精品解析：河南周口市鹿邑县涡北镇联合中学等校2025-2026学年九年级第二学期初中学业水平模拟 数学强基A

2026年河南初中学业水平模拟 数学 强基A 注意事项：本试卷共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在2026马年春节来临之际，爸爸在群里玩抢红包游戏．若抢得6.66元红包作为收入项记作元，则发出8.88元红包作为支出项记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】根据收入的记作，可知支出记作“”，解答即可． 【详解】解：∵抢得红包的收入记作正数，收入6.66元记作元， ∴与收入相反意义的支出应记作负数． ∵发出8.88元红包属于支出， ∴支出8.88元应记作元． 2. 下列图形中，属于圆柱的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱的平面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：圆柱的平面展开图由两个完全相同的圆形和一个长方形组成， 则选项A为圆柱的平面展开图． 3. 钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为千克．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 4. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的特点得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴，， ∴． 5. 关于方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式与 的大小关系判断根的情况. 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式得： ， ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根． 6. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交 于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据正方形的性质求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 设， ∵点P为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 7. 化简，的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分解分母确定最简公分母，通分后合并约分即可得到结果. 【详解】解：原式 ． 8. 河南地处中原，省内17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 【详解】解：设“少林寺”表示为A，“龙门石窟” 表示为B，“云台山”表示为C，“殷墟” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的结果有2种， 这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是． 9. 如图，在菱形ABCD中，，B，D两点间的距离是8，点M，N分别为边上不与端点重合的动点，且 ，将沿翻折，得到，分别交 于E，F两点，当 为面积的一半时，的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交 于点O，根据菱形的性质，，再根据勾股定理 ， ，然后根据折叠的性质得，，接下来根据平行线的性质得出，可得，进而，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接，交 于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴ ． 根据折叠的性质得，． ∵ ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 所以当为面积一半时，的长为． 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在 至的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（ ） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A. 光合作用产氧速率是温度的函数 B. 随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C. 为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间 D. 最适合草莓的生长温度约为 【答案】C 【解析】 【分析】观察光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的曲线，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、在 至范围内，每个温度值对应唯一的光合作用产氧速率，符合函数定义，故A正确； 选项B、观察图象中代表呼吸作用耗氧速率的曲线，其走势是先上升后下降，因此，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小，故B正确； 选项C、观察图象发现，在大约和时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相等，在和时，草莓呼吸作用耗氧速率曲线在光合作用产氧速率曲线上方，此时植物不生长，因此为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间，故C错误； 选项D、最适合草莓的生长温度是光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差值最大时对应的温度，观察图象，两条曲线之间的垂直距离在温度大约为时达到最大，故D正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意的条件，根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为 可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 在甲、乙两个梨园随机各采摘5个香梨，称重绘图如下，则甲、乙两个梨园香梨单果重量较为均匀的是________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】根据数据的离散程度求解即可． 【详解】解：根据题意，得甲的离散程度比乙的小，故甲梨园香梨单果重量较为均匀． 13. 已知整数，…，满足下列条件：，，…，以此类推，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据条件求出前几个数的值，可得当是奇数时，，然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴当，是奇数时，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中， ．分别以A，C两点为圆心， 的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，证明 是的平分线，得，求出，由勾股定理得，再根据求解即可． 【详解】解：连接 ，如图， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． 15. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图 中，于E，，若点D是边上的“豫点”，则线段 的长为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“豫点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则 ， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则 ， ∴，， ∴，这与点是边上的“豫点”矛盾，则 的情形不存在； ③如图，当点在上时，则 ， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得 或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段 的长为或2． