精品解析：四川达州市达川区达川第四中学2025-2026学年 下学期入学检测九年级数学试题

四川省达川第四中学2026年（春）入学检测 初三年级数学试题 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2025的相反数是（ ） A B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 2. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； 故选：C． 5. 所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 6. 如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 7. 《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程即可解答，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得方程组， ， 故选：A． 8. 有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 9. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确有3个， 故选：C. 10. 在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：. 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，将不等式两边同时减去1再除以2，不等号的方向不变；即可得到不等式的解集． 【详解】解：原不等式移项得， ， 系数化为1，得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 13. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 14. 关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实根，可得，即可解答，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实根， ， 解得， 故答案为：4． 15. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理可得，利用面积法即可求得的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 菱形的面积， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 计算．． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 18. 如图，已知，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 19. 为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 （1）抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； （2）若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ （3）某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）， （2）全校参加科幻画创作的学生有人； （3）恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率． （1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数； （2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数； （3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【小问1详解】 解：（人） （人） 故答案为：，． 【小问2详解】 解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： ∴． 答：恰好抽到一名男生一名女生的概率． 20. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 21. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到的距离； （2）求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）20m （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，解直角三角形即可解答； （2）求得，进行角度计算得到，则可求得，再解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 22. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 23. 如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． （1）求证： ①． ②． （2），，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线长定理得出，结合，，即可证明． （2）根据圆周角定理得出，由①可知：，得出，即可证明，进而得到． （3）连接．根据圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ①证明：是切线， ， 又，， ． ②证明：点在上． ， 由①可知：， ， ， ． 小问2详解】 解：连接． 是的直径， ， 又，， ∴． ， ， ． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为或 （3）的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：在直线上存在点，使是以为斜边等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图： 此时； ②当在第一象限，在第四象限时， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 25. 如图，在中，，，点P是边AB中点，，． （1）点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； （2）点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【答案】（1）①2；②4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键． （1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可； ②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解． （2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解． 【小问1详解】 ①如图所示， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， 为中点， 、为、的中点， ， ； 故答案为：2． ②连结， ，， ， 又点为的中点， ，，， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 第一种情况如图所示，，设．则， ， ， ， 过点作于交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 第二种情况：如右图所示，，连接， 易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立； 由（1）可知：， ， ， 又， ．， 可得，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川第四中学2026年（春）入学检测 初三年级数学试题 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 在中，，，D中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 12. 不等式的解集是______． 13. 正多边形一个内角是，这个正多边形是正______边形． 14. 关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______． 15. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16 计算．． 17. 先化简，再求值．，其中． 18. 如图，已知，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 19. 为提高学生科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 （1）抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； （2）若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ （3）某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 20. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 21. 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到的距离； （2）求高压电塔的高度（结果保留根号）． 22. 如图，直线与双曲线交于两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 23. 如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． （1）求证： ①． ②． （2），，求的长． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，，点P是边AB中点，，． （1）点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； （2）点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $