换，可知： 在区间 ()上是严格增函数 在区间 ()上是严格减函数 典例分析 例1 求下列函数的最大值与最小值，并求出取得最大值和最小值时所有 的值： （1）； （2）． 【分析】采用换元法，将三角函数问题转化为熟悉的二次函数或基本三角函数在闭区间上的最值问题，再回代求解对应 . 解：（1）令 ，则 当 时，有 ，从而 于是 ． 这样， 的最大值是 ，此时 典例分析 而 的最小值是 ，此时 ，即 ． 即 ； （2）令 ，则 由 ，有 ，即 ． 在区间 上是严格增函数，而在 上是严格减函数. ，， 所以 的最大值是 ，此时 ，即 ，从而 ； 的最小值是 ，此时 ，即 ，从而 典例分析 例2 求函数 的最小正周期及单调增区间. 【分析】通过三角恒等变换或直接利用余弦函数性质，结合周期公式与单调性不等式，求解函数的最小正周期与单调增区间. 解：因为 而 的最小正周期是 所以函数 的最小正周期是 . 由余弦函数的单调性可知，当 函数 是严格增函数 即此函数的单调增区间是 . 知识小结 余弦函数的性质 ①周期性：周期 (),最小正周期 ②值域：[-1,1];最值：时时 ( ③奇偶性：偶函数，,图像关于轴对称 ④单调性：增,减 (),严格增减 题型1 周期性问题 1.求 、 的最小正周期； 【分析】利用余弦型函数最小正周期公式（为的系数），分别确定两个函数的值，代入公式计算即可，与常数项无关。 解：对于余弦型函数，最小正周期公式； 中，故； 中，故。 题型2 值域与最值问题 2.当 取何值时， 取得最大值和最小值，最值分别是多少？ 【分析】先分析取最值时的，再结合系数的符号，确定函数的最值及对应的取值. 已知，结合系数的符号分析： 当时，（最大值） 此时； 当时，（最小值） 此时 题型3 奇偶性的判断 3.判断下列函数的奇偶性，并说明理由：① ；② ； 【分析】先判断各函数定义域是否关于原点对称，再计算，根据、的关系判断奇偶性. 解：① ，定义域为（关于原点对称）； ，故为偶函数 ② ，定义域为（关于原点对称）； ，故为偶函数. 题型4 单调性问题 4.指出 在 上的单调增区间. 【分析】先写出余弦函数的通式单调增区间，再取值得到与相关的区间，求交集即可. 解：单调增区间：； 单调减区间： 令，得增区间，减区间； 令，得增区间； 结合； 取交集得单调增区间为和. 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 余弦函数 图像与性质小结 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 课堂导语 高中数学 · 必修二 核心性质梳理 函数图像 y = cosx 定义域 R 值域 [-1, 1] 周期性 最小正周期为 2π 奇偶性 偶函数，图像关于 y轴 对称 单调性 单调递增区间：[2kπ - π, 2kπ] (k ∈ Z) 单调递减区间：[2kπ, 2kπ + π] (k ∈ Z) 对称性 对称轴方程：x = kπ (k ∈ Z) 对称中心坐标：(kπ + π 2 , 0) (k ∈ Z) 常见陷阱与误区 忽略周期性 在求单调区间或解三角不等式时，常忘记加上周期 2kπ。 错误示例： 单调递增区间写为 [-π, 0] 正确写法： [2kπ - π, 2kπ], k ∈ Z 复合函数的单调性 对于 y = Acos(ωx + φ)，当 ω < 0 时，必须先利用诱导公式将 ω 化为正数，或者利用“同增异减”原则。 提示： 建议优先将 x 的系数化为正数再求解。 解题模型与技巧 🎨 五点法作图 快速画出 y = cosx 一个周期图像的关键点。 最高点 (0, 1), (2π, 1) 最低点 (π, -1) 平衡点 (π 2 , 0), (3π 2 , 0) 🔄 整体代换法 解决 y = Acos(ωx + φ) 问题的核心思想。 令 t = ωx + φ 将复杂函数转化为标准的 y = cost 进行分析，最后再还原回 x 的范围。 📐 向量与三角结合 利用向量的数量积公式解决三角函数最值问题。 模型示例： 若 a = (cosx, sinx), b = (1, k) 则 a · b = cosx + ksinx = √1+k² cos(x - φ) 通过辅助角公式将形如 acosx + bsinx 转化为单一余弦函数。 $