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据负整数指数幂运算法则、立方根的定义以及零指数幂运算法则进行计算，然后相加减即可； （2）首先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行计算，再去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 某书法协会的创意节目《墨韵 》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，收获广泛关注．演出结束后，节目组收集了80名现场观众的评分，同时汇总了1200名线上观众的评分（满分10分），并进行整理、描述、分析，部分信息如下： 统计量 群体 平均数 中位数 众数 现场 8.1625 a 8 线上 7.88 8 b 根据以上信息，回答下列问题． （1）扇形统计图中 ，表格中 ， ． （2）请你计算出线上观众评分不低于9分的总人数． （3）小红认为现场观众群体的评分更能反映节目真实口碑，小李则认为线上观众的评分更具参考价值，你更支持谁的观点？请结合统计知识简要说明理由． 【答案】（1）25，8，7 （2）384人 （3） 解：支持小李的观点，因为线上观众群体对节目的打分样本容量大，更能体现实际情况． 【解析】 【分析】（1）根据频率、中位数和众数的定义求解即可； （2）总人数乘以对应百分比即可得出答案； （3）根据样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴； 现场评分共80个数据，第40，41个数据的平均数即为中位数， 而 ， ， ∴ （分）； ∵线上观众打分为7分的占 ，占比最大， ∴线上打分的众数 分； 【小问2详解】 解：线上观众评分不低于9分的总人数为 （人）； 【小问3详解】 略 18. 如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得， ，由全等三角形的性质得，由旋转的性质得，，可得，故可得反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、是矩形，得，，，再运用分割法可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵的直角边在轴上，点C的坐标为． ∴， ， ∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 又反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、是矩形，如图， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积 ． 19. 如图， 是的内接三角形，是的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作的切线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的切线交的延长线于点D，当时，求点C到直线的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，过点C作的垂线即可； （2）作交于E，设，则，，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出 ，根据等面积法计算即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图，作交于E， ∵ ， ∴ ， 设，则，， ∵ 是的切线， ∴， ∴， 即， 解得： （舍去），， ∴， ∵， ∴， 即点C到直线的距离为． 20. 固始鹅块是河南固始县的一道特色地方菜，属于非物质文化遗产，有着悠久的历史背景．南湾鱼作为一道具有独特口感和营养价值的美食，成为河南地区的一张美食名片．一特产店计划采购固始鹅块和南湾鱼两种土特产进行销售．已知购买2箱固始鹅块和1箱南湾鱼共需156元，购买4箱南湾鱼和3箱固始鹅块共需324元． （1）求固始鹅块和南湾鱼每箱的单价． （2）该特产店计划购买两种土特产共50箱，其中购买固始鹅块的箱数不低于南湾鱼箱数的倍，当固始鹅块和南湾鱼分别购买多少箱时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元 （2）购买固始鹅块箱，南湾鱼购买箱，最少总费用为： 元 【解析】 【分析】（1）设固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买固始鹅块箱，则南湾鱼购买箱，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：固始鹅块的单价为元，南湾鱼每箱的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买固始鹅块箱，则南湾鱼购买箱，根据题意， 解得：， 设总费用为元，根据题意， ∵，随的增大而增大， ∴当 时，最小， 此时，购买固始鹅块箱，南湾鱼购买箱 ∴最少总费用为（元） 答：购买固始鹅块箱，南湾鱼购买箱，最少总费用为： 元． 21. 申伯楼是信阳浉河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是浉河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色节点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图 测量说明 申伯楼前有一座高为 的观景台，已知观景台的倾斜步道 的坡度为i．该小组在观景台C处测得申伯楼顶部B的仰角为，在观景台D处测得申伯楼顶部B的仰角为． 测量数据 备注 点E，C，A在同一条水平直线上．参考数据： 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求和 的长． （2）求申伯楼的高度．（此问结果精确到 ） （3）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 【答案】（1）， （2）的高度为 （3）多次测量求平均值 【解析】 【分析】（1）根据坡度可知，设， 则，根据勾股定理求出，可知 ，即可求出和 的长； （2）作交于F，可知，，根据等边对等角得到，证明四边形是平行四边形，可知，，根据求出即可； （3）提出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：∵ 的坡度为i，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得： ， ∴，； 【小问2详解】 解：作交于F，可知， 设， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的高度为； 【小问3详解】 解：多次测量求平均值． 22. 如图，抛物线交y轴于点，且对称轴为直线． （1）求抛物线的最小值． （2）若点是抛物线上两点，当时，求m的取值范围． （3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点落在x轴上且再次经过点P，直接写出新抛物线的顶点横坐标． 【答案】（1） （2） 或 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）根据对称性可得点关于对称的点为，进而结合函数图象，即可求解； （3）设新抛物线的顶点为，则解析式为，代入，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线交y轴于点，且对称轴为直线 ∴ 解得： ∴ ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，最小值为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线，点是抛物线上两点， ∴点关于对称的点为， ∵抛物线开口向上，点是抛物线上两点， ∴当时， 或； 【小问3详解】 解：设新抛物线的顶点为，则解析式为， 代入得，， 解得：， ∴新抛物线的顶点横坐标为或． 23. 【综合与实践】 【问题背景】 在矩形中，E是射线上一点，连接 ，过点B作，垂足为F，射线交射线于点G，且． 【观察猜想】 （1）如图1，当，且点E在延长线上时： ①与的数量关系为 ； ②若F是 中点，则的度数是 ． 【类比探究】 （2）如图2，当，且点E在延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图）；并通过计算判断（1）中的两个结论是否仍然成立． 【拓展应用】 （3）若，当时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）图见解析，（1）中的两个结论不成立；（3）或． 【解析】 【分析】（1）①先推出四边形是正方形，再证明，即可得到； ②判断出是线段 的垂直平分线，利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可； （2）根据题意画出图形，证明，即可得到，利用三角函数的定义求得 ，同（1）理即可求解； （3）分点G在线段上和点G在射线上时两种情况讨论，同（2）得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）①∵矩形中，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，点F是 中点， ∴是线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴； （2）补全图形如图： （1）中的两个结论不成立，理由如下， ∵矩形中，， ∴ ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接， ∵， ∴， ∴ ， ∵，点F是 中点， ∴是线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴； （3）∵矩形中，，， ∴，即， 当点G在线段上时， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴． 当点G在射线上时， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南初中学业水平模拟 数学 强基A 注意事项：本试卷共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在2026马年春节来临之际，爸爸在群里玩抢红包游戏．若抢得6.66元红包作为收入项记作元，则发出8.88元红包作为支出项记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列图形中，属于圆柱的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为千克．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段 中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 化简，的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 河南地处中原，省内17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，，B，D两点间的距离是8，点M，N分别为边上不与端点重合的动点，且 ，将沿翻折，得到，分别交于E，F两点，当 为面积的一半时，的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在 至的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（ ） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A. 光合作用产氧速率是温度的函数 B. 随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C. 为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间 D. 最适合草莓的生长温度约为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 12. 在甲、乙两个梨园随机各采摘5个香梨，称重绘图如下，则甲、乙两个梨园香梨单果重量较为均匀的是________（填“甲”或“乙”） 13. 已知整数，…，满足下列条件：，，…，以此类推，则的值为_______． 14. 如图，在四边形中， ．分别以A，C两点为圆心， 的长为半径作弧，两弧围成如图所示阴影．则阴影部分的面积为_______． 15. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图中，于E，，若点D是边上的“豫点”，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某书法协会的创意节目《墨韵 》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，收获广泛关注．演出结束后，节目组收集了80名现场观众的评分，同时汇总了1200名线上观众的评分（满分10分），并进行整理、描述、分析，部分信息如下： 统计量 群体 平均数 中位数 众数 现场 8.1625 a 8 线上 7.88 8 b 根据以上信息，回答下列问题． （1）扇形统计图中 ，表格中 ， ． （2）请你计算出线上观众评分不低于9分的总人数． （3）小红认为现场观众群体的评分更能反映节目真实口碑，小李则认为线上观众的评分更具参考价值，你更支持谁的观点？请结合统计知识简要说明理由． 18. 如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，，，求的面积． 19. 如图，是 的内接三角形，是 的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作 的切线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的切线交的延长线于点D，当时，求点C到直线的距离． 20. 固始鹅块是河南固始县的一道特色地方菜，属于非物质文化遗产，有着悠久的历史背景．南湾鱼作为一道具有独特口感和营养价值的美食，成为河南地区的一张美食名片．一特产店计划采购固始鹅块和南湾鱼两种土特产进行销售．已知购买2箱固始鹅块和1箱南湾鱼共需156元，购买4箱南湾鱼和3箱固始鹅块共需324元． （1）求固始鹅块和南湾鱼每箱的单价． （2）该特产店计划购买两种土特产共50箱，其中购买固始鹅块的箱数不低于南湾鱼箱数的倍，当固始鹅块和南湾鱼分别购买多少箱时，总费用最少？并求出最少总费用． 21. 申伯楼是信阳浉河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是浉河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色节点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图 测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为i．该小组在观景台C处测得申伯楼顶部B的仰角为，在观景台D处测得申伯楼顶部B的仰角为． 测量数据 备注 点E，C，A在同一条水平直线上．参考数据： 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求和的长． （2）求申伯楼的高度．（此问结果精确到 ） （3）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 22. 如图，抛物线交y轴于点，且对称轴为直线． （1）求抛物线的最小值． （2）若点是抛物线上两点，当时，求m的取值范围． （3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点落在x轴上且再次经过点P，直接写出新抛物线的顶点横坐标． 23. 【综合与实践】 【问题背景】 在矩形中，E是射线上一点，连接，过点B作，垂足为F，射线交射线 于点G，且． 【观察猜想】 （1）如图1，当，且点E在延长线上时： ①与的数量关系为 ； ②若F是中点，则的度数是 ． 【类比探究】 （2）如图2，当，且点E在延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图）；并通过计算判断（1）中的两个结论是否仍然成立． 【拓展应用】 （3）若，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $